Worldlex Wiki À l'origine, les fonctions représentaient l'idéalisation de la relation entre une grandeur variable et une autre. Par exemple, la position d'une planète est une fonction du temps. Historiquement , ce concept a été développé grâce au calcul infinitésimal à la fin du XVIIe siècle et, jusqu'au XIXe siècle, les fonctions considérées étaient différentiables (c'est-à-dire qu'elles présentaient un haut degré de régularité). La formalisation du concept de fonction à la fin du XIXe siècle, dans le cadre de la théorie des ensembles , a considérablement élargi son champ d'application.
Une fonction est souvent notée par une lettre telle que expression dépendant de évaluation de fonction , peut être nécessaire pour déduire la valeur de la fonction en un point particulier ; par exemple, si alors
Étant donné son domaine et son codomaine, une fonction est représentée de manière unique par l'ensemble de toutes les paires graphe de la fonction , un moyen courant d'illustrer la fonction. Lorsque le domaine et le codomaine sont des ensembles de nombres réels, chaque paire peut être vue comme les coordonnées cartésiennes d'un point du plan.
Les fonctions sont largement utilisées en sciences , en ingénierie et dans la plupart des domaines des mathématiques. On dit souvent que les fonctions sont « les objets centraux de l’étude » dans la plupart des domaines des mathématiques.
Le concept de fonction a considérablement évolué au fil des siècles, depuis ses origines informelles dans les mathématiques anciennes jusqu'à sa formalisation au XIXe siècle. Voir l'article « Histoire du concept de fonction » pour plus de détails.
Une fonction ensemble domaine de la fonction et l'ensemble codomaine de la fonction.
Si l'élément argument ou la variable de la fonction.
Un élément image de domaine , est l'ensemble des images de tous les éléments de son domaine.
Une fonction est associé à ») est utilisé pour préciser l'élément fonction carré est .
Le domaine et le codomaine ne sont pas toujours explicitement définis lors de la définition d'une fonction. En particulier, il est fréquent de savoir seulement, sans calcul (parfois complexe), que le domaine d'une fonction donnée est inclus dans un ensemble plus grand. Par exemple, si f est une fonction réelle , la détermination de son domaine nécessite de connaître ses zéros . analyse mathématique , l'expression « une fonction à valeurs réelles d'une variable réelle dont le domaine est un sous-ensemble strict de l'ensemble des nombres réels , généralement un sous-ensemble contenant un intervalle ouvert non vide . Une telle fonction est alors appelée fonction partielle .
Une fonction La définition d'une fonction présentée ci-dessus est essentiellement celle des fondateurs du calcul infinitésimal , Leibniz , Newton et Euler . Cependant, elle ne peut être formalisée , car il n'existe pas de définition mathématique de la notion d'« affectation ». Ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle qu'une première définition formelle d'une fonction a pu être proposée, en termes de théorie des ensembles . Cette définition ensembliste repose sur le fait qu'une fonction établit une relation entre les éléments du domaine et certains (voire tous) les éléments du codomaine. Mathématiquement, une relation binaire entre deux ensembles sous-ensemble de l'ensemble de tous les couples ordonnés tels que X ∈ Y et Y ∈ Y. L'ensemble de tous ces couples est appelé le produit cartésien de Une fonction avec domaine 
Fonctions partielles
Fonctions multivariées
Une fonction multivariée , ou fonction à plusieurs variables , est une fonction qui dépend de plusieurs arguments. On rencontre fréquemment ce type de fonctions. Par exemple, la position d'une voiture sur une route est fonction du temps de parcours et de sa vitesse moyenne.
Formellement, une fonction de entiers est une fonction de deux variables, ou fonction bivariée , dont le domaine est l'ensemble de tous les couples (2-uplets) d'entiers, et dont le codomaine est l'ensemble des entiers. Il en va de même pour toute opération binaire . Le graphe d'une surface bivariée sur un domaine réel bidimensionnel peut être interprété comme définissant une surface paramétrique , telle qu'utilisée, par exemple, dans l'interpolation bivariée .
Généralement, un
Étant donné produit cartésien de et est noté
Par conséquent, une fonction multivariée est une fonction dont le domaine est un produit cartésien ou un sous-ensemble propre d'un produit cartésien.
où le domaine
Si tous les sont égaux à l'ensemble des nombres réels ou à l'ensemble des nombres complexes , on parle respectivement d'une fonction de plusieurs variables réelles ou d'une fonction de plusieurs variables complexes .
Notation
Il existe différentes manières normalisées de représenter les fonctions. La notation la plus couramment utilisée est la notation fonctionnelle, qui est la première notation décrite ci-dessous.
Notation fonctionnelle
La notation fonctionnelle exige qu'un nom soit donné à la fonction, qui, dans le cas d'une fonction non spécifiée, est souvent la lettre
L'argument entre parenthèses peut être une variable , souvent expression pouvant être évaluée à un élément du domaine ( dans l'exemple ci-dessus). L'utilisation d'une variable non spécifiée entre parenthèses est utile pour définir explicitement une fonction, comme dans « let ».
Lorsque le symbole désignant la fonction est composé de plusieurs caractères et qu'aucune ambiguïté ne peut survenir, les parenthèses de la notation fonctionnelle peuvent être omises. Par exemple, il est courant d'écrire Leonhard Euler en 1734. Certaines fonctions courantes sont représentées par un symbole composé de plusieurs lettres (généralement deux ou trois, souvent une abréviation de leur nom). Dans ce cas, on utilise habituellement des caractères romains , comme «fonction sinus , contrairement à l’italique pour les symboles composés d’une seule lettre.
La notation fonctionnelle est souvent employée familièrement pour désigner une fonction et nommer simultanément son argument, comme dans « soit une fonction ». Il s'agit d'un usage abusif de la notation , utile pour une formulation plus simple.
Notation fléchée
La notation fléchée définit la règle d'une fonction directement dans le texte, sans qu'il soit nécessaire de lui donner un nom. Elle utilise le symbole ↦, qui se lit « applique à ». Par exemple, f(x ) est la fonction qui prend un nombre réel en entrée et renvoie ce nombre plus 1. Là encore, le domaine et le codomaine de f sont implicites.
Le domaine et le codomaine peuvent également être explicitement indiqués, par exemple :
Ceci définit une fonction application partielle de cette fonction, obtenue en fixant le second argument à la valeur
C'est généralement le cas pour les fonctions dont le domaine est l'ensemble des nombres naturels . Une telle fonction est appelée une suite , et, dans ce cas, l'élément est appelé le
Notation d'espace réservé
Dans cette notation, le symbole espace réservé . Ainsi, si point médian «
Notations spécialisées
Il existe d'autres notations spécialisées pour les fonctions dans certaines sous-disciplines des mathématiques. Par exemple, en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle , les formes linéaires et les vecteurs sur lesquels elles agissent sont notés à l'aide d'une paire duale afin de mettre en évidence la dualité sous-jacente . Ceci est similaire à l'utilisation de la notation bra-ket en mécanique quantique. En logique et en théorie du calcul , la notation fonctionnelle du lambda-calcul est utilisée pour exprimer explicitement les notions fondamentales d' abstraction et d'application des fonctions . En théorie des catégories et en algèbre homologique , les réseaux de fonctions sont décrits en fonction de la manière dont elles et leurs compositions commutent entre elles, à l'aide de diagrammes commutatifs qui étendent et généralisent la notation fléchée des fonctions décrite précédemment.
Fonctions de plusieurs variables
Dans certains cas, l'argument d'une fonction peut être un couple ordonné d'éléments appartenant à un ou plusieurs ensembles. Par exemple, une fonction
Autres termes
En théorie des systèmes dynamiques , une application désigne une fonction d'évolution utilisée pour créer des systèmes dynamiques discrets . Voir aussi application de Poincaré .
Quelle que soit la définition de map utilisée, les termes associés comme domaine , codomaine , injectif , continu ont la même signification que pour une fonction.
Spécifier une fonction
Étant donné une fonction f , par définition, à chaque élément de son domaine est associé un élément unique, la valeur de f en cet élément. Il existe plusieurs manières de spécifier ou de décrire la relation entre f et son domaine , de façon explicite ou implicite. Parfois, un théorème ou un axiome affirme l'existence d'une fonction possédant certaines propriétés, sans la décrire plus précisément. Souvent, cette spécification ou description est appelée la définition de la fonction .
En listant les valeurs de fonction
Sur un ensemble fini, une fonction peut être définie en listant les éléments du codomaine associés aux éléments du domaine. Par exemple, si , alors on peut définir une fonction par
Par une formule
Les fonctions sont souvent définies par une expression qui décrit une combinaison d' opérations arithmétiques et de fonctions préalablement définies ; une telle formule permet de calculer la valeur de la fonction à partir de la valeur de n'importe quel élément du domaine. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, peut être définie par la formule , pour .
Lorsqu'une fonction est définie de cette manière, la détermination de son domaine peut parfois s'avérer complexe. Si la formule définissant la fonction comporte des divisions, les valeurs de la variable pour lesquelles un dénominateur est nul doivent être exclues du domaine ; ainsi, pour une fonction complexe, la détermination du domaine passe par le calcul des zéros de fonctions auxiliaires. De même, si des racines carrées apparaissent dans la définition d'une fonction de ℝⁿ, le domaine est constitué de l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles les arguments des racines carrées sont non négatifs.
Par exemple, définit une fonction dont le domaine est ℝ car elle est toujours positive si
Fonctions inverses et implicites
Une fonction définie sur bijective si, pour tout fonction inverse de logarithme népérien est une fonction bijective des nombres réels positifs vers les nombres réels. Il possède donc une fonction inverse, appelée fonction exponentielle , qui envoie les nombres réels sur les nombres positifs.
Si une fonction n'est pas bijective, il est possible de sélectionner des sous-ensembles tels que la restriction de fonctions trigonométriques inverses sont définies de cette manière. Par exemple, la fonction cosinus induit, par restriction, une bijection de l' intervalle arccosinus , applique
Utilisation du calcul différentiel
De nombreuses fonctions peuvent être définies comme la primitive d'une autre fonction. C'est le cas du logarithme népérien , qui est la primitive de fonction d'erreur .
Plus généralement, de nombreuses fonctions, y compris la plupart des fonctions spéciales , peuvent être définies comme solutions d' équations différentielles . L'exemple le plus simple est probablement la fonction exponentielle , qui peut être définie comme l'unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 pour Les séries entières permettent de définir des fonctions sur leur domaine de convergence. Par exemple, la fonction exponentielle est donnée par . Cependant, comme les coefficients d'une série sont arbitraires, une fonction qui est la somme d'une série convergente est généralement définie autrement, et la suite des coefficients résulte d'un calcul basé sur une autre définition. Les séries entières permettent ensuite d'étendre le domaine de la fonction. Typiquement, si une fonction d'une variable réelle est la somme de son développement en série de Taylor sur un certain intervalle, cette série entière permet d'étendre immédiatement le domaine à un sous-ensemble des nombres complexes , le disque de convergence de la série. Le prolongement analytique permet ensuite d'étendre davantage le domaine jusqu'à inclure presque tout le plan complexe . Ce procédé est la méthode généralement utilisée pour définir le logarithme , l' exponentielle et les fonctions trigonométriques d'un nombre complexe.
Par récurrence
La fonction factorielle sur les entiers non négatifs ( ) en est un exemple fondamental, car elle peut être définie par la relation de récurrence.
0," 
et l'état initial
Représenter une fonction
Un graphique est couramment utilisé pour donner une représentation intuitive d'une fonction. Par exemple, il permet de voir facilement, grâce au graphique, si une fonction est croissante ou décroissante. Certaines fonctions peuvent également être représentées par des diagrammes à barres .
Graphiques et diagrammes
Étant donné une fonction, son graphe est, formellement, l'ensemble
Dans le cas fréquent où nombres réels (ou peuvent être identifiés à de tels sous-ensembles, par exemple des intervalles ), un élément peut être identifié à un point de coordonnées plan cartésien . Des portions de cet ensemble peuvent former un graphique représentant (des parties de) la fonction. L'utilisation de ces graphiques est si répandue qu'on les appelle également le graphe de la fonction . Des représentations graphiques de fonctions sont également possibles dans d'autres systèmes de coordonnées. Par exemple, le graphe de la fonction carré.
L'ensemble des points de coordonnées (x, y) donne , lorsqu'il est représenté en coordonnées cartésiennes, la parabole bien connue . Si la même fonction quadratique , dont le graphique est constitué de paires de nombres, est représentée en coordonnées polaires, on obtient la spirale de Fermat .
