Fonction quadratique

mathématiques variable est une fonction de la forme avec expression que comme une fonction, est un du second degré de degré deux. En mathématiques élémentaires, distingue rarement un polynôme et sa fonction polynomiale associée ; les termes « fonction quadratique » et « polynôme du second degré » sont presque synonymes et souvent abrégés en « quadratique » .

Un polynôme du second degré avec deux racines réelles (points d'intersection avec l' axe des représentation graphique d'une fonction quadratique réelle à une seule variable est une parabole . Si l' on égale une fonction quadratique à zéro, on obtient une équation du second degré . Les solutions d'une équation du second degré sont les zéros (ou racines) de la fonction quadratique correspondante ; il peut y en avoir deux, un ou zéro. Les solutions sont décrites par la formule quadratique . a la forme suivante avec au moins une des, et conique (un cercle ou une autre ellipse, une parabole ou une hyperbole) dans le grand de variables. L'ensemble de ses zéros forme une quadrique, qui est une surface dans le cas de trois variables et une hypersurface dans latin quadrātum (« carré »). Un terme élevé au carré, comme est appelé un carré en algèbre car il s'agit de l'aire d'un carré de côté .

Terminologie

Coefficients

Les coefficients d'une fonction quadratique sont souvent considérés comme des nombres réels ou complexes , mais ils peuvent être choisis dans n'importe quel anneau , auquel cas le domaine et le codomaine sont cet anneau (voir évaluation polynomiale ).

Degré

Lorsqu'on utilise le terme « polynôme du second degré », on peut entendre tantôt « de degré exactement 2 », tantôt « de degré au plus 2 ». Si le degré est inférieur à 2, on parle alors de « cas dégénéré ». Le contexte permet généralement de trancher.

Le terme « ordre » est parfois employé au sens de « degré », par exemple pour un polynôme du second degré. Cependant, alors que le « degré d'un polynôme » désigne le degré le plus élevé d'un terme non nul de ce polynôme, le terme « ordre » désigne plus couramment le degré le plus faible d'un terme non nul d'une série entière .

Variables

Un polynôme quadratique peut impliquer une seule variable x ( cas univarié ) ou plusieurs variables telles que x , y et z (cas multivarié).

Le cas à une variable

Tout polynôme quadratique à une seule variable peut s'écrire sous la forme suivante :

où x est la variable, et a , b et c représentent les coefficients . De tels polynômes apparaissent souvent dans une équation du second degré. Les solutions de cette équation sont appelées les racines et peuvent être exprimées en fonction des coefficients par la formule quadratique . Chaque polynôme du second degré est associé à une fonction quadratique, dont le graphique est une parabole .

Cas bivariés et multivariés

Tout polynôme quadratique à deux variables peut s'écrire sous la forme suivante :

où $coniques , car l' équation implicite d'une conique s'obtient en annulant un polynôme du second degré, et les zéros d'une fonction du second degré forment une conique (éventuellement dégénérée).$

De même, les polynômes quadratiques à trois variables ou plus correspondent à des surfaces ou hypersurfaces quadriques .

Les polynômes quadratiques qui ne comportent que des termes de degré deux sont appelés formes quadratiques .

Formes d'une fonction quadratique univariée

Une fonction quadratique univariée peut être exprimée sous trois formats :

$est appelée la forme standard,$
$est appelée la forme factorisée, où est appelée forme du sommet, où quadratique pour déterminer les deux racines la complétion du carré . Pour passer de la forme factorisée (ou forme canonique) à la forme développée, il faut multiplier, développer et/ou distribuer les facteurs.$

Graphique de la fonction univariée

Quel que soit le format, le graphique d'une fonction quadratique univariée est une parabole (comme illustré à droite). De manière équivalente, il s'agit du graphique de l'équation quadratique bivariée .

Si $Le coefficient dans donc le sommet, Si la fonction quadratique est sous forme factorisée la moyenne des deux racines, c'est-à-dire, est la coordonnée Le sommet est également le point maximum si La droite passant par le sommet est également l' axe de symétrie de la parabole. Points maximum et minimum En utilisant le calcul différentiel, le point de sommet, qui est un maximum ou un minimum de la fonction, peut être obtenu en trouvant les racines de la dérivée : avec la valeur de fonction correspondante Ainsi, les coordonnées du point de sommet,$

Racines de la fonction univariée

Graphique de y = ax² + ^bx+ c , où a et le discriminant b² − 4ac ^sont positifs, avec

Racines et ordonnée à l' origine en rouge
Sommet et axe de symétrie en bleu
Focus et metteuse en scène en rose

Visualisation des racines complexes de y = ax² + bx + c : la parabole est pivotée de 180° autour de son sommet ( ^orange ) . Ses abscisses à l'origine sont pivotées de 90° autour de leur milieu, et le plan cartésien est interprété comme le plan complexe ( vert ).

racines (ou zéros ),

Limite supérieure de l'amplitude des racines

Le module des racines d'un polynôme du second degré ne peut pas être supérieur à où est le nombre d'or

La racine carrée d'une fonction quadratique univariée

La racine carrée d'une fonction quadratique univariée donne naissance à l'une des quatre sections coniques, presque toujours soit à une ellipse , soit à une hyperbole .

Si l'équation décrit une hyperbole, comme on peut le constater en élevant les deux membres au carré, alors la direction des axes de l'hyperbole est déterminée par l' ordonnée du minimum de la parabole correspondante. Si l'ordonnée est négative, le grand axe de l'hyperbole (passant par ses sommets) est horizontal ; si l'ordonnée est positive, le grand axe de l'hyperbole est vertical.0," $0, a > 0,$ 0,

L'équation décrit alors soit un cercle, soit une autre ellipse, soit rien du tout. Si l'ordonnée du point maximal de la parabole correspondante est positive, sa racine carrée décrit une ellipse ; si l'ordonnée est négative, elle décrit un lieu géométrique vide .

Itération

Pour itérer une fonction , on applique la fonction de manière répétée, en utilisant la sortie d'une itération comme entrée de la suivante.

On ne peut pas toujours déduire la forme analytique de , c'est-à-dire la n ^-ième itération de . (L'exposant peut être étendu aux nombres négatifs, se référant à l'itération de l'inverse de si l'inverse existe.) Mais il existe des cas analytiquement traitables .

Par exemple, pour l'équation itérative

on a

où

et

Donc par induction,

peut être obtenu, où peut être facilement calculé comme

Enfin, nous avons

comme solution.

Voir la section sur la conjugaison topologique pour plus de détails sur la relation entre f et g . Et voir la section sur les polynômes quadratiques complexes pour le comportement chaotique dans l'itération générale.

La carte logistique

L'équation avec le paramètre 2 < r < 4 peut être résolue dans certains cas, dont l'un est chaotique et l'autre non. Dans le cas chaotique r = 4, la solution est :

où le paramètre de condition initiale est donné par . Pour des valeurs rationnelles , après un nombre fini d'itérations, se transforme en une suite périodique. Mais presque toutes les valeurs sont irrationnelles, et, pour des valeurs irrationnelles , ne se répète jamais – elle est non périodique et présente une forte dépendance aux conditions initiales , on dit donc qu'elle est chaotique.

La solution de l'application logistique lorsque r = 2 est

Puisque pour toute valeur de n autre que le point fixe instable 0, le terme tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, il en va de même pour le point fixe stable .

Fonction quadratique bivariée (à deux variables)

où A, B, C, D et E sont des coefficients fixes et F est la constante . Une telle fonction décrit une surface quadratique . L'annulation de cette fonction décrit l'intersection de la surface avec le plan, qui est un lieu géométrique de points équivalent à une conique .

Minimum/maximum

Si la fonction n'a ni maximum ni minimum, son graphique forme un paraboloïde hyperbolique .

Si la fonction admet un minimum lorsque 0"}},"i":0}}] A 0"}},"i":0}}] > 0 et 0"}},"i":0}}] B 0"}},"i":0}}] > 0 , et un maximum lorsque 0, 0"}},"i":0}}] 0"}},"i":0}}]

Si la fonction n'a ni maximum ni minimum, son graphique forme un cylindre parabolique .

Si la fonction atteint son maximum/minimum sur une ligne (un minimum si A > 0 et un maximum si A < 0), son graphique forme un cylindre parabolique.