Graphique d'une fonction

En mathématiques , le graphe d'une fonction est l'ensemble des couples (x, y ) où x et y sont des nombres réels . Dans le cas courant où x et y sont des nombres réels , ces couples sont les coordonnées cartésiennes de points dans un plan et forment souvent une courbe . La représentation graphique du graphe d'une fonction est également appelée diagramme .

Dans le cas des fonctions de deux variables – c’est-à-dire des fonctions dont le domaine est constitué de paires –, le graphe désigne généralement l’ensemble des triplets ordonnés où . Il s’agit d’un sous-ensemble de l’espace tridimensionnel ; pour une fonction continue à valeurs réelles de deux variables réelles, son graphe forme une surface , qui peut être visualisée comme un graphique de surface .

En sciences , en ingénierie , en technologie , en finance et dans d'autres domaines, les graphiques sont des outils utilisés à de nombreuses fins. Dans le cas le plus simple, une variable est représentée en fonction d'une autre, généralement à l'aide d'axes rectangulaires ; voir la section « Graphiques » pour plus de détails.

Le graphe d'une fonction est un cas particulier de relation . En mathématiques fondamentales , et notamment en théorie des ensembles , une fonction est assimilée à son graphe . Cependant, il est souvent utile de considérer les fonctions comme des applications , qui définissent non seulement la relation entre l'entrée et la sortie, mais aussi l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée . Par exemple, pour déterminer si une fonction est surjective , il faut tenir compte de son codomaine. Le graphe d'une fonction, à lui seul, ne détermine pas son codomaine. Il est courant [ utiliser indifféremment les termes « fonction » et « graphe d'une fonction », car même s'ils désignent le même objet, ils renvoient à des perspectives différentes.

Étant donné une fonction d'un ensemble X (le domaine ) vers un ensemble Y (le codomaine ), le graphe de cette fonction est l'ensemble , qui est un sous-ensemble du produit cartésien . Dans la définition d'une fonction en termes de théorie des ensembles , il est courant d'identifier une fonction à son graphe, bien que, formellement, une fonction soit définie par le triplet constitué de son domaine, de son codomaine et de son graphe.

Le graphe de la fonction définie par est le sous-ensemble de l'ensemble

À partir du graphe, le domaine est défini comme l'ensemble des premières composantes de chaque paire de composantes . De même, l' image est définie comme l'ensemble des composantes de chaque paire de composantes . Le codomaine , en revanche, ne peut être déterminé à partir du seul graphe.

Le graphique du polynôme cubique sur la droite réelle est

Si cet ensemble est tracé sur un plan cartésien , le résultat est une courbe (voir figure).

Le graphique de la fonction trigonométrique est

Si cet ensemble est tracé sur un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel , le résultat est une surface (voir figure).

Il est souvent utile de représenter graphiquement la pente de la fonction ainsi que plusieurs courbes de niveau. Ces courbes peuvent être tracées sur la surface de la fonction ou projetées sur le plan inférieur. La deuxième figure illustre un tel tracé :