Worldlex Wiki De même, la position de tout point dans l'espace tridimensionnel peut être définie par trois coordonnées cartésiennes , qui correspondent aux distances signées entre ce point et trois plans mutuellement perpendiculaires. Plus généralement, espace euclidien la dimension hyperplans fixes mutuellement perpendiculaires .
Les coordonnées cartésiennes sont fondamentales en géométrie analytique et offrent des interprétations géométriques éclairantes pour de nombreuses autres branches des mathématiques, telles que l'algèbre linéaire , l'analyse complexe , la géométrie différentielle , le calcul à plusieurs variables , la théorie des groupes , etc. Un exemple courant est celui du graphe d'une fonction . Les coordonnées cartésiennes sont également des outils essentiels pour la plupart des disciplines appliquées qui traitent de la géométrie, notamment l'astronomie , la physique , l'ingénierie et bien d'autres. Elles constituent le système de coordonnées le plus couramment utilisé en infographie , en conception géométrique assistée par ordinateur et dans d'autres applications de traitement de données géométriques .
mathématicien et philosophe français René Descartes , qui publia cette idée en 1637 alors qu'il résidait aux Pays-Bas. Elle fut découverte indépendamment par Pierre de Fermat , qui travaillait également en trois dimensions, bien que Fermat n'ait pas publié sa découverte. Le religieux français Nicole Oresme utilisa des constructions similaires aux coordonnées cartésiennes bien avant Descartes et Fermat.Tant Descartes que Fermat utilisaient un seul axe dans leurs analyses et définissaient une longueur variable par rapport à cet axe. Le concept d'une paire d'axes fut introduit plus tard, après la traduction en latin de La Géométrie de Descartes en 1649 par Frans van Schooten et ses élèves. Ces commentateurs introduisirent plusieurs concepts en s'efforçant de clarifier les idées contenues dans l'œuvre de Descartes.
Le développement du système de coordonnées cartésiennes a joué un rôle fondamental dans le développement du calcul par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz . La description à deux coordonnées du plan a ensuite été généralisée dans le concept d' espaces vectoriels .
De nombreux autres systèmes de coordonnées ont été développés depuis Descartes, tels que les coordonnées polaires pour le plan, et les coordonnées sphériques et cylindriques pour l'espace tridimensionnel.
Description
droite affine munie d'un système de coordonnées cartésiennes choisi est appelée droite numérique . Chaque point de la droite possède des coordonnées réelles, et chaque nombre réel représente un point de la droite.
Le choix du système de coordonnées cartésiennes d'une droite offre deux degrés de liberté . On peut le définir en choisissant deux points distincts sur la droite et en leur attribuant deux nombres réels distincts (généralement zéro et un). D'autres points peuvent ensuite être associés de manière unique à des nombres par interpolation linéaire . De façon équivalente, un point peut être associé à un nombre réel spécifique, par exemple l' origine correspondant à zéro, et une longueur orientée le long de la droite peut être choisie comme unité, l'orientation indiquant la correspondance entre les directions sur la droite et les nombres positifs ou négatifs. correspond à sa distance signée à l'origine (un nombre dont la valeur absolue est égale à la distance et le transformation géométrique d'une droite peut être représentée par une fonction d'une variable réelle ; par exemple, une translation de la droite correspond à une addition, et une homothétie à une multiplication. Deux systèmes de coordonnées cartésiennes quelconques sur la droite peuvent être reliés par une fonction linéaire (fonction de la forme application affine de l'une sur l'autre, associant à chaque point de l'une les coordonnées du point correspondant sur l'autre droite.
droites perpendiculaires ( axes), de même longueur et d'orientation. Le point d'intersection des axes est pris comme origine, transformant ainsi chaque axe en une droite numérique . Pour tout point P , on trace une droite passant par P et perpendiculaire à chaque axe, et la position de cette droite à son intersection avec l'axe est interprétée comme un nombre. Ces deux nombres, dans cet ordre, sont les coordonnées cartésiennes de P. La construction inverse permet de déterminer le point P à partir de ses coordonnées.
Les première et deuxième coordonnées sont appelées respectivement l' abscisse et l' ordonnée de P ; le point d'intersection des axes est appelé l' origine du système de coordonnées. Les coordonnées sont généralement écrites sous la forme de deux nombres entre parenthèses, dans cet ordre, séparés par une virgule, comme dans infographie , l'axe des ordonnées peut être orienté vers le bas.) L'origine est souvent désignée par la lettre O , et les deux axes sont généralement notés X et Y , ou x et y . On parle alors d'axe des abscisses ( axe X) et d'axe des ordonnées (axe Y) . Le choix des lettres provient de la convention originelle qui consiste à utiliser les dernières lettres de l'alphabet pour indiquer les valeurs inconnues, tandis que les premières lettres servent à désigner les valeurs connues.
Un plan euclidien muni d'un système de coordonnées cartésiennes choisi est appelé unPlan cartésien . Dans un plan cartésien, on peut définir des représentants canoniques de certaines figures géométriques, comme lecercle unité(dont le rayon est égal à l'unité de longueur et le centre à l'origine), lecarré unité(dont la diagonale a pour extrémitéshyperbole unité, etc.
Les deux axes divisent le plan en quatre angles droits , appelés quadrants . Les quadrants peuvent être nommés ou numérotés de différentes manières, mais le quadrant où toutes les coordonnées sont positives est généralement appelé le premier quadrant .
Si les coordonnées d'un point sont distances à l' axe X et à l' axe Y sont respectivement valeur absolue d'un nombre.
Les coordonnées sont généralement écrites sous la forme de trois nombres (ou formules algébriques) entourés de parenthèses et séparés par des virgules, comme dans règle de la main droite .
Généralisations
Le concept de coordonnées cartésiennes se généralise pour permettre des axes non perpendiculaires et/ou des unités différentes le long de chaque axe. Dans ce cas, chaque coordonnée est obtenue en projetant le point sur un axe selon une direction parallèle à l'autre axe (ou, plus généralement, à l' hyperplan défini par tous les autres axes). Dans un tel système de coordonnées obliques, les calculs de distances et d'angles doivent être adaptés par rapport à ceux des systèmes cartésiens classiques, et de nombreuses formules usuelles (comme le théorème de Pythagore pour la distance) ne sont plus valides (voir plan affine ).
Notations et conventions
Les coordonnées cartésiennes d'un point sont généralement écrites entre parenthèses et séparées par des virgules, comme dans pression en fonction du temps , les coordonnées du graphique peuvent être notées p et t . Chaque axe porte généralement le nom de la coordonnée qui y est mesurée ; on parle ainsi de l' axe des x , de l' axe des y , de l' axe des t , etc.
Une autre convention courante pour nommer les coordonnées consiste à utiliser des indices, comme ( x₁ , x₂ , ... , xₙ ) pour les n coordonnées dans un espace à n dimensions, notamment lorsque n est supérieur à 3 ou non spécifié . Certains auteurs préfèrent la numérotation ( x₀ , x₁ , ..., xₙ₋₁ ). Ces notations sont particulièrement avantageuses en programmation informatique : en stockant les coordonnées d’un point sous forme de tableau , plutôt que d’ enregistrement , l’ indice peut servir d’ index pour ces coordonnées.
Dans les représentations mathématiques des systèmes cartésiens bidimensionnels, la première coordonnée (traditionnellement appelée abscisse ) est mesurée le long d'un axe horizontal , orienté de gauche à droite. La seconde coordonnée (l' ordonnée ) est ensuite mesurée le long d'un axe vertical , généralement orienté de bas en haut. Les jeunes enfants qui apprennent le système cartésien s'initient souvent à l'ordre de lecture des valeurs avant de maîtriser les concepts des axes x , y et z , en commençant par des moyens mnémotechniques bidimensionnels (par exemple, « Marcher dans le couloir puis monter les escaliers », ce qui correspond à un déplacement horizontal sur l' axe x puis vertical sur l' axe y ).
L’infographie et le traitement d’images utilisent cependant souvent un système de coordonnées dont l’ axe des ordonnées est orienté vers le bas sur l’écran. Cette convention s’est développée dans les années 1960 (ou avant) à partir de la manière dont les images étaient initialement stockées dans les mémoires tampons d’affichage .
Pour les systèmes tridimensionnels, il est d'usage de représenter le plan xy horizontalement, l' axe z étant ajouté pour représenter la hauteur (positive vers le haut). De plus, il est d'usage d'orienter l' axe x vers l'observateur, légèrement vers la droite ou la gauche. Si un schéma ( projection 3D ou dessin en perspective 2D ) montre les axes x et y respectivement horizontalement et verticalement, alors l' axe z doit être représenté pointant « hors de la page » vers l'observateur ou la caméra. Dans un tel schéma 2D d'un système de coordonnées 3D, l' axe z apparaît comme une ligne ou un rayon pointant vers le bas et la gauche ou vers le bas et la droite, selon le point de vue de l'observateur ou de la caméra . Dans tout schéma ou affichage, l'orientation des trois axes, prise dans son ensemble, est arbitraire. Cependant, l'orientation des axes les uns par rapport aux autres doit toujours respecter la règle de la main droite , sauf indication contraire. Toutes les lois de la physique et des mathématiques supposent cette chiralité , ce qui garantit la cohérence.
Dans les diagrammes 3D, les termes « abscisse » et « ordonnée » sont rarement utilisés pour désigner respectivement les axes x et y . Lorsqu'ils le sont, la coordonnée z est parfois appelée « applicate » . Les mots abscisse , ordonnée et applicate sont parfois employés pour désigner les axes de coordonnées plutôt que les valeurs des coordonnées.
Quadrants et octants
Les axes d'un système cartésien bidimensionnel divisent le plan en quatre régions infinies, appelées quadrants [ délimité par deux demi-axes. Ces quadrants sont souvent numérotés de 1 à 4 et désignés par des chiffres romains : I (où les coordonnées sont positives), II (où l'abscisse est négative et l'ordonnée positive), III (où l'abscisse et l'ordonnée sont négatives) et IV (abscisse positive, ordonnée négative). Lorsque les axes sont tracés selon l'usage mathématique, la numérotation se fait dans le sens antihoraire en partant du quadrant supérieur droit (nord-est).
De même, un système cartésien tridimensionnel définit une division de l'espace en huit régions ou octants , selon le signe des coordonnées des points. La convention utilisée pour nommer un octant consiste à indiquer son signe ; par exemple, orthant , et un système de nomenclature similaire s'applique.
Formules cartésiennes pour le plan
Distance entre deux points
La distance euclidienne entre deux points du plan ayant pour coordonnées cartésiennes et est
Il s'agit de la version cartésienne du théorème de Pythagore . Dans l'espace tridimensionnel, la distance entre les points et est
qui peut être obtenu par deux applications consécutives du théorème de Pythagore.
transformations euclidiennes
Les transformations euclidiennes, ou mouvements euclidiens, sont les applications ( bijectives ) des points du plan euclidien sur eux-mêmes qui préservent les distances entre les points. Il existe quatre types de ces applications (également appelées isométries) : les translations , les rotations , les réflexions et les réflexions glissées .
Traduction
La translation d'un ensemble de points du plan, en conservant les distances et les directions entre eux, équivaut à ajouter une paire de nombres fixes
Rotation
Faire pivoter une figure dans le sens antihoraire autour de l'origine d'un certain angle revient à remplacer chaque point de coordonnées ( x , y ) par le point de coordonnées ( x ' , y ' ), où
Ainsi:
Réflexion
Si symétrique par rapport au second axe de coordonnées (l'axe des y), comme si cette droite était un miroir. De même,
Ainsi:
Réflexion glissante
Une réflexion glissée est la composition d'une réflexion par rapport à une droite suivie d'une translation dans la direction de cette droite. On constate que l'ordre de ces opérations n'a pas d'importance (la translation peut précéder la réflexion).
Forme matricielle générale des transformations
Toutes les transformations affines du plan peuvent être décrites de manière uniforme à l'aide de matrices. À cette fin, les coordonnées d'un point sont généralement représentées par la matrice colonne . Le résultat de l'application d'une transformation affine à un point est donné par la formule où est une matrice 2×2 et une matrice colonne. Autrement dit,
Parmi les transformations affines, les transformations euclidiennes sont caractérisées par le fait que la matrice est orthogonale ; c'est-à-dire que ses colonnes sont des vecteurs orthogonaux de norme euclidienne un, ou, plus explicitement, et
Cela revient à dire que transposée est la matrice identité . Si ces conditions ne sont pas vérifiées, la formule décrit une transformation affine plus générale .
La transformation est une translation si et seulement si matrice identité . La transformation est une rotation autour d'un point si et seulement si matrice de rotation , c'est-à-dire qu'elle est orthogonale.
On obtient une réflexion ou une réflexion glissée lorsque,
En supposant que les translations ne soient pas utilisées (c'est-à-dire ), les transformations peuvent être composées en multipliant simplement les matrices de transformation associées. Dans le cas général, il est utile d'utiliser la matrice augmentée de la transformation ; autrement dit, de réécrire la formule de transformation où . Grâce à cette astuce, la composition des transformations affines est obtenue en multipliant les matrices augmentées.
transformation affine
Les transformations affines du plan euclidien sont des transformations qui appliquent une droite à une autre, mais qui peuvent modifier les distances et les angles. Comme indiqué dans la section précédente, elles peuvent être représentées par des matrices augmentées.
Les transformations euclidiennes sont les transformations affines telles que la matrice 2×2 de soit orthogonale .
La matrice augmentée qui représente la composition de deux transformations affines est obtenue en multipliant leurs matrices augmentées.
Certaines transformations affines qui ne sont pas des transformations euclidiennes ont reçu des noms spécifiques.
Mise à l'échelle
Un exemple de transformation affine non euclidienne est la mise à l'échelle. Agrandir ou réduire une figure revient à multiplier les coordonnées cartésiennes de chaque point par un même nombre positif m . Si
Si m est supérieur à 1, la figure augmente ; si m est compris entre 0 et 1, elle diminue.
Tonte
Une transformation de cisaillement pousse le sommet d'un carré latéralement pour former un parallélogramme . Le cisaillement horizontal est défini par :
Le cisaillement peut également être appliqué verticalement :
Orientation et latéralité
Le choix de l' axe des abscisses (x) détermine l' orientation de l'axe des ordonnées (y) à une direction près. Plus précisément, l' axe des ordonnées est nécessairement la perpendiculaire à l' axe des abscisses passant par le point d'origine (0) de cet axe . Il faut cependant choisir laquelle des deux demi-droites de cette perpendiculaire sera considérée comme positive et laquelle comme négative. Chacun de ces choix détermine une orientation différente (ou chiralité ) du plan cartésien.
La manière habituelle d'orienter le plan, avec l' axe x positif pointant vers la droite et l'axe y positif pointant vers le haut (l' axe x étant le « premier » axe et l' axe y le « deuxième » axe), est considérée comme l' orientation positive ou standard , également appelée orientation droite .
Pour définir l'orientation positive, on utilise souvent la règle de la main droite comme moyen mnémotechnique . En plaçant la main droite légèrement fermée sur le plan, le pouce pointant vers le haut, les doigts pointent de l' axe des x vers l'axe des y , dans un système de coordonnées à orientation positive.
L'autre façon d'orienter le plan consiste à suivre la règle de la main gauche , en plaçant la main gauche sur le plan avec le pouce pointant vers le haut.
Lorsque le pouce est pointé vers l'extérieur, le long d'un axe positif, la courbure des doigts indique une rotation positive le long de cet axe.
Quelle que soit la règle utilisée pour orienter le plan, la rotation du système de coordonnées conserve l'orientation. Inverser un seul axe inverse l'orientation, mais inverser les deux ne la modifie pas.
En trois dimensions
Une fois les axes x et y spécifiés, ils déterminent la ligne le long de laquelle l' axe z doit se situer, mais il existe deux orientations possibles pour cette ligne. Les deux systèmes de coordonnées possibles qui en résultent sont appelés « directif » et « gaucheif ». L'orientation standard, où le plan xy est horizontal et l' axe z pointe vers le haut (et les axes x et y forment un système de coordonnées bidimensionnel orienté positivement dans le plan xy lorsqu'il est observé du dessus du plan xy ), est appelée directe ou positive .
Le nom provient de la règle de la main droite . Si l' index de la main droite est pointé vers l'avant, le majeur replié à angle droit par rapport à lui, et le pouce placé à angle droit par rapport aux deux, ces trois doigts indiquent l'orientation relative des axes x , y et z dans un système de coordonnées pour droitiers . Le pouce indique l' axe x , l'index l' axe y et le majeur l' axe z . Inversement, si l'on effectue la même opération avec la main gauche, on obtient un système de coordonnées pour gauchers.
La figure 7 illustre un système de coordonnées gauche et un système de coordonnées droites. La représentation d'un objet tridimensionnel sur un écran bidimensionnel engendre des distorsions et des ambiguïtés. L'axe pointant vers le bas (et vers la droite) est censé être dirigé vers l'observateur, tandis que l'axe médian est censé être dirigé dans la direction opposée. Le cercle rouge, parallèle au plan horizontal xy , indique une rotation de l' axe x vers l' axe y (dans les deux cas). Par conséquent, la flèche rouge passe devant l' axe z .
La figure 8 est une autre tentative de représentation d'un système de coordonnées direct. Là encore, une ambiguïté résulte de la projection du système de coordonnées tridimensionnel sur le plan. De nombreux observateurs perçoivent la figure 8 comme oscillant entre un cube convexe et un coin concave . Ceci correspond aux deux orientations possibles de l'espace. Une vision convexe de la figure correspond à un système de coordonnées inverse. Ainsi, la manière « correcte » d'interpréter la figure 8 consiste à imaginer l' axe des abscisses pointant vers l'observateur, et donc à percevoir un coin concave.