Géométrie

Euclide définit un angle plan comme l'inclinaison, dans un plan, de deux droites qui se rencontrent et ne sont pas coplanaires. En termes modernes, un angle est la figure formée par deux demi-droites , appelées côtés de l'angle, ayant une origine commune, appelée sommet de l'angle. La mesure d'un angle est formalisée par une mesure angulaire .

En géométrie euclidienne , les angles servent à étudier les polygones et les triangles , et constituent également un objet d'étude à part entière. L'étude des angles d'un triangle ou des angles d'un cercle trigonométrique forme la base de la trigonométrie .

En géométrie différentielle et en calcul , les angles entre courbes planes ou courbes spatiales ou surfaces peuvent être calculés à l'aide de la dérivée .

La congruence et la similitude sont généralisées en géométrie des transformations , qui étudie les propriétés des objets géométriques qui sont préservées par différents types de transformations.

La géométrie traditionnelle admettait les dimensions 1 (une ligne ou une courbe), 2 (un plan ou une surface) et 3 (notre environnement, conçu comme un espace tridimensionnel ). De plus, les mathématiciens et les physiciens utilisent des dimensions supérieures depuis près de deux siècles. Un exemple d'application mathématique des dimensions supérieures est l' espace de configuration d'un système physique, dont la dimension est égale au nombre de degrés de liberté du système . Par exemple, la configuration d'une vis peut être décrite par cinq coordonnées.

En topologie générale , le concept de dimension a été étendu des nombres naturels à la dimension infinie ( espaces de Hilbert , par exemple) et aux nombres réels positifs (en géométrie fractale ). En géométrie algébrique , la dimension d'une variété algébrique a reçu plusieurs définitions apparemment différentes, mais toutes équivalentes dans la plupart des cas.

Le thème de la symétrie en géométrie est presque aussi ancien que la géométrie elle-même. Les formes symétriques telles que le cercle , les polygones réguliers et les solides de Platon revêtaient une profonde signification pour de nombreux philosophes antiques et ont été étudiées en détail avant Euclide. Les motifs symétriques se rencontrent dans la nature et ont été rendus artistiquement sous de multiples formes, notamment dans les œuvres de Léonard de Vinci , M.C. Escher et d'autres artistes. Dans la seconde moitié du XIXe siècle, la relation entre symétrie et géométrie a fait l'objet d'un examen approfondi. Le programme d'Erlangen de Felix Klein affirmait que, dans un sens très précis, la symétrie, exprimée par la notion de groupe de transformations, détermine ce qu'est la géométrie . En géométrie euclidienne classique, la symétrie est représentée par les congruences et les transformations rigides, tandis qu'en géométrie projective, les collinéations , transformations géométriques qui transforment des segments de droite en segments de droite, jouent un rôle analogue . C’est toutefois dans les nouvelles géométries de Bolyai et Lobachevsky, Riemann, Clifford et Klein, et Sophus Lie que l’idée de Klein de « définir une géométrie via son groupe de symétrie » a trouvé son inspiration. Les symétries discrètes et continues jouent toutes deux un rôle prépondérant en géométrie, les premières en topologie et en théorie géométrique des groupes , les secondes en théorie de Lie et en géométrie riemannienne .

Un autre type de symétrie est le principe de dualité en géométrie projective , entre autres domaines. Ce métaphénomène peut être décrit approximativement comme suit : dans tout théorème , échanger un point avec un plan , joindre un point avec un plan et un autre point se rencontre , un point appartient à un espace vectoriel contenant un autre point , et le résultat est un théorème tout aussi vrai. Une forme de dualité similaire et étroitement liée existe entre un espace vectoriel et son espace dual .

En particulier, la géométrie différentielle est importante en physique mathématique en raison de la postulation de la relativité générale d' Albert Einstein selon laquelle l' univers est courbe . La géométrie différentielle peut être intrinsèque (c'est-à-dire que les espaces considérés sont des variétés différentiables dont la structure géométrique est régie par une métrique riemannienne , qui détermine la mesure des distances au voisinage de chaque point) ou extrinsèque (lorsque l'objet étudié appartient à un espace euclidien plat ambiant).

La topologie est le domaine qui étudie les propriétés des applications continues et peut être considérée comme une généralisation de la géométrie euclidienne . En pratique, la topologie consiste souvent à traiter des propriétés à grande échelle des espaces, telles que la connexité et la compacité .

La topologie, domaine qui a connu un développement considérable au XXe siècle, est, au sens technique du terme, une forme de géométrie des transformations , où les transformations sont des homéomorphismes . On l'exprime souvent par l'expression « la topologie est une géométrie élastique ». Parmi les sous-domaines de la topologie, on trouve la topologie géométrique , la topologie différentielle , la topologie algébrique et la topologie générale .

La géométrie algébrique est fondamentalement l'étude, au moyen de méthodes algébriques , de certaines formes géométriques, appelées ensembles algébriques , et définies comme les zéros communs de polynômes multivariés . La géométrie algébrique est devenue un sous-domaine autonome de la géométrie zéros de Hilbert qui établit une correspondance forte entre les ensembles algébriques et les idéaux des anneaux de polynômes . Ceci a conduit au développement parallèle de la géométrie algébrique et de son pendant algébrique, l' algèbre commutative . De la fin des années 1950 au milieu des années 1970, la géométrie algébrique a connu un développement fondamental majeur, avec l'introduction par Alexander Grothendieck de la théorie des schémas , qui permet d'utiliser des méthodes topologiques , notamment les théories de cohomologie, dans un contexte purement algébrique. La théorie des schémas a permis de résoudre de nombreux problèmes difficiles, non seulement en géométrie, mais aussi en théorie des nombres . La démonstration par Wiles du dernier théorème de Fermat est un exemple célèbre de problème ancien de théorie des nombres dont la solution utilise la théorie des schémas et ses extensions, comme la théorie des champs . L'un des sept problèmes du prix du millénaire , la conjecture de Hodge , est une question de géométrie algébrique.

La géométrie algébrique a des applications dans de nombreux domaines, notamment la cryptographie et la théorie des cordes .

La géométrie complexe est apparue pour la première fois comme domaine d'étude distinct dans les travaux de Bernhard Riemann sur les surfaces de Riemann . Des travaux dans l'esprit de Riemann ont été menés par l' école italienne de géométrie algébrique au début du XXe siècle. L'étude contemporaine de la géométrie complexe a débuté avec les travaux de Jean-Pierre Serre , qui a introduit le concept de faisceaux et a mis en lumière les relations entre géométrie complexe et géométrie algébrique. Les principaux objets d'étude en géométrie complexe sont les variétés complexes , les variétés algébriques complexes et les variétés analytiques complexes , ainsi que les fibrés vectoriels holomorphes et les faisceaux cohérents sur ces espaces. Parmi les espaces étudiés en géométrie complexe, on peut citer les surfaces de Riemann et les variétés de Calabi-Yau , qui trouvent des applications en théorie des cordes. En particulier, les surfaces d'univers des cordes sont modélisées par des surfaces de Riemann, et la théorie des supercordes prédit que les 6 dimensions supplémentaires de l'espace-temps à 10 dimensions peuvent être modélisées par des variétés de Calabi-Yau.

La géométrie discrète est une discipline étroitement liée à la géométrie convexe . Elle s'intéresse principalement aux questions de position relative d'objets géométriques simples, tels que les points, les droites et les cercles. On peut citer comme exemples l'étude des empilements de sphères , des triangulations , la conjecture de Kneser-Poulsen, etc. Elle partage de nombreuses méthodes et principes avec la combinatoire .

Bien qu’étant un domaine jeune de la géométrie, il a de nombreuses applications dans la vision par ordinateur , le traitement d’images , la conception assistée par ordinateur , l’imagerie médicale , etc.

Depuis le programme d'Erlangen de Klein , les groupes sont appréhendés comme des objets géométriques . La théorie géométrique des groupes étudie les actions de groupes sur des objets considérés comme géométriques (notamment les actions isométriques sur les espaces métriques ) afin d'étudier les groupes de type fini , faisant souvent appel à des techniques géométriques à grande échelle et empruntant à la topologie, la géométrie, la dynamique et l'analyse . Elle a eu un impact significatif sur la topologie de basse dimension , un résultat célèbre étant la démonstration par Agol de la conjecture de Haken virtuelle , qui combine la géométrisation de Perelman avec des techniques de cubulation .

Les actions de groupes sur leurs graphes de Cayley constituent des exemples fondamentaux d'actions de groupes isométriques. Parmi les autres sujets importants figurent les quasi-isométries , les groupes hyperboliques de Gromov et leurs généralisations ( groupes hyperboliques relativement et acylindriques ), les groupes libres et leurs automorphismes , les groupes agissant sur les arbres , diverses notions de courbure non positive pour les groupes ( groupes CAT(0) , fonctions de Dehn , automaticité …), les groupes d'Artin à angle droit , et des sujets proches de la théorie combinatoire des groupes, tels que la théorie des petites simplifications et les problèmes algorithmiques (par exemple, les problèmes de mots , de conjugaison et d'isomorphisme ). D'autres sujets de théorie des groupes, comme les groupes de classes d'applications , la propriété (T) , la résolubilité , l'aménabilité et les treillis dans les groupes de Lie, sont parfois considérés comme relevant fortement de la géométrie.

La géométrie convexe remonte à l'Antiquité. Archimède a donné la première définition précise connue de la convexité. Le problème isopérimétrique , concept récurrent en géométrie convexe, a également été étudié par les Grecs, notamment Zénodore . Archimède, Platon , Euclide , puis Kepler et Coxeter ont tous étudié les polytopes convexes et leurs propriétés. À partir du XIXe siècle, les mathématiciens ont exploré d'autres domaines des mathématiques convexes, tels que les polytopes de dimension supérieure, le volume et l'aire des corps convexes, la courbure de Gauss , les algorithmes , les pavages et les réseaux .

Les mathématiques et l’art sont liés de diverses manières. Par exemple, la théorie de la perspective a montré que la géométrie ne se limite pas aux propriétés métriques des figures : la perspective est à l’origine de la géométrie projective .

Les artistes utilisent depuis longtemps les concepts de proportion dans la conception. Vitruve a développé une théorie complexe des proportions idéales de la figure humaine. Ces concepts ont été utilisés et adaptés par des artistes allant de Michel-Ange aux dessinateurs de bandes dessinées modernes.

Le nombre d'or est une proportion particulière qui a joué un rôle controversé dans l'art. Souvent considéré comme le rapport de longueurs le plus esthétique, il est fréquemment cité comme ayant été intégré à des œuvres d'art célèbres, bien que les exemples les plus fiables et les plus incontestables aient été réalisés délibérément par des artistes conscients de cette légende.

Les pavages , ou tessellations, ont été utilisés dans l'art à travers l'histoire. L'art islamique y recourt fréquemment, tout comme l'œuvre de M.C. Escher . L'œuvre d'Escher utilise également la géométrie hyperbolique .

Cézanne a avancé la théorie selon laquelle toutes les images peuvent être construites à partir de la sphère , du cône et du cylindre . Cette théorie est encore utilisée aujourd'hui en art, bien que la liste exacte des formes varie d'un auteur à l'autre.

La géométrie riemannienne et la géométrie pseudo-riemannienne sont utilisées en relativité générale . La théorie des cordes utilise plusieurs variantes de géométrie, tout comme la théorie de l'information quantique .