Worldlex Wiki L'analyse fonctionnelle est une branche de l'analyse mathématique dont le cœur est constitué par l'étude des espaces vectoriels munis d'une structure liée à la limite (par exemple, le produit scalaire , la norme ou la topologie ) et des fonctions linéaires définies sur ces espaces et respectant ces structures. Historiquement, l'analyse fonctionnelle trouve ses racines dans l'étude des espaces de fonctions et la formulation des propriétés des transformations de fonctions, telles que la transformée de Fourier, comme des transformations définissant, par exemple, des opérateurs continus ou unitaires entre espaces de fonctions. Ce point de vue s'est avéré particulièrement utile pour l'étude des équations différentielles et intégrales .
L'emploi du mot « fonctionnelle » comme nom remonte au calcul des variations , désignant une fonction dont l'argument est lui-même une fonction . Le terme fut employé pour la première fois dans l'ouvrage d' Hadamard sur ce sujet, publié en 1910. Cependant, le concept général de fonctionnelle avait été introduit dès 1887 par le mathématicien et physicien italien Vito Volterra . La théorie des fonctionnelles non linéaires fut poursuivie par les élèves d'Hadamard, notamment Fréchet et Lévy . Hadamard fonda également l'école moderne d'analyse fonctionnelle linéaire, développée plus avant par Riesz et le groupe de mathématiciens polonais gravitant autour de Stefan Banach .
Dans les manuels d'introduction modernes à l'analyse fonctionnelle, cette discipline est présentée comme l'étude des espaces vectoriels munis d'une topologie, notamment des espaces de dimension infinie . À l'inverse, l'algèbre linéaire traite principalement des espaces de dimension finie et n'utilise pas la topologie. Une part importante de l'analyse fonctionnelle consiste en l'extension des théories de la mesure , de l'intégration et des probabilités aux espaces de dimension infinie, également appelée analyse de dimension infinie .
des espaces vectoriels normés complets sur les nombres réels ou complexes . Ces espaces sont appelés espaces de Banach . Un exemple important est l' espace de Hilbert , où la norme est définie par un produit scalaire. Ces espaces sont d'une importance fondamentale dans de nombreux domaines, notamment la formulation mathématique de la mécanique quantique , l'apprentissage automatique , les équations aux dérivées partielles et l'analyse de Fourier .Plus généralement, l'analyse fonctionnelle inclut l'étude des espaces de Fréchet et autres espaces vectoriels topologiques non munis d'une norme.
En analyse fonctionnelle, les opérateurs linéaires continus définis sur les espaces de Banach et de Hilbert constituent un objet d'étude important . Ceux-ci conduisent naturellement à la définition des C*-algèbres et d'autres algèbres d'opérateurs .
Espaces de Hilbert
Les espaces de Hilbert sont complètement classifiables : à isomorphisme près, il existe un unique espace de Hilbert pour toute cardinalité de la base orthonormée . Les espaces de Hilbert de dimension finie sont parfaitement compris en algèbre linéaire , et les espaces de Hilbert séparables de dimension infinie sont isomorphes à . La séparabilité étant importante pour les applications, l’analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert s’intéresse donc principalement à cet espace. Un des problèmes ouverts en analyse fonctionnelle est de démontrer que tout opérateur linéaire borné sur un espace de Hilbert possède un sous-espace invariant propre . De nombreux cas particuliers de ce problème de sous-espace invariant ont déjà été démontrés.
Espaces de Banach
Les espaces de Banach généraux sont plus complexes que les espaces de Hilbert et ne peuvent être classés aussi simplement. En particulier, de nombreux espaces de Banach ne possèdent pas de notion analogue à celle d'une base orthonormée .
Les espaces de Banach sont des exemples d' espaces de Banach pour tout nombre réel fonctions mesurables dont la valeur absolue de la puissance -ième de a une intégrale finie ; c'est-à-dire les fonctions pour lesquelles on a
Si est la mesure de comptage , alors l'intégrale peut être remplacée par une somme. Autrement dit, nous exigeons
Il n’est alors pas nécessaire de traiter des classes d’équivalence, et l’espace est noté entiers non négatifs .
Dans les espaces de Banach, une grande partie de l'étude porte sur l' espace dual : l'espace de toutes les applications linéaires continues de l'espace dans son corps sous-jacent, appelées fonctionnelles. Un espace de Banach peut être identifié canoniquement à un sous-espace de son bidual, qui est le dual de son espace dual. L'application correspondante est une isométrie , mais en général non surjective. Un espace de Banach quelconque et son bidual ne sont pas nécessairement isométriquement isomorphes, contrairement au cas des espaces de dimension finie. Ceci est expliqué dans l'article sur l'espace dual.
De plus, la notion de dérivée peut être étendue à des fonctions quelconques entre espaces de Banach. Voir, par exemple, l' article sur la dérivée de Fréchet .
analyse fonctionnelle linéaire
Les principaux résultats de l'analyse fonctionnelle comprennent :
Principe de limitation uniforme
Le théorème a été publié pour la première fois en 1927 par Stefan Banach et Hugo Steinhaus , mais il a également été prouvé indépendamment par Hans Hahn .
espace de Banach et un espace vectoriel normé . Supposons que soit une famille d'opérateurs linéaires continus de vers . Si, pour tout dans , on a , alorsThéorème spectral
C’est le début du vaste domaine de recherche de l’analyse fonctionnelle appelé théorie des opérateurs ; voir aussi la mesure spectrale .
Il existe également un théorème spectral analogue pour les opérateurs normaux bornés sur les espaces de Hilbert. La seule différence dans la conclusion est que, désormais, l'opérateur peut être à valeurs complexes.