Worldlex Wiki Un entier est le nombre zéro ( 0 ), un nombre naturel positif (1, 2, 3, ...) ou l'opposé d'un nombre naturel positif ( −1 , −2, −3, ...). Les opposés ou inverses additifs des ensemble de tous les entiers est souvent noté gras
L'ensemble des nombres naturels sous -ensemble de qui est lui - même un sous-ensemble de l'ensemble des nombres rationnels nombres réels Comme l'ensemble des nombres naturels, l'ensemble des entiers . Un entier peut être considéré comme un nombre réel qui peut s'écrire sans partie fractionnaire . Par exemple, 21, 4, 0 et −2048 sont des entiers, tandis que 9,75 et 5+1/2 , 5/4 et la racine carrée de 2 ne le sont pas.
L'ensemble des entiers forme le plus petit groupe et le plus petit anneau contenant les nombres naturels . En théorie algébrique des nombres , on appelle parfois les entiers rationnels pour les distinguer des entiers algébriques , plus généraux . En fait, les entiers rationnels sont des entiers algébriques qui sont également des nombres rationnels .
latin « integer » , qui signifie « entier » ou (littéralement) « intact », composé de « in » (« non ») et « tangere » (« toucher »). « Entier » dérive de la même origine, via le mot français « entier » , qui signifie à la fois entier et entier . Historiquement, le terme était utilisé pour un nombre multiple de 1, ou pour la partie entière d'un nombre mixte . Seuls les entiers positifs étaient considérés, ce qui rendait le terme synonyme de nombres naturels . La définition d'entier s'est élargie au fil du temps pour inclure les nombres négatifs, à mesure que leur utilité était reconnue. Par exemple, Leonhard Euler, dans ses Éléments d'algèbre de 1765 , a défini les entiers comme incluant à la fois les nombres positifs et négatifs.L'expression « ensemble des entiers » n'était pas utilisée avant la fin du XIXe siècle, lorsque Georg Cantor introduisit le concept d' ensembles infinis et la théorie des ensembles . L'emploi de la lettre Z pour désigner l'ensemble des entiers provient du mot allemand Zahlen (« nombres ») et a été attribué à David Hilbert . La première utilisation connue de cette notation dans un manuel d'algèbre se trouve dans l'ouvrage Algèbre du collectif Nicolas Bourbaki , datant de 1947 La notation ne fut pas adoptée immédiatement. Par exemple, un autre manuel utilisait la lettre J , et un article de 1960 employait Z pour désigner les entiers non négatifs . Mais dès 1961, Z était généralement utilisé par les manuels d'algèbre modernes pour désigner les entiers positifs et négatifs
Le symbole est souvent annoté pour désigner différents ensembles, avec des usages variables selon les auteurs : , , ou "}},"i":0}}] " 
propriétés algébriques
L' anneau des entiers est l' anneau le plus élémentaire, au sens suivant : pour tout anneau, il existe un unique homomorphisme d'anneaux des entiers vers cet anneau. Cette propriété universelle , à savoir être un objet initial dans la catégorie des anneaux , caractérise l'anneau injectif si et seulement si la caractéristique de l'anneau est nulle. Il s'ensuit que tout anneau de caractéristique nulle contient un sous-anneau isomorphe à
des nombres naturels n'est pas stable par division , car le quotient de deux entiers (par exemple, 1 divisé par 2) n'est pas nécessairement un entier. Bien que l'ensemble des nombres naturels soit stable par exponentiation , celui des entiers naturels ne l'est pas (puisque le résultat peut être une fraction lorsque l'exposant est négatif).
Le tableau suivant répertorie certaines des propriétés fondamentales de l'addition et de la multiplication pour tous entiers Les quatre premières propriétés de la multiplication mentionnées ci-dessus indiquent que muni de la multiplication est un monoïde commutatif . Cependant, tout entier n'a pas d'inverse multiplicatif (comme c'est le cas pour le nombre 2), ce qui signifie que muni de la multiplication n'est pas un groupe. L'ensemble des règles du tableau de propriétés ci-dessus (à l'exception de la dernière) indique que de l'addition et de la multiplication, cet anneau est commutatif unitaire . Il est le prototype de tout objet de cette structure algébrique . Seules les égalités d' expressions vraies dans pour toutes les valeurs des variables, qui sont vraies dans tout anneau commutatif unitaire, sont vérifiées . Certains entiers non nuls s'annulent dans certains anneaux. L'absence de diviseurs de zéro dans les entiers (dernière propriété du tableau) signifie que l'anneau commutatif anneau L'absence d'inverses multiplicatifs, ce qui équivaut au fait que stable par division, signifie que un corps . Le plus petit corps contenant les entiers comme sous-anneau est le corps des nombres rationnels . La construction des rationnels à partir des entiers permet de former le corps des fractions de tout anneau intègre. Et inversement, à partir d'un corps algébrique ( une extension du corps des nombres rationnels), on peut extraire son anneau des entiers , qui contient - anneau . Bien que la division ordinaire ne soit pas définie sur la division euclidienne l'est. Elle possède la propriété importante suivante : étant donné deux entiers valeur absolue de reste de la division de algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) fonctionne par une suite de divisions euclidiennes. est un anneau euclidien est un anneau principal , et que tout entier positif peut s'écrire comme produit de nombres premiers de manière essentiellement unique . Il s'agit du théorème fondamental de l'arithmétique . est un ensemble totalement ordonné, sans borne supérieure ni inférieure . L'ordre de est donné par : Un entier est positif s'il est supérieur à zéro , et négatif s'il est inférieur à zéro. Zéro est défini comme n'étant ni négatif ni positif. L'ordre des entiers est compatible avec les opérations algébriques de la manière suivante : Les entiers sont le seul groupe abélien totalement ordonné non trivial dont les éléments positifs sont bien ordonnés . Ceci est équivalent à l'affirmation que tout anneau de valuation noethérien est soit un corps , soit un anneau de valuation discret . Dans l'enseignement primaire, les entiers sont souvent définis intuitivement comme l'union des nombres naturels (positifs), de zéro et de leurs négations. Cette définition peut être formalisée comme suit. On construit d'abord l'ensemble des nombres naturels selon les axiomes de Peano , que l'on appelle construit ensuite un ensemble et en bijection avec des couples Les opérations arithmétiques classiques peuvent alors être définies sur les entiers par morceaux , pour chaque groupe : nombres positifs, nombres négatifs et zéro. Par exemple, la négation est définie comme suit : Le style de définition traditionnel conduit à de nombreux cas différents (chaque opération arithmétique doit être définie sur chaque combinaison de types d'entiers) et rend fastidieux de prouver que les entiers obéissent aux différentes lois de l'arithmétique. En mathématiques ensemblistes modernes, une construction plus abstraite permettant de définir des opérations arithmétiques sans distinction de cas est souvent utilisée à la place. Les entiers peuvent ainsi être formellement construits comme les classes d'équivalence de paires ordonnées de nombres naturels relation d'équivalence En informatique théorique, d'autres méthodes de construction des entiers sont utilisées par les démonstrateurs de théorèmes automatiques et les moteurs de réécriture de termes . Les entiers sont représentés comme des termes algébriques construits à l'aide de quelques opérations de base (par exemple, zéro , succ , préd ) et de nombres naturels , supposés déjà construits (selon l' approche de Peano ). Il existe au moins dix constructions de ce type d'entiers signés. Ces constructions diffèrent de plusieurs manières : le nombre d'opérations de base utilisées pour la construction, le nombre (généralement entre 0 et 2) et les types d'arguments acceptés par ces opérations ; la présence ou l'absence de nombres naturels comme arguments de certaines de ces opérations, et le fait que ces opérations soient des constructeurs libres ou non, c'est-à-dire que le même entier puisse être représenté en utilisant un seul ou plusieurs termes algébriques. La technique de construction des entiers présentée dans la section précédente correspond au cas particulier où il existe une unique opération de base, ` pair`, qui prend comme arguments deux nombres naturels assistant de preuve Isabelle ; cependant, de nombreux autres outils utilisent des techniques alternatives, notamment celles basées sur des constructeurs libres, qui sont plus simples et peuvent être implémentées plus efficacement sur ordinateur. Les représentations de longueur variable des entiers, comme les grands nombres , peuvent stocker n'importe quel entier pouvant tenir dans la mémoire de l'ordinateur. D'autres types de données entières sont implémentés avec une taille fixe, généralement un nombre de bits qui est une puissance de 2 (4, 8, 16, etc.) ou un nombre de chiffres décimaux facile à mémoriser (par exemple, 9 ou 10). L'ensemble des entiers est dénombrable , ce qui signifie qu'il est possible d'associer à chaque entier un unique nombre naturel. Un exemple d'une telle association est :Ajout Multiplication Fermeture : Associativité : Commutativité : élément d'identité : éléments inverses : unités ) sont −1 et 1. Distributivité : diviseur de zéro : Si , muni de l'addition, est un groupe abélien . C'est également un groupe cyclique , puisque tout entier non nul peut s'écrire comme une somme finie muni de l'addition, est le seul groupe cyclique infini — au sens où tout groupe cyclique infini est isomorphe à . propriétés de la théorie de l'ordre
Construction
Développement traditionnel
Classes d'équivalence de paires ordonnées
Autres approches
L'informatique
Cardinalité