anneau commutatif

En mathématiques , un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est commutative . L'étude des anneaux commutatifs est appelée algèbre commutative . Par opposition, l'algèbre non commutative étudie les propriétés des anneaux qui ne sont pas spécifiques aux anneaux commutatifs. Cette distinction s'explique par le grand nombre de propriétés fondamentales des anneaux commutatifs qui ne s'étendent pas aux anneaux non commutatifs.

Les anneaux commutatifs apparaissent dans la chaîne d' inclusions de classes suivante :

anneaux ⊃ anneaux commutatifs ⊃ anneaux intègres ⊃ anneaux intégralement clos ⊃de PGCD ⊃ anneaux de factorisation unique ⊃ anneaux d'idéaux principaux ⊃ anneaux euclidiens ⊃ corps ⊃ corps algébriquement closensemble muni de deux opérations binaires , c'est-à-dire des opérations qui combinent deux éléments quelconques de l'anneau en un troisième. Ces opérations sont appelées addition et multiplication et sont généralement notées « + » et « - » ; par exemple, a + b et b + c. Pour qu'un anneau soit valide, ces deux opérations doivent satisfaire plusieurs propriétés : l'anneau doit être un groupe abélien pour l'addition et un monoïde pour la multiplication, la multiplication étant distributive sur l'addition ; c'est-à-dire a + b = c . Les éléments neutres pour l'addition et la multiplication sont notés respectivement a et b.

Si la multiplication est commutative, alors l'anneau est dit commutatif . Dans la suite de cet article, tous les anneaux seront commutatifs, sauf indication contraire.

Premiers exemples

Un exemple important, voire crucial, est l' anneau des entiers muni des deux opérations d'addition et de multiplication. La multiplication des entiers étant commutative, cet anneau est commutatif. Il est généralement noté par l'abréviation du mot allemand Zahlen (nombres).

Un corps est un anneau commutatif où (0 = 1 uniquement dans l' anneau trivial ) et où tout élément non nul est inversible ; c'est-à-dire qu'il possède un inverse multiplicatif tel que . Par définition, tout corps est donc un anneau commutatif. Les nombres rationnels , réels et complexes forment des corps.

Si est un anneau commutatif donné, alors l'ensemble de tous les polynômes en la variable dont les coefficients appartiennent à forme l' anneau de polynômes , noté . Il en va de même pour plusieurs variables.

Si est un espace topologique , par exemple un sous-ensemble de , les fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur forment un anneau commutatif. Il en va de même pour les fonctions différentiables ou holomorphes , lorsque ces deux concepts sont définis, comme par exemple pour une variété complexe .

Divisibilité

Contrairement aux corps, où tout élément non nul est multiplicativement inversible, la notion de divisibilité est plus riche pour les anneaux. Un élément d'un anneau est dit invariant s'il possède un inverse multiplicatif. Parmi les éléments particuliers, on trouve les diviseurs de zéro , c'est-à-dire les éléments pour lesquels il existe un élément non nul de l'anneau tel que . Si un anneau ne possède aucun diviseur de zéro non nul, on l'appelle anneau intègre . Un élément satisfaisant pour un certain entier positif est dit nilpotent .

Localisations

sous-ensemble multiplicativement clos de (c'est-à-dire que si , alors l'est aussi ), alors la localisation de en , ou anneau des fractions à dénominateur dans , généralement noté , est constituée des symboles

avec

sous réserve de certaines règles qui imitent la simplification bien connue des nombres rationnels. En effet, dans ce langage, est la localisation de pour tout entier non nul. Cette construction fonctionne pour tout anneau intègre au lieu de . La localisation est un corps, appelé le corps quotient de .

Idéaux et modules

bilatères , ce qui simplifie considérablement la situation.

Modules

anneaux noethériens

Emmy Noether , qui a développé ce concept) si toute chaîne ascendante d'idéaux devient stationnaire, c'est-à-dire constante au-delà d'un certain indice . De manière équivalente, tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments, ou encore, de façon équivalente, les sous-modules de modules de type fini sont de type fini. $La noethéricité est une condition de finitude très importante, et cette condition est préservée par de nombreuses opérations fréquentes en géométrie. Par exemple, si un objet est noethérien, alors l'anneau des polynômes l'est aussi (d'après le théorème des bases de Hilbert), toute localisation l'est également, ainsi que tout anneau quotient . Tout anneau non noethérien est l' union de ses sous-anneaux noethériens. Ce fait, appelé artinien (d'après Emil Artin) si toute chaîne descendante d'idéaux finit par être stationnaire. Bien que les deux conditions semblent symétriques, les anneaux noethériens sont beaucoup plus généraux que les anneaux artiniens. Par exemple, l'anneau Σμνον est noethérien, car tout idéal peut être engendré par un seul élément, mais il n'est pas artinien, comme le montre la chaîne Σμνο ...$

Spectre d'un anneau commutatif

Idéaux premiers

anneau de factorisation unique . Ceci n'est pas vrai pour les anneaux plus généraux, comme les algébristes l'ont constaté au XIXe siècle. Par exemple, dans l'anneau , il existe deux manières distinctes d'écrire 6 comme produit : les idéaux premiers, contrairement aux éléments premiers, permettent de contourner ce problème. Un idéal premier est un idéal propre (c'est-à-dire strictement inclus dans l'anneau ) tel que, si le produit de deux éléments quelconques de l'anneau et appartient à l'anneau , au moins l'un des deux éléments appartient déjà à l'anneau (la réciproque est vraie pour tout idéal, par définition). Ainsi, si un idéal premier est principal, il est engendré de manière équivalente par un élément premier. Cependant, dans les anneaux tels que , les idéaux premiers ne sont pas nécessairement principaux. Ceci limite l'utilisation des éléments premiers en théorie des anneaux. Un fondement de la théorie algébrique des nombres est néanmoins le fait que, dans tout anneau de Dedekind (qui inclut et, plus généralement, l' anneau des entiers dans un corps de nombres ), tout idéal (tel que celui engendré par 6) se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. $Tout idéal maximal est un idéal premier, ou, plus simplement, est premier. De plus, un idéal est premier si et seulement si son anneau quotient est un anneau intègre. Démontrer qu'un idéal est premier, ou de manière équivalente qu'un anneau n'a pas de diviseurs de zéro, peut s'avérer très difficile. On peut aussi exprimer ce résultat en disant que le complémentaire est multiplicativement clos. La localisation est suffisamment importante pour avoir sa propre notation : . Cet anneau possède un unique idéal maximal, à savoir . De tels anneaux sont dits locaux .$

Spectre

Spec( Z ) contient un point pour l'idéal nul. L'adhérence de ce point est l'espace entier. Les points restants sont ceux correspondant aux idéaux ( p ), où p est un nombre premier. Ces points sont fermés .
Le spectre d'un anneau , , noté , est l'ensemble de tous ses idéaux premiers . Il est muni d'une topologie, la topologie de Zariski , qui reflète les propriétés algébriques de . Une base d'ouverts est donnée par , où est un élément quelconque de l'anneau. Interprétée comme une fonction qui prend la valeur f modulo p (c'est-à-dire l'image de f dans le corps résiduel R / p ), cette base est le lieu où f est non nulle. Le spectre précise également l'intuition que les anneaux de localisation et les anneaux quotients sont complémentaires : les applications naturelles des immersions ouvertes et fermées complémentaires respectivement. Même pour les anneaux élémentaires, comme illustré pour
composantes irréductibles de Spec R. Pour un anneau noethérien R , Spec R ne possède qu'un nombre fini de composantes irréductibles. Ceci est une reformulation géométrique de la décomposition primaire , selon laquelle tout idéal peut être décomposé en un produit d'un nombre fini d'idéaux premiers . Ce fait constitue la généralisation ultime de la décomposition en idéaux premiers dans les anneaux de Dedekind.

schémas affines

La notion de spectre est le fondement commun de l'algèbre commutative et de la géométrie algébrique . En géométrie algébrique, on munit Spec R d'un faisceau (une entité qui regroupe les fonctions définies localement, c'est-à-dire sur des ouverts variables). L'espace et le faisceau sont appelés schéma affine . Étant donné un schéma affine, l'anneau sous-jacent R peut être retrouvé comme la somme des sections globales de ce schéma . De plus, cette bijection entre anneaux et schémas affines est également compatible avec les homomorphismes d'anneaux : toute application f : R → S induit une application continue dans l'autre sens.

préimage sous f , qui est un idéal premier de R .

L' équivalence qui en résulte entre ces deux catégories reflète parfaitement les propriétés algébriques des anneaux d'une manière géométrique.

De même que les variétés sont localement définies par des ouverts de R<sup> ^n</sup> , les schémas affines sont des modèles locaux pour les schémas , qui sont l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Par conséquent, plusieurs notions concernant les anneaux commutatifs découlent de l'intuition géométrique.

Dimension

à n dimensions .
La dimension est définie, pour tout anneau R , comme le supremum des longueurs n des chaînes d'idéaux premiers.
nombre premier . Pour les anneaux non noethériens, et également pour les anneaux non locaux, la dimension peut être infinie, mais les anneaux noethériens locaux sont de dimension finie. Parmi les quatre axiomes ci-dessus, les deux premiers découlent élémentairement de la définition, tandis que les deux derniers reposent sur des résultats importants en algèbre commutative : le théorème de la progression et le théorème de Krull sur l'idéal principal .

homomorphismes d'anneaux

idéal de R , et l'image est un sous-anneau de S .
restes chinois , est celui où nombres premiers deux à
Les anneaux commutatifs, munis d'homomorphismes d'anneaux, forment une catégorie . L'anneau Z est l' objet initial de cette catégorie, ce qui signifie que pour tout anneau commutatif R , il existe un unique homomorphisme d'anneaux Z → R. Grâce à cette application, un entier n peut être considéré comme un élément de R. Par exemple, la formule du binôme , valable pour deux éléments quelconques a et b de tout anneau commutatif R, est comprise en ce sens en interprétant les coefficients binomiaux comme des éléments de R à l'aide de cette application.
La propriété universelle de produit tensoriel
de type fini (en tant qu'algèbre) s'il existe un nombre fini d'éléments s₁ _,_... , sₙ tels que tout élément de s puisse s'exprimer comme un polynôme en sᵢ _. De manière équivalente, S est isomorphe à
de génération finie en tant que R -module , ce qui signifie que tout s peut être exprimé comme une combinaison R -linéaire d'un ensemble fini s ₁ , ..., s _n .

Anneaux locaux

Un anneau est dit local s'il ne possède qu'un seul idéal maximal, noté m . Pour tout anneau R (pas nécessairement local) , la localisation

corps résiduel de R est défini comme
Le lemme de Nakayama montre que ce passage préserve une information importante : un module M de type fini est nul si et seulement si
La courbe cubique plane (rouge) définie par l'équation y² = ^x² ( x + 1 ) est singulière à l'origine, c'est-à-dire que l'anneau k [ ^{x, y]/y² − x²}( x + 1 ) ^n'est pas régulier . ^Le cône tangent ( bleu ) est la réunion de deux droites, ce qui reflète également cette singularité.
L' espace vectoriel m / m₂ de k dimensions ^est une incarnation algébrique de l' espace cotangent . De manière informelle, les éléments de m peuvent être vus comme des fonctions s'annulant au point p , tandis que m₂ contient celles qui s'annulent d'ordre au moins 2. Pour tout anneau local noethérien R , l'inégalité suivante est ^{vérifiée :}
anneau local régulier . Un anneau local noethérien est régulier si et seulement si l'anneau (qui est l'anneau des fonctions sur le cône tangent ) est isomorphe à un anneau de polynômes sur k . De manière générale, les anneaux locaux réguliers sont assez semblables aux anneaux de polynômes. Les anneaux locaux réguliers sont des anneaux fonctionnels uniformes (UFD). $Les anneaux de valuation discrète sont munis d'une fonction qui associe un entier à tout élément r . Ce nombre, appelé valuation de r, peut être vu de manière informelle comme l'ordre zéro ou pôle de r . Les anneaux de valuation discrète sont précisément les anneaux locaux réguliers de dimension 1. Par exemple, l'anneau des germes des fonctions holomorphes sur une surface de Riemann est un anneau de valuation discrète.$

Intersections complètes

D'après le théorème de l'idéal principal de Krull , un résultat fondamental de la théorie de la dimension des anneaux , la dimension de

s'il peut être présenté de manière à atteindre cette borne minimale. Cette notion est principalement étudiée pour les anneaux locaux. Tout anneau local régulier est complet, mais la réciproque n'est pas vraie .
Un anneau R est une intersection complète au sens ensembliste si l' anneau réduit associé à R , c'est-à-dire celui obtenu en divisant par tous les éléments nilpotents, est une intersection complète. En 2017, on ignorait généralement si les courbes dans l'espace tridimensionnel étaient des intersections complètes au sens ensembliste.

anneaux de Cohen-Macaulay

La profondeur d'un anneau local R est le nombre d'éléments d'une suite régulière maximale (ou, comme on peut le démontrer, de toute suite) c'est-à-dire une suite _a₁_,... , aₙ ∈ m telle que tous les _aᵢ soient des diviseurs non nuls de R.

anneau de Cohen-Macaulay . Les anneaux d'intersection complète locale, et a fortiori les anneaux locaux réguliers, sont des anneaux de Cohen-Macaulay, mais la réciproque n'est pas vraie. Les anneaux de Cohen-Macaulay combinent des propriétés souhaitables des anneaux réguliers (comme la propriété d'être universellement caténaires , ce qui signifie que la (co)dimension des nombres premiers est bien définie), mais sont également plus robustes par rapport aux quotients que les anneaux locaux réguliers.

Construction d'anneaux commutatifs

Il existe plusieurs façons de construire de nouveaux anneaux à partir d'anneaux donnés. Le but de ces constructions est souvent d'améliorer certaines propriétés de l'anneau afin de le rendre plus facilement compréhensible. Par exemple, un anneau intègre intégralement clos dans son corps des fractions est dit normal . C'est une propriété souhaitable ; par exemple, tout anneau normal de dimension 1 est nécessairement régulier . Rendre des voisinages topologiques de 0 , ce qui permet de voir R comme un anneau topologique . Cette topologie est appelée topologie I -adique . R peut alors être complété par rapport à cette topologie. Formellement, le complété I -adique est la limite inverse des anneaux R / I<sub> ^n</sub> . Par exemple, si k est un corps, k [[ X ]] , l' anneau formel des séries formelles à une variable sur k , est le complété I -adique de k [ X ], où I est l'idéal principal engendré par X. Cet anneau est l'analogue algébrique du disque. De même, l'anneau des entiers p -adiques est le complété de Z par rapport à l'idéal principal ( p ). Tout anneau isomorphe à son propre complété est dit complet .

Les anneaux locaux complets satisfont au lemme de Hensel , qui , en gros, permet d'étendre les solutions (de divers problèmes) sur le corps résiduel k à R.

Notions homologiques

Plusieurs aspects plus profonds des anneaux commutatifs ont été étudiés à l'aide de méthodes issues de l'algèbre homologique . facteurs directs des modules libres. Si R est local, tout module projectif de type fini est libre, ce qui justifie une analogie entre les modules projectifs et les fibrés vectoriels . Le théorème de Quillen-Suslin affirme que tout module projectif de type fini sur k [ T₁ , ..., Tₙ ] ( k étant un _corps ) est libre, mais en général, ces deux notions diffèrent. Un anneau noethérien local est régulier si et seulement si sa _dimensionglobale est finie, notée n , ce qui signifie que tout R -module de type fini admet une résolution par des modules projectifs de longueur au plus n .

La démonstration de cet énoncé et d'autres énoncés connexes repose sur l'utilisation de méthodes homologiques, telles que le foncteur Ext . Ce foncteur est le foncteur dérivé du foncteur

nombres de Betti , croissent polynomialement en n si et seulement si R est un anneau d'intersection complet local . Un argument clé dans ces considérations est le complexe de Koszul , qui fournit une résolution libre explicite du corps résiduel k d'un anneau local R en termes d'une suite régulière.

Platitude

Le produit tensoriel est un autre foncteur non exact pertinent dans le contexte des anneaux commutatifs : pour un R -module M général , le foncteur

plat . Si R est local, tout module plat de présentation finie est libre de rang fini, donc projectif. Bien que définie en termes d'algèbre homologique, la platitude a de profondes implications géométriques. Par exemple, si une R -algèbre S est plate, les dimensions de ses fibres
le théorème de Wedderburn , tout anneau à division fini est commutatif, et donc un corps fini . Une autre condition assurant la commutativité d'un anneau, due à Jacobson , est la suivante : pour tout élément r de ℝ, anneau de Boole . Des conditions plus générales garantissant la commutativité d'un anneau sont également connues
Un pantalon est un cobordisme entre un cercle et deux cercles disjoints. Les classes de cobordisme, avec le produit cartésien comme multiplication et l'union disjointe comme somme, forment l' anneau des cobordismes .
Un anneau gradué gradué-commutatif si, pour tous éléments homogènes a et b ,
règle du produit soit vérifiée, c'est-à-dire,
algèbre différentielle graduée commutative (ADGC). Par exemple, le complexe des formes différentielles sur une variété , muni de la multiplication par le produit extérieur , est une ADGC. La cohomologie d'une ADGC est un anneau gradué-commutatif, parfois appelé anneau de cohomologie . De nombreux exemples d'anneaux gradués apparaissent ainsi. Par exemple, l' anneau de Lazard est l'anneau des classes de cobordisme des variétés complexes.
Un anneau gradué-commutatif par rapport à une graduation par Z /2 (par opposition à Z ) est appelé une superalgèbre .
Une notion apparentée est celle d'anneau presque commutatif , ce qui signifie que R est filtré de telle sorte que l'anneau gradué associé soit presque commutatif.
algèbre de Weyl et les anneaux d' opérateurs différentiels plus généraux en sont un exemple .

anneaux commutatifs simpliciaux

Un anneau commutatif simplicial est un objet simplicial dans la catégorie des anneaux commutatifs. Il s'agit d'un élément constitutif de la géométrie algébrique dérivée (connective) . La notion d'anneau E∞ est étroitement liée à celle d' _anneau E∞ , mais plus générale .

Applications des anneaux commutatifs

Fonctions holomorphes
Théorie K algébrique
Théorie K topologique
Structures de pouvoir divisées
Vecteurs de Witt
Algèbre de Hecke (utilisée dans la démonstration par Wiles du dernier théorème de Fermat )
Bagues d'époque de Fontaine
algèbre de cluster
algèbre de convolution (d'un groupe commutatif)
algèbre de Fréchet

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