Worldlex Wiki Définition
Un polynôme est une expression qui peut être construite à partir de constantes et de symboles appelés variables ou indéterminées, au moyen d' additions , de multiplications et d'exponentiations à des puissances entières positives ou nulles . Les constantes sont généralement des nombres , mais peuvent être n'importe quel objet mathématique n'impliquant pas les indéterminées et pouvant être additionné et multiplié. Deux expressions polynomiales sont considérées comme définissant le même polynôme si elles peuvent être transformées l'une en l'autre en appliquant les propriétés usuelles de commutativité , d'associativité et de distributivité de l'addition et de la multiplication. Par exemple, et sont deux expressions polynomiales qui représentent le même polynôme ; l'une est donc égale à .
Un polynôme en une seule indéterminée fonction , appelée fonction polynomiale ; voir
terme constant et polynôme constant . Le degré d'un terme constant et d'un polynôme constant non nul est . Le degré du polynôme nul (qui ne comporte aucun terme) est généralement considéré comme indéfini (voir ci-dessous).
Par exemple : est un terme. Son coefficient est , ses indéterminées sont et , le degré de est deux, tandis que celui de est un. Le degré du terme entier est la somme des degrés de chacune de ses indéterminées ; dans cet exemple, le degré est .
La somme de plusieurs termes donne un polynôme. Par exemple, le polynôme suivant est composé de trois termes : le premier est de degré deux, le deuxième de degré un et le troisième de degré zéro.
polynôme constant , ou simplement une constante . Les polynômes de degré un, deux ou trois sont respectivement des polynômes linéaires , quadratiques et cubiques . Pour les degrés supérieurs, les noms spécifiques sont moins courants, bien que les termes polynôme quartique (pour le degré quatre) et polynôme quintique (pour le degré cinq) soient parfois utilisés. Ces noms de degré peuvent s'appliquer au polynôme lui-même ou à ses termes. Par exemple, le terme λ dans λ est un terme linéaire d'un polynôme quadratique.
racines . Le graphe du polynôme nul, , est l' axe des abscisses.
Dans le cas des polynômes à plusieurs indéterminées, un polynôme est dit homogène de degré si tous ses termes non nuls sont de degré . Le polynôme nul est homogène et, en tant que polynôme homogène, son degré est indéfini. Par exemple, est homogène de degré . Pour plus de détails, voir l'article sur les polynômes homogènes .
La propriété commutative de l'addition permet de réorganiser les termes selon l'ordre souhaité. Dans les polynômes comportant une indéterminée, les termes sont généralement ordonnés par degré, soit par ordre décroissant de puissances de n (le terme de plus haut degré en premier), soit par ordre croissant de puissances de n. Le polynôme est écrit sous forme de puissances décroissantes de n . Le premier terme a pour coefficient β , l'indéterminée β et l'exposant β . Le coefficient du deuxième terme est β. Le troisième terme est une constante. Le degré d'un polynôme non nul étant le plus grand degré de l'un de ses termes, ce polynôme est de degré deux.
Deux termes ayant les mêmes indéterminées élevées à la même puissance sont appelés « termes semblables » et peuvent être combinés, grâce à la distributivité , en un seul terme dont le coefficient est la somme des coefficients des termes combinés. Il se peut que cela donne un coefficient de .
Les polynômes peuvent être classés selon le nombre de termes à coefficients non nuls : un polynôme à un terme est appelé monôme , un termes est appelé binôme et un polynôme à trois termes est appelé trinôme . Un polynôme à deux termes ou plus est également appelé multinôme .
réels . Lorsqu'il est utilisé pour définir une fonction , son domaine de définition n'est pas aussi restreint. Cependant, une fonction polynomiale réelle est une fonction de l'ensemble des nombres réels vers l'ensemble des nombres réels définie par un polynôme réel. De même, un polynôme entier est un polynôme à coefficients entiers , et un polynôme complexe est un polynôme à coefficients complexes .
Opérations
Addition et soustraction
On peut additionner des polynômes en utilisant la propriété d'associativité de l'addition (en regroupant tous leurs termes en une seule somme), éventuellement suivie d'un réarrangement (en utilisant la propriété de commutativité ) et d'une simplification des termes semblables. Par exemple, si et , alors la somme peut être réorganisée et regroupée comme et ensuite simplifiée en . Lorsque l'on additionne des polynômes, le résultat est un autre polynôme.
La soustraction de polynômes est similaire.
Multiplication
Composition
Étant donné un polynôme à une variable et un autre polynôme à un nombre quelconque de variables, leur composition s'obtient en remplaçant chaque occurrence de la variable du premier polynôme par celle du second. Par exemple, si et , alors . Une composition peut être développée en une somme de termes en utilisant les règles de multiplication et de division des polynômes. La composition de deux polynômes est un autre polynôme.
Division
La division d'un polynôme par un autre ne donne généralement pas un polynôme. Ces rapports constituent plutôt une famille d'objets plus générale, appelés fractions rationnelles , expressions rationnelles ou fonctions rationnelles , selon le contexte. Ceci est analogue au fait que le rapport de deux entiers est un nombre rationnel , et non nécessairement un entier. Par exemple, la fraction n'est pas un polynôme et ne peut pas s'écrire comme une somme finie de puissances de la variable .
Pour les polynômes à une variable, il existe une notion de division euclidienne des polynômes , généralisant la division euclidienne des entiers. Cette notion de division donne deux polynômes, un quotient et un reste , tels que et , où est le degré de . Le quotient et le reste peuvent être calculés par divers algorithmes, notamment la division euclidienne des polynômes et la division synthétique .
Lorsque le dénominateur est unitaire et linéaire, c'est-à-dire pour une certaine constante , le théorème du reste polynomial affirme que le reste de la division de par est égal à . Dans ce cas, le quotient peut être calculé par la règle de Ruffini , un cas particulier de division synthétique.
Affacturage
Tout polynôme à coefficients appartenant à un unique domaine de factorisation (par exemple, l'ensemble des entiers ou un corps ) admet une forme factorisée où le polynôme s'écrit comme un produit de polynômes irréductibles et d'une constante. Cette forme factorisée est unique à l'ordre des facteurs et à leur multiplication par une constante inversible près. Dans le cas du corps des nombres complexes , les facteurs irréductibles sont linéaires. Sur les nombres réels , ils sont de degré un ou deux. Sur les entiers et les rationnels, les facteurs irréductibles peuvent être de degré quelconque. Par exemple, la forme factorisée de est sur les entiers et les réels, et sur les nombres complexes.
Le calcul de la forme factorisée, appelé factorisation , est généralement trop complexe pour être effectué manuellement. Cependant, la plupart des systèmes de calcul formel proposent des algorithmes de factorisation polynomiale efficaces .
