Mathématiques

La théorie des nombres a évolué à partir de la manipulation des nombres , c'est-à-dire des nombres naturels , puis s'est étendue aux entiers et aux nombres rationnels. Autrefois appelée arithmétique, elle désigne aujourd'hui principalement les calculs numériques . L'étude des nombres remonte vraisemblablement à la Babylonie antique et probablement aussi à la Chine , mais elle s'est développée en une discipline distincte dans la Grèce antique . Parmi les premiers théoriciens des nombres les plus importants figurent Euclide et Diophante d' Alexandrie . L'étude moderne de la théorie des nombres sous sa forme abstraite est largement attribuée à Pierre de Fermat et Leonhard Euler . Ce domaine a atteint son plein essor grâce aux contributions d' Adrien-Marie Legendre et de Carl Friedrich Gauss .

De nombreux problèmes numériques, pourtant simples en apparence, admettent des solutions qui requièrent des méthodes sophistiquées, souvent issues de différentes branches des mathématiques. Le dernier théorème de Fermat en est un exemple frappant . Cette conjecture, énoncée en 1637 par Pierre de Fermat, n'a été démontrée qu'en 1994 par Andrew Wiles , qui a utilisé des outils tels que la théorie des schémas en géométrie algébrique , la théorie des catégories et l'algèbre homologique . La conjecture de Goldbach , qui affirme que tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers , en est un autre exemple . Énoncée en 1742 par Christian Goldbach , elle demeure non démontrée malgré des efforts considérables.

La théorie des nombres comprend plusieurs sous-domaines, dont la théorie analytique des nombres , la théorie algébrique des nombres , la géométrie des nombres (axée sur les méthodes), l'analyse diophantienne et la théorie de la transcendance (axée sur les problèmes).

La géométrie est l'une des plus anciennes branches des mathématiques. Elle a commencé par des recettes empiriques concernant les formes, telles que les lignes , les angles et les cercles , qui ont été développées principalement pour les besoins de l'arpentage et de l'architecture , mais s'est depuis épanouie dans de nombreux autres sous-domaines.

Une innovation fondamentale fut l'introduction par les Grecs anciens du concept de démonstration , qui exige que toute assertion soit prouvée . Par exemple, il ne suffit pas de vérifier par la mesure que, disons, deux longueurs sont égales ; leur égalité doit être prouvée par un raisonnement s'appuyant sur des résultats préalablement admis ( théorèmes ) et quelques énoncés fondamentaux. Ces énoncés fondamentaux ne sont pas sujets à démonstration car ils sont évidents ( postulats ) ou font partie de la définition de l'objet d'étude ( axiomes ). Ce principe, fondamental pour toutes les mathématiques, fut d'abord élaboré pour la géométrie, puis systématisé par Euclide vers 300 av. J.-C. dans son ouvrage Éléments .

La géométrie euclidienne qui en résulte est l'étude des formes et de leurs agencements construits à partir de lignes, de plans et de cercles dans le plan euclidien ( géométrie plane ) et dans l' espace euclidien tridimensionnel .

La géométrie euclidienne s'est développée sans modification de ses méthodes ni de son champ d'application jusqu'au XVIIe siècle, lorsque René Descartes a introduit ce que l'on appelle aujourd'hui les coordonnées cartésiennes . Cela a constitué un changement de paradigme majeur : au lieu de définir les nombres réels comme les longueurs de segments de droite (voir droite numérique ), on a pu représenter les points à l'aide de leurs coordonnées , qui sont des nombres. L'algèbre (et plus tard, le calcul différentiel et intégral) peut ainsi être utilisée pour résoudre des problèmes géométriques. La géométrie s'est scindée en deux nouveaux sous-domaines : la géométrie synthétique , qui utilise des méthodes purement géométriques, et la géométrie analytique , qui utilise les coordonnées de manière systématique.

La géométrie analytique permet l'étude des courbes non liées aux cercles et aux droites. Ces courbes peuvent être définies comme le graphe de fonctions , dont l'étude a conduit à la géométrie différentielle . Elles peuvent également être définies comme des équations implicites , souvent des équations polynomiales (à l'origine de la géométrie algébrique ). La géométrie analytique permet aussi de considérer des espaces euclidiens de dimension supérieure à trois.

Au XIXe siècle, les mathématiciens ont découvert des géométries non euclidiennes , qui ne respectent pas le postulat des parallèles . En remettant en question la validité de ce postulat, cette découverte a été perçue comme un prolongement du paradoxe de Russell , révélant ainsi la crise fondamentale des mathématiques . Cet aspect de la crise a été résolu par la systématisation de la méthode axiomatique et par l'adoption du principe que la vérité des axiomes choisis ne constitue pas un problème mathématique. La méthode axiomatique permet ainsi l'étude de diverses géométries obtenues soit en modifiant les axiomes, soit en considérant des propriétés qui restent inchangées sous certaines transformations de l' espace .

Les sous-domaines de la géométrie d'aujourd'hui comprennent :

• La géométrie projective , introduite au XVIe siècle par Girard Desargues , étend la géométrie euclidienne en ajoutant les points d'intersection des droites parallèles à l' infini . Elle simplifie ainsi de nombreux aspects de la géométrie classique en unifiant le traitement des droites sécantes et parallèles.
• La géométrie affine est l'étude des propriétés relatives au parallélisme et indépendantes du concept de longueur.
• La géométrie différentielle est l'étude des courbes, des surfaces et de leurs généralisations, qui sont définies à l'aide de fonctions différentiables .
• La théorie des variétés est l'étude des formes qui ne sont pas nécessairement incluses dans un espace plus vaste.
• Géométrie riemannienne , l'étude des propriétés de distance dans les espaces courbes.
• La géométrie algébrique est l'étude des courbes, des surfaces et de leurs généralisations, définies à l'aide de polynômes .
• La topologie , l'étude des propriétés qui sont conservées sous des déformations continues .
  • Topologie algébrique , l'utilisation en topologie des méthodes algébriques, principalement l'algèbre homologique .
• Géométrie discrète , l'étude des configurations finies en géométrie.
• La géométrie convexe , l'étude des ensembles convexes , tire son importance de ses applications en optimisation .
• Géométrie complexe , la géométrie obtenue en remplaçant les nombres réels par des nombres complexes .

L'algèbre est l'art de manipuler les équations et les formules. Diophante (IIIe siècle) et al-Khwarizmi (IXe siècle) en furent les deux principaux précurseurs. Diophante résolvait certaines équations impliquant des nombres naturels inconnus en déduisant de nouvelles relations jusqu'à obtenir la solution. Al-Khwarizmi introduisit des méthodes systématiques de transformation d'équations, comme le déplacement d'un terme d'un membre de l'équation vers l'autre. Le terme « algèbre » dérive du mot arabe « al-jabr » , signifiant « la réunion des parties brisées », qu'il utilisa pour nommer l'une de ces méthodes dans le titre de son traité principal .

L’algèbre n’est devenue une discipline à part entière qu’avec François Viète (1540-1603), qui a introduit l’utilisation de variables pour représenter des nombres inconnus ou non spécifiés. Les variables permettent aux mathématiciens de décrire les opérations à effectuer sur les nombres représentés par des formules mathématiques .

Jusqu'au XIXe siècle, l'algèbre consistait principalement en l'étude des équations linéaires (aujourd'hui l'algèbre linéaire ) et des équations polynomiales à une inconnue , appelées équations algébriques (un terme encore utilisé, bien qu'ambiguïté). Au cours du XIXe siècle, les mathématiciens commencèrent à utiliser des variables pour représenter des concepts autres que les nombres (tels que les matrices , les entiers modulaires et les transformations géométriques ), sur lesquels des généralisations des opérations arithmétiques sont souvent valides. Le concept de structure algébrique répond à cette évolution ; il s'agit d'un ensemble dont les éléments ne sont pas spécifiés, d'opérations agissant sur les éléments de cet ensemble et de règles que ces opérations doivent respecter. Le champ d'étude de l'algèbre s'est ainsi étendu à l'étude des structures algébriques. Cet objet d'étude fut appelé algèbre moderne ou algèbre abstraite , suite à l'influence et aux travaux d' Emmy Noether , et popularisé par l'ouvrage de Van der Waerden , *Moderne Algebra* .

Certains types de structures algébriques possèdent des propriétés utiles et souvent fondamentales dans de nombreux domaines des mathématiques. Leur étude est devenue une partie autonome de l'algèbre et comprend :

• théorie des groupes
• théorie des champs
• espaces vectoriels , dont l'étude est essentiellement la même que celle de l'algèbre linéaire
• théorie des anneaux
• L'algèbre commutative , qui est l'étude des anneaux commutatifs , inclut l'étude des polynômes et constitue un élément fondamental de la géométrie algébrique.
• algèbre homologique
• Algèbre de Lie et théorie des groupes de Lie
• L'algèbre de Boole , largement utilisée pour l'étude de la structure logique des ordinateurs

L’étude des types de structures algébriques en tant qu’objets mathématiques est l’objet de l’algèbre universelle et de la théorie des catégories . Cette dernière s’applique à toute structure mathématique (et pas seulement aux structures algébriques). À l’origine, elle a été introduite, conjointement avec l’algèbre homologique, pour permettre l’étude algébrique d’objets non algébriques tels que les espaces topologiques ; ce domaine d’application particulier est appelé topologie algébrique .

Le calcul infinitésimal, autrefois appelé calcul différentiel et intégral, a été introduit indépendamment et simultanément par les mathématiciens Newton et Leibniz au XVIIe siècle . Il s'agit fondamentalement de l'étude des relations entre variables qui dépendent continûment l'une de l'autre. Le calcul infinitésimal a été développé au XVIIIe siècle par Euler avec l'introduction du concept de fonction et de nombreux autres résultats. Actuellement, le terme « calcul » désigne principalement la partie élémentaire de cette théorie, tandis que le terme « analyse » est couramment utilisé pour les parties plus avancées.

L'analyse est subdivisée en analyse réelle , où les variables représentent des nombres réels , et en analyse complexe , où les variables représentent des nombres complexes . L'analyse comprend de nombreux sous-domaines partagés avec d'autres domaines des mathématiques, notamment :

• Calcul multivariable
• L'analyse fonctionnelle , où les variables représentent des fonctions variables
• L'intégration , la théorie de la mesure et la théorie du potentiel sont toutes étroitement liées à la théorie des probabilités sur un continuum.
• Équations différentielles ordinaires
• Équations aux dérivées partielles
• L'analyse numérique est principalement consacrée au calcul des solutions d'équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles qui apparaissent dans de nombreuses applications.

Les mathématiques discrètes, au sens large, étudient les objets mathématiques individuels et dénombrables . L'ensemble des entiers en est un exemple. Du fait de la nature discrète des objets étudiés, les méthodes du calcul différentiel et intégral et de l'analyse mathématique ne s'appliquent pas directement. Les algorithmes implémentation et leur complexité algorithmique four color theorem and optimal sphere packing were two major problems of discrete mathematics solved in the second half of the 20th century. The P versus NP problem, which remains open to this day, is also important for discrete mathematics, since its solution would potentially impact a large number of computationally difficult problems.

Discrete mathematics includes:

• Combinatorics, the art of enumerating mathematical objects that satisfy some given constraints. Originally, these objects were elements or subsets of a given set; this has been extended to various objects, which establishes a strong link between combinatorics and other parts of discrete mathematics. For example, discrete geometry includes counting configurations of geometric shapes.
• Graph theory and hypergraphs
• Coding theory, including error correcting codes and a part of cryptography
• Matroid theory
• Discrete geometry
• Discrete probability distributions
• Game theory (although continuous games are also studied, most common games, such as chess and poker are discrete)
• Discrete optimization, including combinatorial optimization, integer programming, constraint programming

The two subjects of mathematical logic and set theory have belonged to mathematics since the end of the 19th century. Before this period, sets were not considered to be mathematical objects, and logic, although used for mathematical proofs, belonged to philosophy and was not specifically studied by mathematicians.

Avant les travaux de Cantor sur les ensembles infinis , les mathématiciens hésitaient à considérer des collections réellement infinies et concevaient l'infini comme le résultat d' une énumération sans fin . Les travaux de Cantor ont heurté nombre de mathématiciens, non seulement en considérant des ensembles réellement infinis , mais aussi en démontrant que cela impliquait différentes tailles d'infini, selon son argument diagonal . Ceci a engendré la controverse autour de la théorie des ensembles de Cantor . À la même époque, divers domaines des mathématiques ont conclu que les définitions intuitives antérieures des objets mathématiques fondamentaux étaient insuffisantes pour garantir la rigueur mathématique .

Cela constitua la crise fondatrice des mathématiques. Elle fut finalement résolue par les mathématiques dominantes grâce à la systématisation de la méthode axiomatique au sein d'une théorie des ensembles formalisée . En résumé, chaque objet mathématique est défini par l'ensemble de tous les objets similaires et par les propriétés que ces objets doivent posséder. Par exemple, dans l'arithmétique de Peano , les nombres naturels sont définis par « zéro est un nombre », « chaque nombre a un successeur unique », « chaque nombre autre que zéro a un prédécesseur unique », et par certaines règles de raisonnement. Cette abstraction mathématique de la réalité se retrouve dans la philosophie moderne du formalisme , fondée par David Hilbert vers 1910.

La « nature » des objets ainsi définis est un problème philosophique que les mathématiciens laissent aux philosophes, même si nombre d'entre eux ont une opinion à ce sujet et s'appuient sur cette opinion les théorèmes d'incomplétude de Gödel affirment, en résumé, que dans tout système formel cohérent contenant les nombres naturels, il existe des théorèmes vrais (c'est-à-dire démontrables dans un système plus fort), mais non démontrables au sein de ce système. Cette approche des fondements des mathématiques a été remise en question durant la première moitié du XXe siècle par des mathématiciens menés par Brouwer , qui a promu la logique intuitionniste (qui s'affranchit explicitement du principe du tiers exclu ).

Ces problèmes et débats ont conduit à un essor considérable de la logique mathématique, avec des sous-domaines tels que la théorie des modèles (modélisation de certaines théories logiques au sein d'autres théories), la théorie de la démonstration , la théorie des types , la théorie de la calculabilité et la théorie de la complexité algorithmique . Bien que ces aspects de la logique mathématique aient été introduits avant l'avènement des ordinateurs , leur utilisation dans la conception de compilateurs , la vérification formelle , l'analyse de programmes , les assistants de preuve et d'autres domaines de l'informatique a contribué à son tour à l'expansion de ces théories logiques.