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L'une des principales propriétés de la géométrie affine, indépendante de toute métrique, étant la notion de droites parallèles , on la considère souvent comme l'étude de ces droites. L'axiome de Playfair (étant donné une droite de transformations affines , qui sont des applications préservant l'alignement des points et le parallélisme des droites.
La géométrie affine peut être développée de deux manières essentiellement équivalentes.
En géométrie synthétique , un espace affine est un ensemble de points auquel est associé un ensemble de droites qui satisfont certains axiomes (tels que l'axiome de Playfair).
La géométrie affine peut également être développée à partir de l'algèbre linéaire . Dans ce contexte, un espace affine est un ensemble de points muni d'un ensemble de transformations (c'est-à -dire d'applications bijectives ), les translations , qui forme un espace vectoriel (sur un corps donné , généralement les nombres réels ), et tel que pour toute paire ordonnée de points donnée, il existe une unique translation qui envoie le premier point sur le second ; la composition de deux translations est leur somme dans l'espace vectoriel des translations.
Concrètement, cela revient à disposer d'une opération qui associe à chaque paire ordonnée de points un vecteur, et d'une autre opération qui permet de translater un point par un vecteur pour obtenir un autre point. Ces opérations doivent satisfaire un certain nombre d'axiomes (notamment que deux translations successives ont pour effet une translation par le vecteur somme). En choisissant un point quelconque comme « origine », les points sont en correspondance biunivoque avec les vecteurs, mais il n'y a pas de choix privilégié pour l'origine ; ainsi, un espace affine peut être vu comme obtenu à partir de son espace vectoriel associé en « oubliant » l'origine (vecteur nul).
L'idée d'oublier la métrique peut être appliquée à la théorie des variétés . Ce sujet est développé dans l'article « Connexion affine » .
Leonhard Euler introduisit le terme « affine » ( latin affinis , « apparenté » ) dans son ouvrage Introductio in analysin infinitorum (tome 2, chapitre XVIII). En 1827, August Möbius aborda la géométrie affine dans son ouvrage le programme d'Erlangen de Felix Klein , la géométrie affine a été reconnue comme une généralisation de la géométrie euclidienne .En 1918, Hermann Weyl fit référence à la géométrie affine dans son ouvrage Espace, Temps, Matière . Il utilisa la géométrie affine pour introduire l'addition et la soustraction vectorielles dès les premières étapes de son développement de la physique mathématique . Plus tard, E.T. Whittaker écrivit :
- La géométrie de Weyl présente un intérêt historique car elle fut la première géométrie affine à être élaborée en détail : elle repose sur un type particulier de transport parallèle utilisant les lignes d'univers des signaux lumineux dans l'espace-temps à quatre dimensions. Un court segment de l'une de ces lignes d'univers peut être appelé vecteur nul ; le transport parallèle en question consiste alors à déplacer tout vecteur nul en un point donné vers la position d'un vecteur nul en un point voisin.
Systèmes d'axiomes
Plusieurs approches axiomatiques de la géométrie affine ont été proposées :
La loi de Pappus
Comme la géométrie affine traite des lignes parallèles, l'une des propriétés des parallèles notées par Pappus d'Alexandrie a été prise comme prémisse :
- Supposons que théorème de l'hexagone de Pappus ).
Le système d'axiomes complet proposé a pour notions primitives point , ligne et ligne contenant un point :
- Deux points sont contenus sur une seule ligne.
- Pour toute droite HSM Coxeter :
L'intérêt de ces cinq axiomes est accru par le fait qu'ils peuvent être développés en un vaste ensemble de propositions, valables non seulement en géométrie euclidienne , mais aussi en géométrie de l'espace-temps de Minkowski (dans le cas simple d'une dimension + 1, tandis que la théorie de la relativité restreinte en requiert une + 3). L'extension à la géométrie euclidienne ou minkowskienne est obtenue par l'ajout de divers axiomes supplémentaires d'orthogonalité, etc.
Les différents types de géométrie affine correspondent à l'interprétation donnée à la rotation . La géométrie euclidienne correspond à l' idée usuelle de rotation , tandis que la géométrie de Minkowski correspond à la rotation hyperbolique . Les droites perpendiculaires restent perpendiculaires lorsque le plan subit une rotation ordinaire. En géométrie de Minkowski, les droites hyperboliques-orthogonales conservent cette relation lorsque le plan subit une rotation hyperbolique.
Structure ordonnée
Un traitement axiomatique de la géométrie affine plane peut être construit à partir des axiomes de la géométrie ordonnée par l'ajout de deux axiomes supplémentaires :
- ( Axiome affine du parallélisme ) Étant donné un point Desargues ) Étant donné sept points distincts relation d'équivalence sur les droites. Puisque les axiomes de la géométrie ordonnée, tels que présentés ici, incluent des propriétés qui impliquent la structure des nombres réels, ces propriétés s'appliquent également ici, de sorte qu'il s'agit d'une axiomatisation de la géométrie affine sur le corps des nombres réels.
anneaux ternaires
Dans cette approche, les plans affines sont construits à partir de couples ordonnés extraits d'un anneau ternaire. Un plan possède la « propriété affine mineure de Desargues » lorsque deux triangles parallèles en perspective ont nécessairement deux côtés parallèles, et donc leurs troisièmes côtés également parallèles. Si cette propriété est vérifiée dans le plan affine défini par un anneau ternaire, alors il existe une relation d'équivalence entre les « vecteurs » définis par paires de points du plan. De plus, ces vecteurs forment un groupe abélien pour l'addition ; l'anneau ternaire est linéaire et distributif à droite .
transformations affines
On appelle théorèmes affines tous les résultats géométriques invariants par le groupe affine (dans le programme d'Erlangen de Felix Klein, il s'agit du groupe sous-jacent des transformations de symétrie pour la géométrie affine). Considérons, dans un espace vectoriel groupe linéaire général les translations par vecteurs produit semi-direct. (Ici, on considère représentation définissante de
Les invariants affines peuvent également faciliter les calculs. Par exemple, les droites qui divisent l'aire d'un triangle en deux moitiés égales forment une enveloppe à l'intérieur du triangle. Le rapport de l'aire de l'enveloppe à l'aire du triangle est un invariant affine ; il suffit donc de le calculer à partir d'un cas simple, comme celui d'un triangle rectangle isocèle unitaire, pour obtenir une valeur de 0,019860… soit moins de 2 %, pour tous les triangles.
Des formules familières, telles que la moitié du produit de la base par la hauteur pour l' aire d'un triangle , ou le tiers du produit de la base par la hauteur pour le volume d'une pyramide , sont également des invariants affines. Si le second est moins évident que le premier dans le cas général, il se vérifie aisément pour le sixième du cube unité formé par une face (aire 1) et le milieu du cube (hauteur 1/2). Il est donc valable pour toutes les pyramides, même celles dont le sommet n'est pas directement au-dessus du centre de la base, et celles dont la base est un parallélogramme plutôt qu'un carré. La formule se généralise encore aux pyramides dont la base peut être décomposée en parallélogrammes, y compris les cônes en considérant une infinité de parallélogrammes (sous réserve de la convergence). La même approche montre qu'une pyramide à quatre dimensions a un hypervolume 4D égal au quart du volume 3D de sa base parallélépipédique multiplié par sa hauteur , et ainsi de suite pour les dimensions supérieures.
Cinématique
Deux types de transformations affines sont utilisés en cinématique , tant classique que moderne. La vitesse absolues de l'espace et du temps . L' application de cisaillement d'un plan muni d'un axe pour chaque représente le changement de coordonnées d'un observateur se déplaçant à la vitesse référentiel au repos .
La vitesse finie de la lumière , initialement mise en évidence par le retard d'apparition des lunes de Jupiter , requiert une cinématique moderne. Cette méthode fait intervenir la rapidité plutôt que la vitesse et substitue l'application de compression à l'application de cisaillement utilisée précédemment. Cette géométrie affine a été développée synthétiquement en 1912 pour exprimer la théorie de la relativité restreinte . En 1984, « le plan affine associé à l' espace vectoriel lorentzien L² » a été décrit par Graciela Birman et Katsumi Nomizu dans un article intitulé « Trigonométrie en géométrie lorentzienne »
Espace affine
Bien que moins générales que l'approche configurationnelle, les autres approches évoquées ont permis de mettre en lumière avec succès les aspects de la géométrie liés à la symétrie .
vue projective
En géométrie traditionnelle , la géométrie affine est considérée comme l'étude intermédiaire entre la géométrie euclidienne et la géométrie projective . D'une part, la géométrie affine est la géométrie euclidienne à laquelle on a omis la congruence ; d'autre part, elle peut être obtenue à partir de la géométrie projective en désignant une droite ou un plan particulier pour représenter les points à l'infini . En géométrie affine, il n'y a pas de structure métrique , mais le postulat des parallèles est vérifié. La géométrie affine fournit la base de la structure euclidienne lorsque des droites perpendiculaires sont définies, ou la base de la géométrie de Minkowski grâce à la notion d' orthogonalité hyperbolique . Dans cette perspective, une transformation affine est une transformation projective qui ne permute pas les points finis avec les points à l'infini, et la géométrie des transformations affines est l'étude des propriétés géométriques par l' action du groupe des transformations affines.