Worldlex Wiki En géométrie différentielle , le transport parallèle (ou translation parallèle ) est une méthode permettant de transporter des données géométriques le long de courbes lisses dans une variété . Si la variété est munie d'une connexion affine (une dérivée covariante ou une connexion sur le fibré tangent ), alors cette connexion permet de transporter les vecteurs de la variété le long de courbes de sorte qu'ils restent parallèles à la connexion.
Le transport parallèle d'une connexion permet ainsi, en quelque sorte, de déplacer la géométrie locale d'une variété le long d'une courbe : autrement dit, de relier les géométries de points voisins. Il existe sans doute de nombreuses notions de transport parallèle, mais spécifier une manière de relier les géométries de points sur une courbe revient à définir une connexion . En fait, la notion usuelle de connexion est l' analogue infinitésimal du transport parallèle. Ou, inversement , le transport parallèle est la réalisation locale d'une connexion.
Le transport parallèle, en fournissant une réalisation locale de la connexion, fournit également une réalisation locale de la courbure, appelée holonomie . Le théorème d'Ambrose-Singer explicite cette relation entre la courbure et l'holonomie.
D'autres notions de connexion sont également dotées de leurs propres systèmes de transport parallèle. Par exemple, une connexion de Koszul dans un fibré vectoriel permet aussi le transport parallèle de vecteurs, de manière très similaire à celui d'une dérivée covariante. Une connexion d' Ehresmann ou de Cartan assure le relèvement des courbes de la variété à l'espace total d'un fibré principal . Ce relèvement de courbes peut parfois être vu comme le transport parallèle de repères .
connexion , conduisant aux notions de transport parallèle et de géodésique affine.Considérons la sphère ℝ² comme exemple de variété différentiable. Si on la considère comme un sous-ensemble de son espace euclidien ambiant de dimension 3, il est pertinent de parler de vecteurs tangents à ℝ² en un point x . L'ensemble des vecteurs tangents en ce point forme un sous-espace bidimensionnel de l'espace vectoriel ambiant, que l'on appelle l'espace tangent de ℝ² en x . Dans la théorie des variétés différentiables, ℝ² est considérée indépendamment de tout espace ambiant, et l'espace tangent en x est défini de manière interne comme l'espace vectoriel des dérivations en x . L'espace tangent en x est noté ℝ² , et pour une variété différentiable quelconque, ℝ² . Le concept de transport parallèle a été introduit pour pallier l'absence d'identification canonique entre les vecteurs tangents en différents points d'une variété. En général, ce problème ne peut être résolu globalement, mais seulement le long des courbes différentiables de la variété.
Dans notre exemple, par analogie avec les droites dans l'espace euclidien, on peut dire que le champ de vecteurs tangents le long d'une géodésique dans une variété riemannienne (l'analogue d'une droite dans l'espace euclidien) est invariant ; autrement dit, les vecteurs tangents sont des transports parallèles les uns des autres le long de la géodésique. De même, les vecteurs unitaires orthogonaux aux vecteurs tangents sont également transportés parallèlement le long de la géodésique. Par linéarité, cela détermine le transport parallèle de tout vecteur tangent le long de la géodésique.
Généralement, le transport parallèle des vecteurs tangents le long d'une courbe requiert une structure supplémentaire au-delà de la structure lisse. Dans notre exemple précédent, nous avons supposé l'existence d'une métrique riemannienne sur la sphère, qui détermine les géodésiques (les courbes de longueur extrême), et la règle du transport parallèle est supposée être conforme à cette structure riemannienne. Cependant, le concept de transport parallèle est plus général. La règle décrivant comment les vecteurs tangents de la variété se transportent parallèlement le long d'une courbe peut constituer cette « structure supplémentaire », puisqu'elle peut être définie même si la variété ne possède aucune structure supplémentaire au-delà de sa structure lisse. Voici comment procéder : tous les vecteurs tangents en chaque point d'une variété forment le fibré tangent de cette variété . Considérons une courbe et choisissons un vecteur tangent en chaque point ; la fonction résultante est une courbe de cette variété . La règle générale du transport parallèle spécifie quand le vecteur tangent de la variété doit être considéré comme « horizontal ». Si les vecteurs tangents de (qui appartiennent à ) sont horizontaux en chaque point, on dit que est une courbe horizontale dans , ou qu'elle est transportée parallèlement le long de . La règle qui détermine si un vecteur tangent de la courbe est horizontal ou non est appelée une connexion . Elle spécifie les sous-espaces horizontaux de pour chaque , et définit ainsi le transport parallèle.
Transport parallèle des vecteurs tangents
Soit une variété différentiable . À chaque point espace tangent de en . Les vecteurs de sont considérés comme les vecteurs tangents à en . Une métrique riemannienne sur associe à chaque un produit scalaire défini positif de manière différentiable. Une variété différentiable munie d'une métrique riemannienne est une variété riemannienne ,
Soit les coordonnées standard sur . La métrique euclidienne est donnée par
L'espace euclidien est la variété riemannienne .
Dans l'espace euclidien, tous les espaces tangents sont canoniquement identifiés entre eux par translation, ce qui facilite le passage de vecteurs d'un espace tangent à un autre. Le transport parallèle de vecteurs tangents permet de déplacer des vecteurs d'un espace tangent à un autre le long d'une courbe dans le cadre d'une variété riemannienne quelconque. Il est important de noter que, bien que les vecteurs appartiennent à l'espace tangent de la variété, ils ne sont pas nécessairement tangents à la courbe le long de laquelle ils sont transportés.
Une connexion affine sur une variété riemannienne permet de différencier des champs de vecteurs les uns par rapport aux autres. Une variété riemannienne admet une connexion affine naturelle, appelée connexion de Levi-Civita . Pour une connexion affine donnée sur une variété riemannienne, il existe une méthode unique pour effectuer le transport parallèle des vecteurs tangents. Différents choix de connexions affines conduisent à différents systèmes de transport parallèle.
Définition précise
Soit une variété munie d'une connexion affine
Plus précisément, si est une courbe continûment différentiable par morceaux paramétrée par un intervalle et champ de vecteurs le long de (et en particulier, la valeur de ce champ de vecteurs en
Formellement, la première condition signifie que est parallèle par rapport à la connexion de pullback sur le fibré de pullback trivialisation locale , il s'agit d'un système d' équations différentielles ordinaires linéaires du premier ordre , qui possède une solution unique pour toute condition initiale donnée par la deuxième condition (par exemple, par le théorème de Picard-Lindelöf ).
Le transport parallèle de à l'espace tangent le long de la courbe est noté
est linéaire. En fait, c'est un isomorphisme. Soit la courbe inverse . Alors est l'inverse de
En résumé, le transport parallèle permet de déplacer les vecteurs tangents le long d'une courbe en utilisant la connexion affine pour les maintenir, intuitivement, « orientés dans la même direction », ce qui induit un isomorphisme linéaire entre les espaces tangents aux deux extrémités de la courbe. L'isomorphisme ainsi obtenu dépend généralement du choix de la courbe. Dans le cas contraire, le transport parallèle le long de toute courbe permet de définir des champs de vecteurs parallèles sur ordonné . Le transport parallèle peut donc être caractérisé comme un moyen de transporter les éléments du fibré ( plan perforé La courbe le long de laquelle s'effectue ce transport parallèle est le cercle unité. En coordonnées polaires , la métrique de gauche est la métrique euclidienne standard que celle de droite est la métrique Cette dernière présente une singularité à l'origine et ne s'étend donc pas au-delà de la perforation, contrairement à la première métrique qui s'étend à l'ensemble du plan.
Attention : il s’agit d’un transport parallèle sur le plan tronqué le long du cercle unité, et non d’un transport parallèle sur le cercle unité lui-même. En effet, sur la première image, les vecteurs se situent hors de l’espace tangent au cercle unité. Puisque la première métrique a une courbure nulle, le transport entre deux points du cercle pourrait également être réalisé le long de n’importe quelle autre courbe. Cependant, la seconde métrique a une courbure non nulle, et le cercle est une géodésique ; son champ de vecteurs tangents est donc parallèle.
Connexion métrique
Une connexion métrique est une connexion dont les applications de transport parallèles préservent la métrique riemannienne, c'est-à-dire que pour toute courbe et tous deux vecteurs
En prenant la dérivée en t = 0, l'opérateur ∇ satisfait une règle de produit par rapport à la métrique, à savoir
Liens avec les géodésiques
Une connexion affine distingue une classe de courbes appelées géodésiques (affines) . Une courbe est une géodésique affine si elle est transportée parallèlement le long de
En dérivant par rapport au temps, on obtient la forme plus familière
Si est une connexion métrique, alors les géodésiques affines sont les géodésiques usuelles de la géométrie riemannienne et sont les courbes minimisant localement la distance. Plus précisément, notons d'abord que si , où est un intervalle ouvert, est une géodésique, alors la norme de est constante sur
Il découle d'une application du lemme de Gauss que si est la norme de , alors la distance, induite par la métrique, entre deux points suffisamment proches sur la courbe
Transport parallèle sur un faisceau vectoriel
Le transport parallèle de vecteurs tangents est un cas particulier d'une construction plus générale faisant intervenir un fibré vectoriel quelconque . Plus précisément, le transport parallèle de vecteurs tangents correspond au cas où est le fibré tangent .
Soit M une variété différentiable. Soit E → M un fibré vectoriel muni d' une connexion ∇ et γ : I → M une courbe paramétrée par un intervalle ouvert I. Une section de E le long de γ est dite parallèle si
Dans le cas où est le fibré tangent où est un champ de vecteurs tangents, cette expression signifie que, pour tout dans l'intervalle, les vecteurs tangents dans sont « constants » (la dérivée s'annule) lorsqu'un déplacement infinitésimal de dans la direction du vecteur tangent est effectué.
Supposons qu'on nous donne un élément e₀ ∈ E <sub> P</sub> en P = γ ( 0) ∈ M , plutôt qu'une section. Le transport parallèle de e₀ le long de γ est le prolongement de e₀ en une section parallèle X sur γ . Plus précisément, X est l'unique portion de E le long de γ telle que …
Notons que dans tout champ de coordonnées donné, (1) définit une équation différentielle ordinaire , avec la condition initiale donnée par (2). Ainsi, le théorème de Picard-Lindelöf garantit l'existence et l'unicité de la solution.
Ainsi, la connexion ∇ définit une manière de déplacer les éléments des fibres le long d'une courbe, et cela fournit des isomorphismes linéaires entre les fibres en des points le long de la courbe :
On passe de l'espace vectoriel défini sur γ ( s ) à celui défini sur γ ( t ). Cet isomorphisme est appelé application de transport parallèle associée à la courbe. Les isomorphismes entre fibres ainsi obtenus dépendent, en général, du choix de la courbe : s'ils n'en dépendent pas, le transport parallèle le long de toute courbe permet de définir des sections parallèles de E sur tout M. Ceci n'est possible que si la courbure de ∇ est nulle.
En particulier, le transport parallèle autour d'une courbe fermée issue d'un point x définit un automorphisme de l'espace tangent en x qui n'est pas nécessairement trivial. Les automorphismes de transport parallèle définis par toutes les courbes fermées issues de x forment un groupe de transformations appelé groupe d'holonomie de ∇ en x . Il existe une relation étroite entre ce groupe et la valeur de la courbure de ∇ en x ; c'est l'objet du théorème d'holonomie d'Ambrose-Singer .
Rétablissement de la connexion à partir du transport parallèle
Étant donné une dérivée covariante ∇, le transport parallèle le long d'une courbe γ s'obtient en intégrant la condition . Réciproquement, si une notion appropriée de transport parallèle est disponible, une connexion correspondante peut être obtenue par différentiation. Cette approche est due, essentiellement, à
Généralisations
Le transport parallèle peut être défini de manière plus générale pour d'autres types de connexions, et pas seulement pour celles définies dans un fibré vectoriel. Une généralisation possible concerne les connexions principales Kobayashi & Nomizu 1996 , Volume 1, Chapitre II) . Soit P → M un fibré principal sur une variété M munie d' un groupe de Lie de structure G et d'une connexion principale ω . Comme pour les fibrés vectoriels, une connexion principale ω sur P définit, pour chaque courbe γ de M , une application
de la fibre sur γ ( s ) à celle sur γ ( t ), qui est un isomorphisme d' espaces homogènes : c'est-à-dire pour chaque
Approximation : échelle de Schild
