Pointer vers l'infini

La droite réelle dont le point est à l'infini ; elle est appelée la droite projective réelle .

En géométrie , un point à l'infini ou point idéal est un point limite idéalisé à l'« extrémité » de chaque droite.

Dans le cas d'un plan affine (y compris le plan euclidien ), il existe un point idéal pour chaque faisceau de droites parallèles du plan. L'accolade de ces points produit un plan projectif dans lequel aucun point ne peut être distingué si l'on « oublie » quels points ont été ajoutés. Ceci est valable pour une géométrie sur tout corps , et plus généralement sur tout anneau à division .

Dans le cas réel, un point à l'infini complète une droite en une courbe topologiquement fermée. En dimensions supérieures, tous les points à l'infini forment un sous-espace projectif de dimension inférieure d'une unité à celle de l'espace projectif total auquel ils appartiennent. Un point à l'infini peut également être ajouté à la droite complexe (que l'on peut assimiler au plan complexe), la transformant ainsi en une surface fermée appelée droite projective complexe, C <sub>P</sub><sup> ¹ </sup>, ou encore sphère de Riemann (lorsque chaque point est associé à un nombre complexe).

Dans le cas d'un espace hyperbolique , chaque droite possède deux points idéaux distincts . L'ensemble des points idéaux forme alors une quadrique .

espace affine ou euclidien de dimension supérieure, les points à l'infini sont les points ajoutés à l'espace pour obtenir le complété projectif . L'ensemble des points à l'infini est appelé, selon la dimension de l'espace, droite à l'infini , plan à l'infini ou hyperplan à l'infini ; il s'agit dans tous les cas d'un espace projectif de dimension inférieure.

Comme un espace projectif sur un corps est une variété algébrique lisse , il en va de même pour l'ensemble des points à l'infini. De même, si le corps de base est le corps réel ou le corps complexe, l'ensemble des points à l'infini est une variété .

Perspective

point de fuite .

Géométrie hyperbolique

géométrie hyperbolique , les points à l'infini sont généralement appelés points idéaux . Contrairement aux géométries euclidienne et elliptique , chaque ligne a deux points à l'infini : étant donné une ligne l et un point P n'appartenant pas à l , les parallèles limites à droite et à gauche convergent asymptotiquement vers des points différents à l'infini.

L'ensemble des points à l'infini forme l' absolu de Cayley ou la frontière d'un plan hyperbolique .

Géométrie projective

Dans un plan projectif, une symétrie entre points et droites apparaît : de même qu'une paire de points définit une droite, une paire de droites définit un point. L'existence de droites parallèles implique l'existence d'un point à l'infini, représentant l'intersection de ces parallèles. Cette symétrie axiomatique est issue d'une étude de la perspective graphique, où une projection parallèle apparaît comme une projection centrale dont le centre C est un point à l'infini, ou point figuratif . La symétrie axiomatique entre points et droites est appelée dualité .

Bien qu'un point à l'infini soit considéré comme équivalent à tout autre point de l' ensemble projectif , une distinction est faite dans la représentation des points par coordonnées projectives : les points finis sont représentés par un 1 dans la dernière coordonnée, tandis qu'un point à l'infini est représenté par un 0. La représentation des points à l'infini requiert une coordonnée supplémentaire par rapport à celle nécessaire pour l'espace des points finis.

Autres généralisations

espaces topologiques . Différentes compactifications peuvent exister pour un espace donné, mais tout espace topologique admet une extension d'Alexandroff , également appelée compactification à un point , lorsque l'espace initial n'est pas compact . La droite projective (sur un corps quelconque) est l'extension d'Alexandroff du corps correspondant. Ainsi, le cercle est la compactification à un point de la droite réelle , et la sphère est la compactification à un point du plan. Les espaces projectifs P ^{$Plus d articles de Worldlex Wiki Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais. Explorer l index$}