démonstration mathématique

Une démonstration mathématique est un raisonnement déductif en faveur d'un énoncé mathématique , montrant que les hypothèses énoncées garantissent logiquement la conclusion. Ce raisonnement peut s'appuyer sur d'autres énoncés préalablement établis, tels que des théorèmes ; mais toute démonstration peut, en principe, être construite à partir de certaines hypothèses fondamentales ou originales appelées axiomes [ que des règles d' inférence admises . Les démonstrations sont des exemples de raisonnement déductif exhaustif qui établit une certitude logique, à distinguer des arguments empiriques ou du raisonnement inductif non exhaustif qui établissent une « espérance raisonnable ». Présenter de nombreux cas où l'énoncé est vrai ne suffit pas à constituer une démonstration ; celle-ci doit démontrer que l'énoncé est vrai dans tous les cas possibles. Une proposition non démontrée mais considérée comme vraie est appelée conjecture , ou hypothèse si elle est fréquemment utilisée comme postulat de départ dans des travaux mathématiques ultérieurs

Les démonstrations font appel à une logique exprimée par des symboles mathématiques, ainsi qu'à un langage naturel qui admet généralement une certaine ambiguïté. Dans la plupart des ouvrages mathématiques, les démonstrations sont rédigées en termes de logique informelle rigoureuse . Les démonstrations purement formelles , écrites entièrement en langage symbolique sans intervention du langage naturel, relèvent de la théorie de la démonstration . La distinction entre démonstrations formelles et informelles a suscité de nombreux examens des pratiques mathématiques actuelles et passées , du quasi-empirisme en mathématiques et des mathématiques dites « naïves », c'est-à-dire des traditions orales au sein de la communauté mathématique dominante ou dans d'autres cultures. La philosophie des mathématiques s'intéresse au rôle du langage et de la logique dans les démonstrations, et considère les mathématiques comme un langage .

Le mot « preuve » dérive du latin « probare », qui signifie « tester ». On retrouve des mots apparentés comme « probe » , « probation » et « probability » en anglais , ainsi que l’espagnol « probar », qui signifie « goûter » (parfois « toucher » ou « tester ») , l’italien « provare », qui signifie « essayer », et l’allemand « probieren », qui signifie « essayer ». En droit, la probité désigne l’autorité ou la crédibilité, c’est-à-dire le pouvoir d’un témoignage de prouver des faits lorsqu’il est donné par des personnes jouissant d’une réputation ou d’un statut social reconnu.

Les arguments de plausibilité, utilisant des procédés heuristiques tels que les images et les analogies, ont précédé la démonstration mathématique rigoureuse. Il est probable que l'idée de démontrer une conclusion soit apparue initialement en lien avec la géométrie , elle-même issue de problèmes pratiques de mesure des terres. Le développement de la démonstration mathématique est principalement le fruit des mathématiques de la Grèce antique . Thalès (624-546 av. J.-C.) et Hippocrate de Chios (v. 470-410 av. J.-C.) ont fourni certaines des premières démonstrations connues de théorèmes en géométrie. Eudoxe (408-355 av. J.-C.) et Théétète (417-369 av. J.-C.) ont formulé des théorèmes sans toutefois les démontrer. Aristote (384-322 av. J.-C.) affirmait que les définitions devaient décrire le concept défini en fonction d'autres concepts déjà connus.

La démonstration mathématique a été révolutionnée par Euclide (300 av. J.-C.), qui a introduit la méthode axiomatique encore utilisée aujourd'hui. Elle part de termes indéfinis et d'axiomes , propositions concernant ces termes indéfinis et considérées comme allant de soi (du grec axios , « ce qui est digne d'intérêt »). À partir de cette base, la méthode démontre des théorèmes par un raisonnement déductif . Les Éléments d'Euclide étaient lus par toute personne considérée comme instruite en Occident jusqu'au milieu du XXe siècle. Outre des théorèmes de géométrie, comme le théorème de Pythagore , les Éléments traitent également de la théorie des nombres , notamment d'une démonstration de l' irrationalité de la racine carrée de deux et d'une démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers .

D'autres progrès ont également eu lieu dans les mathématiques islamiques médiévales . Au Xᵉ siècle, le mathématicien irakien Al-Hashimi a travaillé avec les nombres en tant que tels, appelés « lignes » mais non nécessairement considérés comme des mesures d'objets géométriques, pour démontrer des propositions algébriques concernant la multiplication, la division, etc., y compris l'existence des nombres irrationnels . Une démonstration par récurrence des progressions arithmétiques a été introduite dans Al-Fakhri (1000) par Al-Karaji , qui l'a utilisée pour démontrer le binôme de Newton et les propriétés du triangle de Pascal .

La théorie moderne de la démonstration considère les démonstrations comme des structures de données définies par induction , sans supposer que les axiomes soient « vrais » au sens strict. Ceci permet d'établir des théories mathématiques parallèles, servant de modèles formels d'un concept intuitif donné, à partir d'ensembles d'axiomes alternatifs ; on peut citer par exemple la théorie axiomatique des ensembles et la géométrie non euclidienne .

En pratique, une démonstration est exprimée en langage naturel et consiste en un raisonnement rigoureux visant à convaincre l'auditoire de la véracité d'un énoncé. Le critère de rigueur n'est pas absolu et a varié au cours de l'histoire. Une démonstration peut être présentée différemment selon le public visé. Pour être acceptée, une démonstration doit satisfaire aux exigences de rigueur communément admises ; un raisonnement jugé vague ou incomplet peut être rejeté.

Le concept de preuve est formalisé dans le domaine de la logique mathématique . Une preuve formelle est écrite dans un langage formel plutôt qu'en langage naturel. Une preuve formelle est une suite de formules dans un langage formel, commençant par une hypothèse, chaque formule suivante étant une conséquence logique des précédentes. Cette définition rend le concept de preuve accessible à l'étude. En effet, le domaine de la théorie de la démonstration étudie les preuves formelles et leurs propriétés, la plus célèbre et la plus surprenante étant que presque tous les systèmes axiomatiques peuvent générer certains énoncés indécidables, c'est-à- dire non démontrables au sein du système.

La définition d'une démonstration formelle vise à saisir le concept de démonstration tel qu'il est utilisé dans la pratique mathématique. La validité de cette définition repose sur la conviction qu'une démonstration publiée peut, en principe, être convertie en une démonstration formelle. Cependant, en dehors du domaine des assistants de démonstration automatisés , cela est rarement fait en pratique. Une question classique en philosophie est de savoir si les démonstrations mathématiques sont analytiques ou synthétiques . Kant , qui a introduit la distinction analytique-synthétique , considérait les démonstrations mathématiques comme synthétiques, tandis que Quine soutenait dans son ouvrage de 1951, « Les deux dogmes de l'empirisme », qu'une telle distinction était intenable.

On peut admirer les démonstrations pour leur beauté mathématique . Le mathématicien Paul Erdős était connu pour décrire les démonstrations qu'il jugeait particulièrement élégantes comme provenant du « Livre », un ouvrage hypothétique contenant la ou les plus belles méthodes de démonstration de chaque théorème. Le livre *Preuves du Livre* , publié en 2003, présente 32 démonstrations que ses éditeurs trouvent particulièrement remarquables.

Dans une démonstration directe, la conclusion est établie en combinant logiquement les axiomes, les définitions et les théorèmes précédents. Par exemple, une démonstration directe peut être utilisée pour prouver que la somme de deux entiers pairs est toujours paire :

Considérons deux entiers pairs x et y . Puisqu'ils sont pairs, on peut les écrire respectivement sous la forme x = 2a et y = 2b , pour certains entiers a et b . Leur somme est alors x + y = 2a + 2b = 2( a + b ). Par conséquent, x + y a 2 comme facteur et, par définition, est pair. Ainsi, la somme de deux entiers pairs est toujours paire.

Cette démonstration utilise la définition des entiers pairs, les propriétés entières de la fermeture par addition et multiplication, et la propriété distributive .

Malgré son nom, l'induction mathématique est une méthode de déduction , et non une forme de raisonnement inductif . Dans une démonstration par induction mathématique, on démontre un cas de base unique, puis une règle d'induction qui établit que tout cas implique le cas suivant. Puisque, en principe, la règle d'induction peut être appliquée de manière répétée (à partir du cas de base démontré), il s'ensuit que tous les cas (généralement une infinité ) sont démontrables. Ceci évite d'avoir à démontrer chaque cas individuellement. Une variante de l'induction mathématique est la démonstration par descente infinie , qui peut être utilisée, par exemple, pour démontrer l' irrationalité de la racine carrée de deux .

Une application courante de la démonstration par récurrence est de prouver qu'une propriété connue pour un nombre donné est vraie pour tous les nombres naturels : Soit N = {1, 2, 3, 4, ... } l'ensemble des nombres naturels, et soit P ( n ) un énoncé mathématique portant sur le nombre naturel n appartenant à N tel que

• (i) P (1) est vrai, c'est-à-dire que P ( n ) est vrai pour n = 1 .
• (ii) P ( n +1 ) est vrai chaque fois que P ( n ) est vrai, c'est-à-dire que P ( n ) est vrai implique que P ( n +1 ) est vrai.
• Alors P ( n ) est vrai pour tous les nombres naturels n .

Par exemple, on peut démontrer par récurrence que tous les entiers positifs de la forme 2n − 1 sont impairs . Soit P ( n ) l'expression « 2n − 1 est impair » :

(i) Pour n = 1 , 2 n − 1 = 2(1) − 1 = 1 , et 1 est impair, puisqu'il laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 2 . Ainsi P (1) est vrai.

(ii) Pour tout n , si 2n − 1 est impair ( P ( n ) ), alors ( 2n − 1) + 2 est également impair, car l'addition de 2 à un nombre impair donne un nombre impair. Or, (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2( n + 1) − 1 , donc 2( n + 1) − 1 est impair ( P ( n + 1) ). Par conséquent, P ( n ) implique P ( n + 1) .

Ainsi, 2 n − 1 est impair, pour tous les entiers positifs n .

L’expression plus courte « démonstration par induction » est souvent utilisée au lieu de « démonstration par induction mathématique ».

La preuve par contraposition déduit l'énoncé « si p alors q » en établissant l' énoncé contraposé logiquement équivalent : « si non q alors non p ».

Par exemple, la contraposition peut être utilisée pour établir que, étant donné un entier , si est pair, alors est pair :

Supposons que n'est pas pair. Alors n est impair. Le produit de deux nombres impairs est impair, donc n est impair. Ainsi , n'est pas pair. Par conséquent, si n est pair, la supposition est fausse, donc n est nécessairement pair.

La démonstration par l'absurde, également connue sous l'expression latine « reductio ad absurdum » (par réduction à l'absurde), consiste à montrer que si l'on tient une proposition pour vraie, une contradiction logique apparaît ; par conséquent, la proposition est fausse. Un exemple célèbre concerne la démonstration que 0 est un nombre irrationnel .

Supposons que soit un nombre rationnel. Il peut alors s'écrire sous la forme irréductible suivante : ^où a et b sont des entiers non nuls sans facteur commun . Ainsi, . En élevant les deux membres au carré, on obtient 2b² = a² . Puisque l'expression de gauche est un multiple entier de 2, l'expression de droite est, par définition, divisible par 2. Autrement dit, ^{a² est} pair , ce qui implique que a doit également être pair, comme démontré dans la proposition précédente (voir #Preuve par contraposition ⁾ . On peut donc écrire a = 2c , où c est aussi un entier. En substituant dans l'équation initiale, on obtient 2b² ⁼ ( 2c ) ² ⁼ 4c² . ^En divisant les deux membres par 2, on obtient ^b² = 2c² . Or, par le même raisonnement, 2 divise b² , donc b doit être pair. Cependant, si a et b sont ^tous deux pairs, ils ont 2 comme facteur commun. Ceci contredit notre affirmation précédente selon laquelle a et b n'ont pas de facteur commun, nous devons donc conclure que est un nombre irrationnel.

Pour paraphraser : si l'on pouvait écrire sous forme de fraction , cette fraction ne pourrait jamais être écrite sous sa forme la plus simple, puisque 2 pourrait toujours être factorisé à partir du numérateur et du dénominateur.

La démonstration par construction, ou démonstration par l'exemple, consiste à construire un exemple concret possédant une propriété afin de montrer que quelque chose possédant cette propriété existe. Joseph Liouville , par exemple, a démontré l'existence des nombres transcendants en construisant un exemple explicite . Cette méthode peut également servir à construire un contre-exemple pour réfuter l'affirmation selon laquelle tous les éléments possèdent une certaine propriété.

Dans une démonstration par exhaustion, la conclusion est établie en la divisant en un nombre fini de cas et en démontrant chacun d'eux séparément. Le nombre de cas peut parfois devenir très important. Par exemple, la première démonstration du théorème des quatre couleurs était une démonstration par exhaustion comportant 1 936 cas. Cette démonstration a suscité la controverse car la majorité des cas ont été vérifiés par un programme informatique, et non manuellement.

Une inférence en chaîne fermée démontre qu'un ensemble d'énoncés sont deux à deux équivalents.

Afin de prouver que les énoncés sont tous deux à deux équivalents, des preuves sont données pour les implications , , , et .

L’équivalence par paires des énoncés résulte alors de la transitivité de la conditionnelle matérielle .

Une démonstration probabiliste est une démonstration qui prouve l'existence d'un exemple avec certitude, en utilisant les méthodes de la théorie des probabilités . La démonstration probabiliste, tout comme la démonstration par construction, est une des nombreuses manières de démontrer des théorèmes d'existence .

Dans la méthode probabiliste, on recherche un objet possédant une propriété donnée, en partant d'un grand ensemble de candidats. On attribue à chaque candidat une certaine probabilité d'être choisi, puis on démontre qu'il existe une probabilité non nulle qu'un candidat choisi possède la propriété recherchée. Cette méthode ne précise pas quels candidats possèdent la propriété, mais la probabilité ne peut être positive sans qu'au moins un d'entre eux la possède.

Il ne faut pas confondre une preuve probabiliste avec un argument selon lequel un théorème est « probablement » vrai, un « argument de plausibilité ». Les travaux sur la conjecture de Collatz montrent à quel point la plausibilité est éloignée d'une véritable preuve, tout comme la réfutation de la conjecture de Mertens . Si la plupart des mathématiciens estiment qu'une preuve probabiliste des propriétés d'un objet donné ne constitue pas une véritable preuve mathématique, quelques mathématiciens et philosophes ont soutenu qu'au moins certains types de preuves probabilistes (comme l'algorithme probabiliste de Rabin pour tester la primalité ) sont aussi valables que de véritables preuves mathématiques.

Une démonstration combinatoire établit l'équivalence de différentes expressions en montrant qu'elles dénombrent le même objet de manières différentes. On utilise souvent une bijection entre deux ensembles pour montrer que les expressions de leurs deux tailles sont égales. Alternativement, un argument de double dénombrement fournit deux expressions différentes pour la taille d'un même ensemble, démontrant là encore que les deux expressions sont égales.

Une démonstration non constructive établit l'existence d'un objet mathématique possédant une certaine propriété, sans expliquer comment cet objet peut être trouvé. Souvent, cela prend la forme d'une démonstration par l'absurde, où l'on prouve l'impossibilité de la non-existence de l'objet. À l'inverse, une démonstration constructive établit l'existence d'un objet particulier en fournissant une méthode pour le trouver. L'exemple célèbre suivant de démonstration non constructive montre qu'il existe deux nombres irrationnels a et b tels que a ≠ b soit un nombre rationnel . Cette démonstration utilise le fait que a ≠ b est irrationnel (une démonstration simple est connue depuis Euclide ), mais pas le fait que b ≠ b est irrationnel (cette dernière est vraie, mais la démonstration n'est pas élémentaire).

Soit n est un nombre rationnel et le tour est joué (prenons n = 1 ), soit n est irrationnel, donc on peut écrire n = 1 et n = 2. On obtient alors n = 1 , qui est donc un nombre rationnel de la forme n = 1.

L'expression « preuve statistique » peut être employée de manière technique ou familière dans certains domaines des mathématiques pures , comme la cryptographie , les séries chaotiques , la théorie probabiliste des nombres ou la théorie analytique des nombres . Elle est moins fréquemment utilisée pour désigner une démonstration mathématique dans le domaine des statistiques mathématiques . Voir également la section « Preuve statistique à partir de données » ci-dessous.

Jusqu'au XXe siècle, on supposait que toute démonstration pouvait, en principe, être vérifiée par un mathématicien compétent afin d'en confirmer la validité. Cependant, des démonstrateurs de théorèmes automatisés et des assistants de démonstration sont désormais utilisés pour démontrer des théorèmes et effectuer des calculs trop longs pour être vérifiés par un humain ou une équipe ; la première démonstration du théorème des quatre couleurs est un exemple de démonstration assistée par ordinateur. Certains mathématiciens craignent qu'une erreur dans un programme informatique ou une erreur d'exécution dans ses calculs ne remette en question la validité de telles démonstrations assistées par ordinateur. En pratique, les risques d'invalidation d'une démonstration assistée par ordinateur peuvent être réduits en intégrant de la redondance et des auto-vérifications dans les calculs, et en développant plusieurs approches et programmes indépendants. Les erreurs ne peuvent jamais être totalement exclues lors de la vérification d'une démonstration par des humains, surtout si la démonstration utilise le langage naturel et exige une compréhension mathématique approfondie pour déceler les hypothèses et les erreurs potentielles sous-jacentes.

Un énoncé qui n'est ni démontrable ni réfutable à partir d'un ensemble d' axiomes est dit indécidable (à partir de ces axiomes). Le postulat des parallèles en est un exemple : il n'est ni démontrable ni réfutable à partir des autres axiomes de la géométrie euclidienne .

Les mathématiciens ont montré qu'il existe de nombreux énoncés qui ne sont ni prouvables ni réfutables dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC), le système standard de la théorie des ensembles en mathématiques (en supposant que ZFC soit cohérent) ; voir la liste des énoncés indécidables dans ZFC .

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel montre que de nombreux systèmes d'axiomes d'intérêt mathématique auront des énoncés indécidables.

Si les premiers mathématiciens, comme Eudoxe de Cnide, n'utilisaient pas de démonstrations, d' Euclide aux fondements des mathématiques de la fin du XIXe et du XXe siècles, les démonstrations ont constitué une composante essentielle des mathématiques. Avec l'augmentation de la puissance de calcul dans les années 1960, d'importants travaux ont été entrepris pour étudier des objets mathématiques au-delà du cadre de la démonstration et du théorème, dans le domaine des mathématiques expérimentales . Les pionniers de ces méthodes envisageaient que leurs travaux aboutissent à un cadre de démonstration et de théorème classique, comme en témoignent les premiers développements de la géométrie fractale , qui ont finalement abouti.

Aux États-Unis, une méthode particulière d'organisation des démonstrations, utilisant deux colonnes parallèles, est fréquemment employée comme exercice de géométrie élémentaire. La démonstration se présente sous la forme d'une série de lignes disposées en deux colonnes. Sur chaque ligne, la colonne de gauche contient une proposition, tandis que la colonne de droite fournit une brève explication démontrant que la proposition correspondante de la colonne de gauche est soit un axiome, soit une hypothèse, soit qu'elle peut être logiquement déduite des propositions précédentes. La colonne de gauche est généralement intitulée « Énoncés » et la colonne de droite « Justifications ».

L'abréviation « QED » est parfois utilisée pour indiquer la fin d'une démonstration. Elle signifie « quod erat demonstrandum » , expression latine signifiant « ce qui devait être démontré » . On utilise plus souvent un carré ou un rectangle, comme □ ou ∎, appelés « symbole de fin de démonstration » ou « symbole Halmos » en référence à Paul Halmos . Lors d'une présentation orale, l'expression « ce qui devait être démontré » est souvent précisée oralement lorsqu'on écrit « QED », « □ » ou « ∎ ». Unicode fournit explicitement le caractère de fin de démonstration : U+220E (∎) (220E en hexadécimal = 8718 en décimal) .