Nombre rationnel

En mathématiques , un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient ou la fraction de deux entiers , un numérateur p et un dénominateur non nul q . Par exemple, 2p est un nombre rationnel, de même que tout entier (par exemple, 2p = 1 ) . L' ensemble de tous les nombres rationnels est souvent appelé « les rationnels » et est stable pour l'addition , la soustraction , la multiplication et la division par un nombre rationnel non nul. Il s'agit d'un corps pour ces opérations et est donc également appelé le corps des rationnels ou le corps des nombres rationnels . Il est généralement noté Q en gras .

Un nombre rationnel est un nombre réel . Les nombres réels rationnels sont ceux dont le développement décimal se termine après un nombre fini de chiffres (exemple : 3/4 = 0,75 ) ou commence à répéter indéfiniment la même séquence finie de chiffres (exemple : 9/44 = 0,20454545... ). Cette affirmation est vraie non seulement en base 10 , mais aussi dans toutes les autres bases entières , comme les bases binaire et hexadécimale (voir Décimal périodique § Extension à d’autres bases ).

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel . Les nombres irrationnels comprennent la racine carrée de 2 ( √2 ), π , e et le nombre d'or ( φ ). Puisque l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable et que l'ensemble des nombres réels est indénombrable , presque tous les nombres réels sont irrationnels.

Le corps des nombres rationnels est l'unique corps contenant les entiers et est inclus dans tout corps contenant les entiers. Autrement dit, le corps des nombres rationnels est un corps premier . Un corps est de caractéristique nulle si et seulement s'il contient les nombres rationnels comme sous-corps. Les extensions finies de sont appelées corps algébriques , et la clôture algébrique de est le corps des nombres algébriques .

En analyse mathématique , les nombres rationnels forment un sous-ensemble dense des nombres réels. On peut construire les nombres réels à partir des nombres rationnels par complétion , en utilisant les suites de Cauchy , les coupures de Dedekind ou les décimales infinies (voir Construction des nombres réels ).

En mathématiques, « rationnel » est souvent employé comme nom, abréviation de « nombre rationnel ». L'adjectif rationnel signifie parfois que les coefficients sont des nombres rationnels. Par exemple, un point rationnel est un point dont les coordonnées sont des nombres rationnels ; une matrice rationnelle est une matrice de nombres rationnels, bien que ce terme puisse aussi désigner une matrice dont les coefficients sont des fonctions rationnelles ; un polynôme rationnel peut être un polynôme à coefficients rationnels, bien que l'expression « polynôme sur les rationnels » soit généralement préférée pour éviter toute confusion entre « expression rationnelle » et « fonction rationnelle » (un polynôme est une expression rationnelle et définit une fonction rationnelle, même si ses coefficients ne sont pas des nombres rationnels). En revanche, une courbe rationnelle n'est pas une courbe définie sur les rationnels, mais une courbe paramétrable par des fonctions rationnelles.

Bien que les nombres rationnels soient aujourd'hui définis en termes de rapports , le terme « rationnel » ne dérive pas de « rapport » . Au contraire, c'est le rapport qui dérive de « rationnel » : la première utilisation de « rapport » avec son sens moderne est attestée en anglais vers 1660 , tandis que l'emploi de « rationnel » pour qualifier les nombres est apparu près d'un siècle plus tôt, en 1570 Ce sens de « rationnel » provient du sens mathématique d' « irrationnel » , utilisé pour la première fois en 1551, et employé dans les traductions d'Euclide (suivant son usage particulier d' ἄλογος )

Cette histoire inhabituelle trouve son origine dans le fait que les Grecs anciens « évitaient l’hérésie en s’interdisant de considérer ces longueurs [irrationnelles] comme des nombres ». Ces longueurs étaient donc irrationnelles , au sens d’ illogiques , c’est-à-dire « dont il ne faut pas parler » ( ἄλογος en grec).

Tout nombre rationnel peut être exprimé de manière unique sous la forme d'une fraction irréductible où a et b sont des entiers premiers entre eux et b > 0. On appelle souvent cela la forme canonique du nombre rationnel.

À partir d'un nombre rationnel , sa forme canonique peut être obtenue en divisant a et b par leur plus grand commun diviseur et, si b < 0 , en changeant le signe du numérateur et du dénominateur résultants.

Tout entier n peut être exprimé comme le nombre rationnel ⁠ ⁠ qui est sa forme canonique en tant que nombre rationnel.

Si les deux fractions sont sous forme canonique, alors :

Si les deux dénominateurs sont positifs (en particulier si les deux fractions sont sous forme canonique) :

En revanche, si l'un des dénominateurs est négatif, chaque fraction avec un dénominateur négatif doit d'abord être convertie en une forme équivalente avec un dénominateur positif, en changeant les signes de son numérateur et de son dénominateur.

On additionne deux fractions comme suit :

Si les deux fractions sont sous forme canonique, le résultat est sous forme canonique si et seulement si b et d sont des entiers premiers entre eux .

Si les deux fractions sont sous forme canonique, le résultat est sous forme canonique si et seulement si b, d sont des entiers premiers entre eux .

La règle de la multiplication est :

où le résultat peut être une fraction réductible , même si les deux fractions initiales sont sous forme canonique.

Tout nombre rationnel possède un inverse additif , souvent appelé son opposé ,

Si ⁠ ⁠ est sous forme canonique, il en va de même pour son contraire.

Un nombre rationnel non nul possède un inverse multiplicatif , également appelé son réciproque .

Si ⁠ ⁠ est sous forme canonique, alors la forme canonique de son réciproque est soit ⁠ ⁠ soit ⁠ ⁠ selon le signe de a .

Si b, c et d sont non nuls, la règle de division est

Ainsi, diviser ⁠ ⁠ par ⁠ ⁠ est équivalent à multiplier ⁠ ⁠ par l’ inverse de ⁠ ⁠

Si n est un entier non négatif, alors

Le résultat est sous forme canonique si la même chose est vraie pour ⁠ ⁠ En particulier,

Si a ≠ 0 , alors

Si ⁠ ⁠ est sous forme canonique, la forme canonique du résultat est ⁠ ⁠ si a > 0 ou n est pair. Sinon, la forme canonique du résultat est ⁠ ⁠

Une fraction continue finie est une expression telle que

où les a _n sont des entiers. Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction continue finie, dont les coefficients a _n peuvent être déterminés en appliquant l' algorithme d'Euclide à ( a, b ) .

• fraction commune : ⁠ ⁠
• nombre mixte : ⁠ ⁠
• décimale périodique utilisant un vinculum :
• décimale périodique entre parenthèses :
• fraction continue utilisant la typographie traditionnelle :
• fraction continue en notation abrégée :
• fraction égyptienne :
• Décomposition en puissances premières :
• notation de citation :

sont différentes manières de représenter la même valeur rationnelle.

Les nombres rationnels peuvent être construits comme des classes d'équivalence de paires ordonnées d' entiers .

Plus précisément, soit l' ensemble des paires ( m, n ) d' entiers tels que n ≠ 0. Une relation d'équivalence est définie sur cet ensemble par

L'addition et la multiplication peuvent être définies par les règles suivantes :

Cette relation d'équivalence est une relation de congruence , ce qui signifie qu'elle est compatible avec l'addition et la multiplication définies ci-dessus ; l'ensemble des nombres rationnels est défini comme l' ensemble des quotients par cette relation d'équivalence, muni de l'addition et de la multiplication induites par les opérations ci-dessus. (Cette construction peut être effectuée avec n'importe quel anneau intègre et produit son corps des fractions .)

La classe d' équivalence d'une paire ( m, n ) est notée . Deux paires (m₁, n₁) et (m₂, n₂) appartiennent à la même classe d' _équivalence ( c'est - à - _dire qu'elles _sont équivalentes) si et _seulement si

Cela signifie que

si et seulement si

Chaque classe d'équivalence peut être représentée par une infinité de paires, puisque

Chaque classe d'équivalence contient un unique élément représentatif canonique . Le représentant canonique est l'unique paire ( m, n ) de la classe d'équivalence telle que m et n soient premiers entre eux et n > 0. Il est appelé la représentation sous sa forme la plus simple du nombre rationnel.

Les entiers peuvent être considérés comme des nombres rationnels identifiant l'entier n au nombre rationnel ⁠ ⁠

On peut définir un ordre total sur les nombres rationnels, qui étend l'ordre naturel des entiers.

Si

0\quad { ext{et}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad { ext{ou}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad { ext{et}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned

L' ensemble de tous les nombres rationnels , ainsi que les opérations d'addition et de multiplication présentées ci-dessus, forme un corps .

Le corps n'admet aucun autre automorphisme que l'élément neutre. (Un automorphisme de corps fixe nécessairement 0 et 1 ; puisqu'il fixe nécessairement la somme et la différence de deux éléments fixés, il fixe nécessairement tout entier ; puisqu'il fixe nécessairement le quotient de deux éléments fixés, il fixe nécessairement tout nombre rationnel, et est donc l'élément neutre.)

⁠ ⁠ est un corps premier , c'est-à-dire un corps qui n'a pas d'autre sous-corps que lui-même. Les rationnels sont le plus petit corps de caractéristique nulle. Tout corps de caractéristique nulle contient un unique sous-corps isomorphe à ⁠ ⁠

Avec l'ordre défini ci-dessus, ⁠ ⁠ est un corps ordonné qui n'a pas de sous-corps autre que lui-même, et est le plus petit corps ordonné, au sens où tout corps ordonné contient un unique sous-corps isomorphe à ⁠ ⁠

⁠ ⁠ est le corps des fractions des entiers ⁠ ⁠ La clôture algébrique de ⁠ ⁠ c'est-à-dire le corps des racines des polynômes rationnels, est le corps des nombres algébriques .

L'ensemble des nombres rationnels est un ensemble dense : entre deux nombres rationnels quelconques, il en existe un autre, et donc une infinité d'autres. Par exemple, pour deux fractions quelconques telles que

(où sont positifs), nous avons

Tout ensemble totalement ordonné , dénombrable, dense (au sens ci-dessus) et sans plus petit ni plus grand élément est isomorphe à l'ordre des nombres rationnels.

L'ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable , comme l'illustre la figure.

Plus précisément, on peut trier les fractions par ordre croissant de la somme du numérateur et du dénominateur, et, pour des sommes égales, par ordre croissant du numérateur ou du dénominateur. On obtient ainsi une suite de fractions dont on peut extraire les fractions réductibles (en rouge sur la figure), ce qui permet d'obtenir une suite contenant chaque nombre rationnel une seule fois. Ceci établit une bijection entre les nombres rationnels et les nombres naturels, qui associe à chaque nombre rationnel son rang dans la suite.

Une méthode similaire peut être utilisée pour numéroter tous les nombres rationnels (positifs et négatifs).

Comme l'ensemble de tous les nombres rationnels est dénombrable et que l'ensemble de tous les nombres réels (ainsi que l'ensemble des nombres irrationnels) est indénombrable, l'ensemble des nombres rationnels est un ensemble vide , c'est-à-dire que presque tous les nombres réels sont irrationnels, au sens de la mesure de Lebesgue .

Les nombres rationnels forment un sous-ensemble dense des nombres réels ; à tout nombre réel correspond un ensemble de nombres rationnels arbitrairement proches. Une propriété connexe est que les nombres rationnels sont les seuls nombres admettant un développement fini en fraction continue régulière .

Dans la topologie usuelle des nombres réels, les rationnels ne sont ni un ensemble ouvert ni un ensemble fermé .

De par leur ordre, les nombres rationnels sont munis d'une topologie d'ordre . Les nombres rationnels, en tant que sous-espace des nombres réels, sont également munis d'une topologie de sous-espace . Les nombres rationnels forment un espace métrique grâce à la métrique de différence absolue , ce qui induit une troisième topologie . Ces trois topologies coïncident et font des nombres rationnels un corps topologique . Les nombres rationnels constituent un exemple important d'espace non localement compact . Topologiquement, les nombres rationnels sont caractérisés comme l'unique espace dénombrable métrisable sans points isolés . Cet espace est également totalement discontinu . Les nombres rationnels ne forment pas un espace métrique complet , et les nombres réels sont le complété de cet espace muni de la métrique mentionnée précédemment.

Outre la métrique de valeur absolue mentionnée ci-dessus, il existe d'autres métriques qui se transforment en un champ topologique :

Soit p un nombre premier et pour tout entier non nul a , soit où p ⁿ est la plus grande puissance de p divisant a .

De plus, pour tout nombre rationnel , nous définissons

Alors

définit une métrique sur ⁠ ⁠

L'espace métrique n'est pas complet, et son complétion est le corps des nombres p -adiques . Le théorème d'Ostrowski stipule que toute valeur absolue non triviale sur les nombres rationnels est équivalente soit à la valeur absolue réelle habituelle, soit à une valeur absolue p - adique .