Topologie

La topologie (du grec τόπος , « lieu, emplacement » , et mathématiques qui s'intéresse aux propriétés d'un objet géométrique qui sont préservées sous des déformations continues , telles que l'étirement , la torsion , le froissement et la flexion ; c'est-à-dire sans fermeture de trous, ouverture de trous, déchirure, collage ou passage à travers lui-même.

Un espace topologique est un ensemble muni d'une structure, appelée topologie , qui permet de définir des déformations continues de ses sous-espaces et, plus généralement, toute forme de continuité . Les espaces euclidiens , et plus généralement les espaces métriques , sont des exemples d'espaces topologiques, car toute distance ou métrique définit une topologie. Les déformations considérées en topologie sont les homéomorphismes et les homotopies . Une propriété invariante par de telles déformations est une propriété topologique . Voici quelques exemples fondamentaux de propriétés topologiques : la dimension , qui permet de distinguer une droite d'une surface ; la compacité , qui permet de distinguer une droite d'un cercle ; la connexité , qui permet de distinguer un cercle de deux cercles non sécants.

Les idées fondamentales de la topologie remontent à Gottfried Wilhelm Leibniz , qui, au XVIIe siècle, a imaginé les concepts de des sept ponts de Königsberg et la formule des polyèdres de Leonhard Euler sont sans doute les premiers théorèmes de ce domaine. Le terme « topologie » a été introduit par Johann Benedict Listing au XIXe siècle, mais ce n'est qu'au début du XXe siècle que l'idée d'espace topologique s'est développée.

L'idée fondamentale de la topologie est que certains problèmes géométriques dépendent non pas de la forme exacte des objets, mais de leur agencement. Par exemple, le carré et le cercle ont de nombreuses propriétés en commun : ce sont tous deux des objets unidimensionnels (d'un point de vue topologique) et ils divisent le plan en deux parties, la partie intérieure et la partie extérieure.

Dans l'un des premiers articles consacrés à la topologie, Leonhard Euler a démontré qu'il était impossible de trouver un itinéraire traversant la ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad ) qui passe par chacun de ses sept ponts exactement une fois. Ce résultat ne dépendait ni de la longueur des ponts ni de leur distance les uns des autres, mais uniquement de leurs propriétés de connectivité : quels ponts relient quelles îles ou rives. Ce problème des sept ponts de Königsberg a donné naissance à la branche des mathématiques connue sous le nom de théorie des graphes .

De même, le théorème de la boule poilue en topologie algébrique affirme qu’« on ne peut pas aplatir les cheveux d’une boule poilue sans créer une épi » . Ce fait est immédiatement convaincant pour la plupart des gens, même s’ils ne reconnaissent pas forcément l’énoncé plus formel du théorème, à savoir qu’il n’existe pas de champ de vecteurs tangents continu non nul sur la sphère. Comme pour le théorème des ponts de Königsberg , ce résultat ne dépend pas de la forme de la sphère ; il s’applique à toute forme lisse et continue, pourvu qu’elle soit sans trou.

Pour résoudre ces problèmes qui ne dépendent pas de la forme exacte des objets, il est essentiel de bien cerner les propriétés dont ils dépendent. De ce besoin naît la notion d' homéomorphisme . L'impossibilité de traverser chaque pont une seule fois s'applique à tout agencement de ponts homéomorphe à ceux de Königsberg, et le théorème de la boule chevelue s'applique à tout espace homéomorphe à une sphère.

Intuitivement, deux espaces sont homéomorphes si l'un peut être déformé en l'autre sans découpe ni collage. Un exemple célèbre, connu sous le nom de « petit-déjeuner du topologue », illustre l'incapacité d'un topologue à distinguer une tasse à café d'un beignet. Un tore flexible (en forme de beignet) peut être transformé en tasse à café en créant une cavité que l'on agrandit progressivement tout en rétrécissant le trou central pour former l'anse.

L'homéomorphisme peut être considéré comme l' équivalence topologique la plus élémentaire . L'équivalence d'homotopie en est une autre . Plus difficile à décrire sans entrer dans les détails techniques, elle repose essentiellement sur le principe que deux objets sont homotopiquement équivalents s'ils résultent tous deux de la compression d'un objet plus grand.

La topologie, en tant que discipline mathématique bien définie, trouve son origine au début du XXe siècle, mais certains résultats isolés remontent à plusieurs siècles. Parmi ceux-ci figurent certaines questions de géométrie étudiées par Leonhard Euler . Son article de 1736 sur les Sept Ponts de Königsberg est considéré comme l'une des premières applications pratiques de la topologie. Le 14 novembre 1750, Euler écrivait à un ami qu'il avait pris conscience de l'importance des arêtes d'un polyèdre . Ceci le conduisit à sa formule du polyèdre : Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann et Enrico Betti . Listing a introduit le terme « topologie » dans ses Vorstudien zur Topologie , écrits en allemand, sa langue maternelle, en 1847, après l'avoir utilisé pendant dix ans dans sa correspondance avant sa première publication. La forme anglaise « topology » a été employée en 1883 dans la nécrologie de Listing parue dans la revue Nature pour distinguer « la géométrie qualitative de la géométrie ordinaire qui traite principalement des relations quantitatives ».

Leurs travaux ont été corrigés, consolidés et considérablement développés par Henri Poincaré . En 1895, il publia son article fondamental sur l’Analyse Situs , qui introduisit les concepts aujourd’hui connus sous le nom d’homotopie et d’homologie , désormais considérés comme faisant partie de la topologie algébrique .

Caractéristiques topologiques des 2-variétés fermées

Manifold	Euler number	Orientability	Betti numbers			Torsion coefficient(1-dim)
			b0	b1	b2
Sphere	2	Torus	0	genusProjective plane	1	Klein bottle	0	cross-caps ( 0"}},"i":0}}] c > 0)	Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli and others, Maurice Fréchet introduced the metric space in 1906. A metric space is now considered a special case of a general topological space, with any given topological space potentially giving rise to many distinct metric spaces. In 1914, Felix Hausdorff coined the term "topological space" and defined what is now called a Hausdorff space. Currently, a topological space is a slight generalization of Hausdorff spaces, given in 1922 by Kazimierz Kuratowski. Modern topology depends strongly on the ideas of set theory, developed by Georg Cantor in the later part of the 19th century. In addition to establishing the basic ideas of set theory, Cantor considered point sets in Euclidean space as part of his study of Fourier series. For further developments, see point-set topology and algebraic topology. The 2022 Abel Prize was awarded to Dennis Sullivan "for his groundbreaking contributions to topology in its broadest sense, and in particular its algebraic, geometric and dynamical aspects". Concepts Topologies on sets droite réelle , le plan complexe et l' ensemble de Cantor peuvent être considérés comme un seul et même ensemble muni de topologies différentes. Formellement, soit famille de sous-ensembles de ensemble clopen ), ou ni l'un ni l'autre. L'ensemble vide et voisinage ouvert de Déformation continue (un type d'homéomorphisme) d'une tasse en beignet (tore) et d'une peluche vache en sphère Une fonction ou une application d'un espace topologique à un autre est dite continue si l' image réciproque de tout ouvert est ouverte. Si la fonction envoie l'ensemble des nombres réels sur l'ensemble des nombres réels (les deux espaces étant munis de la topologie usuelle), alors cette définition de la continuité est équivalente à celle du calcul différentiel et intégral . Si une fonction continue est injective et surjective , et si son inverse est également continue, alors la fonction est appelée homéomorphisme et son domaine est dit homéomorphe à son image. Autrement dit, la fonction admet un prolongement naturel à la topologie. Si deux espaces sont homéomorphes, ils ont des propriétés topologiques identiques et sont considérés comme topologiquement équivalents. Le cube et la sphère sont homéomorphes, de même que la tasse à café et le beignet. Cependant, la sphère n'est pas homéomorphe au beignet. Collecteurs variété de dimension n possède un homéomorphe à l'espace euclidien de dimension Les droites et les cercles , mais pas les figures en huit , sont des variétés de dimension 1. Les variétés de dimension 2 sont également appelées surfaces . On peut citer comme exemples le plan , la sphère et le tore , qui peuvent tous être réalisés en trois dimensions sans auto-intersection, et la bouteille de Klein et le plan projectif réel , qui ne le peuvent pas. Sous-domaines topologie générale des espaces topologiques , c'est-à-dire des ensembles munis d'une topologie , autrement dit d'une famille de sous-ensembles , appelés ouverts , stables par intersection finie et par union (finie ou infinie) . Les concepts fondamentaux de la topologie, tels que la continuité , la compacité et la connexité , peuvent être définis à l'aide des ouverts. Intuitivement, les fonctions continues associent des points proches à des points proches. Les ensembles compacts sont ceux qui peuvent être recouverts par une infinité finie d'ensembles de cardinalité arbitrairement petite. Les ensembles connexes sont ceux qui ne peuvent être divisés en deux parties trop éloignées l'une de l'autre. Les notions de « proches » , « arbitrairement petit » et « trop éloignés » peuvent toutes être précisées grâce aux ouverts. Plusieurs topologies peuvent être définies sur un ensemble donné. Changer de topologie revient à modifier la collection des ouverts. Cela modifie les fonctions continues et les sous-ensembles compacts ou connexes. Les espaces métriques constituent une classe importante d'espaces topologiques où la distance entre deux points quelconques est définie par une fonction appelée métrique . Dans un espace métrique, un ouvert est une union de disques ouverts, où un disque ouvert de rayon droite réelle , du plan complexe , des espaces vectoriels normés réels et complexes et des espaces euclidiens . L'existence d'une métrique simplifie de nombreuses démonstrations. topologie algébrique l'algèbre pour étudier les espaces topologiques. Son objectif principal est de trouver des invariants algébriques qui classifient les espaces topologiques à homéomorphisme près, ou plus couramment à équivalence d'homotopie près. Les plus importants de ces invariants sont les groupes d'homotopie , l'homologie et la cohomologie . Bien que la topologie algébrique utilise principalement l'algèbre pour étudier les problèmes topologiques, il est parfois possible d'utiliser la topologie pour résoudre des problèmes algébriques. La topologie algébrique permet, par exemple, de démontrer aisément que tout sous-groupe d'un groupe libre est lui-même un groupe libre. Topologie différentielle fonctions différentiables sur les variétés différentiables . Elle est étroitement liée à la géométrie différentielle et ensemble, elles constituent la théorie géométrique des variétés différentiables. Plus précisément, la topologie différentielle considère les propriétés et les structures qui ne requièrent qu'une structure lisse sur une variété pour être définies. Les variétés lisses sont plus « souples » que les variétés présentant des structures géométriques supplémentaires, lesquelles peuvent faire obstacle à certains types d'équivalences et de déformations existant en topologie différentielle. Par exemple, le volume et la courbure riemannienne sont des invariants qui permettent de distinguer différentes structures géométriques sur une même variété lisse ; autrement dit, on peut « aplatir » certaines variétés de manière lisse, mais cela peut nécessiter une distorsion de l'espace et modifier la courbure ou le volume.La topologie géométrique est une branche de la topologie qui se concentre principalement sur les variétés de basse dimension (c'est-à-dire les espaces de dimensions 2, 3 et 4) et leur interaction avec la géométrie, mais elle inclut également certains aspects de la topologie de dimension supérieure. Parmi les sujets abordés en topologie géométrique, on peut citer l'orientabilité , les décompositions en anses , la platitude locale , le froissement et le théorème de Schönflies planaire et de dimension supérieure . En topologie de grande dimension, les classes caractéristiques sont un invariant fondamental, et la théorie de la chirurgie est une théorie clé. La topologie de basse dimension est fortement géométrique, comme le reflète le théorème d'uniformisation en 2 dimensions – toute surface admet une métrique de courbure constante ; géométriquement, elle possède l'une des 3 géométries possibles : courbure positive /sphérique, courbure nulle/plate et courbure négative/hyperbolique – et la conjecture de géométrisation (maintenant théorème) en 3 dimensions – toute 3-variété peut être découpée en morceaux, chacun ayant l'une des huit géométries possibles. La topologie bidimensionnelle peut être étudiée comme une géométrie complexe à une variable ( les surfaces de Riemann sont des courbes complexes) – d'après le théorème d'uniformisation, toute classe conforme de métriques est équivalente à une unique classe complexe, et la topologie quadridimensionnelle peut être étudiée du point de vue de la géométrie complexe à deux variables (surfaces complexes), bien que toutes les 4-variétés n'admettent pas une structure complexe. Généralisations Occasionally, one needs to use the tools of topology but a "set of points" is not available. In pointless topology one considers instead the lattice of open sets as the basic notion of the theory, while Grothendieck topologies are structures defined on arbitrary categories that allow the definition of sheaves on those categories and with that the definition of general cohomology theories. Applications Biology Topology has been used to study various biological systems including molecules and nanostructures (e.g., membraneous objects); this application led to both molecular topology and molecular nanotopology. Furthermore, circuit topology and knot theory have been extensively applied to classify and compare the topology of folded proteins and nucleic acids. Circuit topology classifies folded molecular chains based on the pairwise arrangement of their intra-chain contacts and chain crossings. Knot theory, a branch of topology, is used in biology to study the effects of certain enzymes on DNA. These enzymes cut, twist, and reconnect the DNA, causing knotting with observable effects such as slower electrophoresis. Computer science Topological data analysis uses techniques from algebraic topology to determine the large-scale structure of a set (for instance, determining if a cloud of points is spherical or toroidal). The main method used by topological data analysis is to: Replace a set of data points with a family of simplicial complexes, indexed by a proximity parameter. Analyse these topological complexes via algebraic topology – specifically, via the theory of persistent homology. Encode the persistent homology of a data set in the form of a parameterized version of a Betti number, which is called a barcode. Several branches of programming languagesemantics, such as domain theory, are formalized using topology. In this context, Steve Vickers, building on work by Samson Abramsky and Michael B. Smyth, characterizes topological spaces as Boolean or Heyting algebras over open sets, which are characterized as semidecidable (equivalently, finitely observable) properties. Physics La topologie est pertinente pour la physique dans des domaines tels que la physique de la matière condensée , la théorie quantique des champs , l'informatique quantique et la cosmologie physique . La dépendance topologique des propriétés mécaniques des solides présente un intérêt majeur en génie mécanique et en science des matériaux . Les propriétés électriques et mécaniques dépendent de l'agencement et de la structure des réseaux moléculaires et des unités élémentaires des matériaux . La résistance à la compression des topologies plissées est étudiée afin de comprendre le rapport résistance/poids élevé de ces structures, majoritairement constituées de vide . La topologie revêt également une importance considérable en mécanique du contact, où la dépendance de la rigidité et du frottement à la dimensionnalité des structures de surface est un sujet d'étude pertinent, notamment en physique des systèmes à plusieurs corps. Une théorie quantique des champs topologique (ou TQFT) est une théorie quantique des champs qui calcule les invariants topologiques . Bien que les TQFT aient été inventées par des physiciens, elles présentent également un intérêt mathématique, étant liées, entre autres, à la théorie des nœuds , à la théorie des variétés de dimension quatre en topologie algébrique et à la théorie des espaces de modules en géométrie algébrique. Donaldson , Jones , Witten et Kontsevich ont tous reçu la médaille Fields pour leurs travaux sur la théorie quantique des champs topologique. La classification topologique des variétés de Calabi-Yau a des implications importantes en théorie des cordes , car différentes variétés peuvent supporter différents types de cordes. Dans les ordinateurs quantiques topologiques , les qubits sont stockés dans des propriétés topologiques qui sont par définition invariantes par rapport aux homotopies . En cosmologie, la topologie peut être utilisée pour décrire la forme globale de l'univers . Ce domaine de recherche est communément appelé topologie de l'espace-temps . In condensed matter, a relevant application to topological physics comes from the possibility of obtaining a one-way current, which is a current protected from backscattering. It was first discovered in electronics with the famous quantum Hall effect, and then generalized in other areas of physics, for instance in photonics.David Thouless, Duncan Haldane, and Michael Kosterlitz were awarded the 2016 Nobel Prize in Physics for their work on Topological orders. Robotics The possible positions of a robot can be described by a manifold called configuration space. In the area of motion planning, one finds paths between two points in configuration space. These paths represent a motion of the robot's joints and other parts into the desired pose. Games and puzzles Disentanglement puzzles are based on topological aspects of the puzzle's shapes and components. Fiber art In order to create a continuous join of pieces in a modular construction, it is necessary to create an unbroken path in an order that surrounds each piece and traverses each edge only once. This process is an application of the Eulerian path. Resources and research Major journals Geometry & Topology- a mathematic research journal focused on geometry and topology, and their applications, published by Mathematical Sciences Publishers. Journal of Topology- a scientific journal which publishes papers of high quality and significance in topology, geometry, and adjacent areas of mathematics. Major books Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN978-0-13-181629-9 Willard, Stephen (2016). General topology. Dover books on mathematics. Mineola, New York: Dover publications. ISBN978-0-486-43479-7 Armstrong, M. A. (1983). Basic topology. Undergraduate texts in mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN978-0-387-90839-7 John L. Kelley (1979). General Topology. Springer. ISBN0-387-90125-6