Intersection (théorie des ensembles)

théorie des ensembles , l' intersection de deux ensembles et notée est l'ensemble contenant tous les éléments de qui appartiennent également à ou de manière équivalente, tous les éléments de qui appartiennent également à La notion d'intersection en tant qu'opération algébrique avec des ensembles comme opérandes a été généralisée à partir de la géométrie , où elle est rencontrée dans le cas d'ensembles géométriques de points , tels que des points individuels, des lignes ( ensembles infinis non dénombrables de points), des plans, etc.

notation infixe . Par exemple : l'intersection de plus de deux ensembles (intersection généralisée) peut s'écrire : ce qui est similaire à la notation sigma majuscule . Pour une explication des symboles utilisés dans cet article, reportez-vous au tableau des symboles mathématiques .

Définition

Exemple d'intersection avec des ensembles

L'intersection de deux ensembles et notée , est l'ensemble de tous les objets qui appartiennent à la fois aux ensembles et . En symboles :

Autrement dit, est un élément de l'intersection si et seulement si est à la fois un élément de et un élément de

Par exemple:

L'intersection des ensembles {1, 2, 3} et {2, 3, 4} est {2, 3}.
Le nombre 9 n'est nombres premiers {2, 3, 5, 7, 11, ...} et de l'ensemble des nombres impairs {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, car 9 n'est pas premier.
L'intersection de deux ensembles géométriques de points, tels que deux droites, est un ensemble singleton d'un seul point pour des droites distinctes non parallèles dans le même plan.

Ensembles intersectants et disjoints

Nous disons que $Deux ensembles se rencontrent$ s'il existeun élément appartenant aux deux,auquel cas on dit également que ensemble habité , c'est-à-dire s'il existe un élémenttel que

On dit que disjoints si ne s'intersectent pas. Autrement dit, ils n'ont aucun élément en commun. et sont disjoints si leur intersection est vide , notée .

Par exemple:

Les ensembles et sont disjoints, tandis que l'ensemble des nombres pairs intersecte l'ensemble des multiples de 3 aux multiples de 6.
Deux droites parallèles situées dans le même plan sont disjointes.

propriétés algébriques

associative ; c'est-à-dire que pour tous ensembles et , on a $Ainsi, les parenthèses peuvent être omises sans ambiguïté : l’une ou l’autre des expressions ci-dessus peut s’écrire sous la forme . L’intersection est également commutative . Autrement dit, pour tout et , on a . L’intersection de tout ensemble avec l’ ensemble vide donne l’ensemble vide ; c’est-à-dire que pour tout ensemble , . De plus, l’opération d’intersection est idempotente; c’est-à-dire que tout ensemble satisfait . Toutes ces propriétés découlent de faits analogues concernant la conjonction logique . L'intersection est distributive sur l'union et l'union est distributive sur l'intersection. Autrement dit, pour tous ensembles et , on a . Dans un univers , on peut définir le complémentaire de comme l'ensemble de tous les éléments de n'appartenant pas à . De plus, l'intersection de et peut s'écrire comme le complémentaire de l' union de leurs complémentaires, ce qui se déduit aisément des lois de De Morgan :$

Intersections arbitraires

non vide dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles, alors est un élément de l' pour tout élément de , est un élément de . En symboles : $La notation de ce dernier concept peut varier considérablement. Les théoriciens des ensembles écrivent parfois « », tandis que d'autres écrivent plutôt « ». Cette dernière notation peut être généralisée en « », qui désigne l'intersection de la collection. Ici , est un ensemble non vide, et est un ensemble pour tout Dans le cas où l' ensemble des indices est l'ensemble des nombres naturels, on peut rencontrer une notation analogue à celle d'un produit infini : Lorsque la mise en forme est difficile, on peut aussi écrire « ». Ce dernier exemple, une intersection d'une infinité dénombrable d'ensembles, est en fait très courant ; pour un exemple, voir l'article sur les σ-algèbres .$

$Intersection nulle$

$Dans la section précédente, nous avons exclu le cas où l' ensemble était vide ( ). La raison est la suivante : l'intersection de la collection est définie comme l'ensemble (voir la notation ensembliste). Si est vide, il n'existe aucun ensemble dans , la question devient donc : « Quels sont les ensembles qui satisfont la condition énoncée ? » La réponse semble être : vérité triviale . Ainsi, l'intersection de la famille vide devrait être l' ensemble universel (l' élément neutre de l'opération d'intersection) , mais dans la théorie des ensembles standard (ZF), l'ensemble universel n'existe pas.$

$Cependant, lorsqu'on se restreint au contexte des sous-ensembles d'un ensemble fixe donné , la notion d'intersection d'une collection vide de sous-ensembles de est bien définie. Dans ce cas, si est vide, son intersection est . Puisque tous les sous-ensembles de satisfont trivialement la condition requise, l'intersection de la collection vide de sous-ensembles de est l'ensemble de tous les sous-ensembles de . Dans les formules, . Ceci correspond à l'intuition que lorsque les collections de sous-ensembles diminuent, leurs intersections respectives augmentent ; dans le cas extrême, la collection vide a une intersection égale à l'ensemble sous-jacent entier.$

$De plus, en théorie des types, est d'un type prescrit , donc l'intersection est considérée comme étant de type (le type des ensembles dont les éléments sont dans ), et nous pouvons définir comme étant l'ensemble universel de (l'ensemble dont les éléments sont exactement tous les termes de type ).$

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