planéité locale

En topologie , une branche des mathématiques , la platitude locale est une condition de régularité qui peut être imposée aux sous-variétés topologiques . Dans la catégorie des variétés topologiques, les sous-variétés localement plates jouent un rôle similaire à celui des sous-variétés plongées dans la catégorie des variétés différentiables . Les violations de la platitude locale décrivent les réseaux de crêtes et les structures plissées , avec des applications en traitement des matériaux et en génie mécanique .

On dit que N est localement plat dans M si N est localement plat en tout point. De même, une application est dite localement plate , même si ce n'est pas un plongement, si tout x de N a un voisinage U dont l'image est localement plate dans M.

Dans les variétés à bord

La définition ci-dessus suppose que, si M possède une frontière , x n'est pas un point de frontière de M. Si x est un point de frontière de M , la définition est modifiée comme suit. On dit que N est localement plat en un point de frontière x de M s'il existe un voisinage de x tel que la paire topologique ( x, y) soit homéomorphe à la paire (x, y) , où (x, y) est un demi-espace standard et (x, y) est inclus comme sous-espace standard de sa frontière.

La platitude locale d'un plongement implique des propriétés fortes qui ne sont pas partagées par tous les plongements. Brown (1962) a prouvé que si d = n − 1, alors N est muni d'un collet ; c'est-à-dire qu'il possède un voisinage homéomorphe à N × [0,1] avec N lui-même correspondant à N × 1/2 (si N est à l'intérieur de M ) ou à N × 0 (si N est à la frontière de M ).