En mathématiques , une fonction continue est une fonction telle qu'une petite variation de son argument entraîne une petite variation de sa valeur . Cela implique l'absence de c...
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mathématiques , une fonction continue est une fonction telle qu'une petite variation de son argument entraîne une petite variation de sa valeur . Cela implique l'absence de changements brusques de valeur, appelés discontinuités . Plus précisément, une fonction est continue si l'on peut garantir des variations arbitrairement petites de sa valeur en restreignant les variations de son argument à des variations suffisamment petites. Une fonction discontinue est une fonction qui n'est intuitives de continuité et ne considéraient que les fonctions continues. La définition epsilon-delta de la limite a été introduite pour formaliser la définition de la continuité.
À titre d'exemple concret, la fonction définition epsilon-delta de la continuité a été donnée pour la première fois par Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy a défini la continuité comme suit : un incrément infinitésimal de la variable indépendante produit toujours une variation infinitésimale de la variable dépendante (voir par exemple Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy a défini les quantités infinitésimales en fonction des quantités variables, et sa définition de la continuité est très proche de la définition infinitésimale utilisée aujourd'hui (voir microcontinuité ).
Les définitions formelles et la distinction entre continuité ponctuelle et continuité uniforme ont été établies par Bolzano dans les années 1830, mais ses travaux n'ont été publiés que dans les années 1930. À l'instar de Bolzano Karl Weierstrass considérait qu'une fonction en un point , c'est-à-dire , est continue si et seulement si les valeurs de , , et sont toutes définies et égales. Édouard Goursat supposait la continuité à condition que la fonction soit définie en et égale à au moins un côté de la limite , tandis que Camille Jordan l'admettait même si la fonction n'était définie qu'en . Ces trois définitions non équivalentes de la continuité ponctuelle sont encore utilisées aujourd'hui. Eduard Heine a fourni la première définition publiée de la continuité uniforme en 1872, mais s'appuyait sur des cours donnés par Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854.
Fonctions réelles
La fonction est continue sur son domaine ( ), mais est discontinue en lorsqu'elle est considérée comme une fonction par morceaux définie sur les réels.
Une fonction réelle, c'est-à-dire une fonction des nombres réels dans les nombres réels, peut être représentée graphiquement dans le plan cartésien ; une telle fonction est continue si, en simplifiant, son graphe est une courbe unique et continue dont le domaine est l'ensemble des nombres réels. Une définition mathématique plus rigoureuse est donnée ci-dessous.
La continuité des fonctions réelles est généralement définie en termes de limites . Une fonction entier réel
Il existe plusieurs définitions différentes de la continuité (globale) d'une fonction, qui dépendent de la nature de son domaine .
Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si cet intervalle est inclus dans son domaine de définition et si la fonction est continue en tout point de l'intervalle. Une fonction continue sur l'intervalle (l'ensemble des nombres réels ) est souvent simplement appelée fonction continue ; on dit aussi qu'une telle fonction est continue partout . Par exemple, toutes les fonctions polynomiales sont continues partout.
Une fonction est continue sur un intervalle semi-ouvert ou fermé si, étant donné que l'intervalle est inclus dans le domaine de la fonction, la fonction est continue en tout point intérieur de l'intervalle, et la valeur de la fonction en chaque extrémité appartenant à l'intervalle est la limite des valeurs de la fonction lorsque la variable tend vers cette extrémité depuis l'intérieur de l'intervalle. Par exemple, la fonction est continue sur tout son domaine, qui est l'intervalle semi-ouvert
De nombreuses fonctions courantes sont des fonctions partielles dont le domaine est constitué de tous les nombres réels, à l'exception de quelques points isolés . La fonction réciproque et la fonction tangente en sont des exemples . Lorsqu'elles sont continues sur leur domaine, on dit, dans certains contextes, qu'elles sont continues, même si elles ne le sont pas partout. Dans d'autres contextes, notamment lorsqu'on s'intéresse à leur comportement au voisinage des points exceptionnels, on dit qu'elles sont discontinues.
Une fonction partielle est discontinue en un point si ce point appartient à la clôture topologique de son domaine, et soit le point n'appartient pas au domaine de la fonction, soit la fonction n'est pas continue en ce point. Par exemple, les fonctions f et g sont discontinues en le domaine est contenu dans l'ensemble des nombres réels.
La fonction limite de f lorsque x tend vers c à travers le domaine de f existe et est égale à Mathématiquement, cela s'écrit : [8] . Concrètement, cela implique trois conditions : premièrement,
(Ici, nous avons supposé que le domaine de f ne comporte aucun point isolé .)
Définition en termes de quartiers
Le voisinage d'un point c est un ensemble qui contient au moins tous les points situés à une distance fixe de c . Intuitivement, une fonction est continue en un point c si l'image de f sur le voisinage de c se réduit à un seul point lorsque la largeur du voisinage autour de c tend vers zéro. Plus précisément, une fonction f est continue en un point c de son domaine si, pour tout voisinage, il existe un voisinage dans son domaine tel que, pour tout
Comme les voisinages sont définis dans tout espace topologique , cette définition de la continuité d'une fonction s'applique non seulement aux fonctions réelles, mais aussi lorsque le domaine et le codomaine sont des espaces topologiques ; il s'agit donc de la définition la plus générale. Il s'ensuit qu'une fonction est automatiquement continue en tout point isolé de son domaine. Par exemple, toute fonction à valeurs réelles sur l'ensemble des entiers est continue.
Définition en termes de limites de suites
La suite suite de points du domaine qui converge vers c , la suite correspondante converge vers. En notation mathématique,
Définitions de Weierstrass et Jordan (epsilon–delta) des fonctions continues
Illustration de la 0," 0, 0" 0
Autrement dit, la continuité de at signifie que pour tout il existe un tel que pour tout : 0," 0, 0" 0
Plus intuitivement, on peut dire que si l'on veut que toutes les valeurs restent dans un petit voisinage de ces valeurs, il faut choisir un voisinage suffisamment petit. Si cela est possible quelle que soit la taille du voisinage, alors la fonction est continue en .
En termes modernes, cela se généralise par la définition de la continuité d'une fonction par rapport à une base de la topologie , ici la topologie métrique .
Weierstrass avait exigé que l'intervalle soit entièrement contenu dans le domaine , mais Jordan a supprimé cette restriction.
Définition en termes de contrôle du reste
Dans les démonstrations et l'analyse numérique, il est souvent nécessaire de connaître la vitesse de convergence des limites, autrement dit, de contrôler le reste. On peut formaliser cela par une définition de la continuité. Une fonction est dite fonction de contrôle si
C est non décroissant
0} C(\\delta) = 0" 0}C(\delta )=0
Une fonction est C -continue en s'il existe un tel voisinage que
Une fonction est continue dans si elle est C -continue pour une certaine fonction de contrôle C .
Cette approche conduit naturellement à affiner la notion de continuité en restreignant l'ensemble des fonctions de contrôle admissibles. Pour un ensemble donné de fonctions de contrôle, une fonction est lipschitziennes , höldériennes d'exposant fonctions uniformément continues ci-dessous sont définies respectivement par l'ensemble des fonctions de contrôle. 0\\}" 0\ 0\\}" 0\
Définition utilisant l'oscillation
L'incapacité d'une fonction à être continue en un point est quantifiée par son oscillation .
La continuité peut également être définie en termes d' oscillation : une fonction f est continue en un point si et seulement si son oscillation en ce point est nulle ; en symboles, Un avantage de cette définition est qu'elle théorie descriptive des ensembles pour étudier l'ensemble des discontinuités et des points continus – les points continus sont l'intersection des ensembles où l'oscillation est inférieure à (donc un ensemble ) – et donne une preuve rapide d'une direction de la condition d'intégrabilité de Lebesgue .
L'oscillation est équivalente à la définition par un simple réarrangement et en utilisant une limite ( lim sup , lim inf ) pour définir l'oscillation : si (en un point donné) pour un donné il n'y a pas de qui satisfait la définition, alors l'oscillation est au moins et inversement si pour tout il y a un désiré, l'oscillation est 0. La définition de l'oscillation peut être naturellement généralisée aux applications d'un espace topologique vers un espace métrique .
Définition utilisant les hyperréels
Cauchy a défini la continuité d'une fonction en des termes intuitifs suivants : une variation infinitésimale de la variable indépendante correspond à une variation infinitésimale de la variable dépendante (voir Cours d'analyse , page 34). L'analyse non standard permet de formaliser mathématiquement cette définition. La droite réelle est augmentée par l'ajout de nombres infinis et infinitésimaux pour former les nombres hyperréels . En analyse non standard, la continuité peut être définie comme suit.
(Voir microcontinuité ). Autrement dit, une variation infinitésimale de la variable indépendante entraîne toujours une variation infinitésimale de la variable dépendante, ce qui donne une expression moderne à la définition de la continuité d' Augustin-Louis Cauchy .
Règles de continuité
Le graphique d'une fonction cubique ne présente ni discontinuité ni trou. La fonction est continue.
Démontrer la continuité d'une fonction par application directe de sa définition est généralement une tâche complexe. Heureusement, en pratique, la plupart des fonctions sont construites à partir de fonctions plus simples, et leur continuité peut être déduite immédiatement de leur définition, en appliquant les règles suivantes :
Addition et multiplication : si les fonctions et sont continues sur leurs domaines respectifs et , alors leur somme et leur produit sont continus sur l' intersection , où et sont définis par et .
Réciproque : Si la fonction est continue sur le domaine , alors sa réciproque , définie par est continue sur le domaine , c'est-à-dire le domaine d'où sont retirés les points tels que .
Composition de fonctions : Si les fonctions et sont continues sur leurs domaines respectifs et , alors la composition définie par est continue sur , c'est-à-dire que la partie de qui est transformée par à l'intérieur .
Graphique d'une fonction rationnelle continue . La fonction n'est pas définie pour . Les lignes verticales et horizontales sont des asymptotes .
Ces règles impliquent que toute fonction polynomiale est continue partout et qu'une fonction rationnelle est continue partout où elle est définie, si le numérateur et le dénominateur n'ont pas de zéros communs . Plus généralement, le quotient de deux fonctions continues est continu en dehors des zéros du dénominateur.
Les fonctions sinc et cos
Un exemple de fonction pour laquelle les règles précédentes ne sont pas suffisantes est la sinus cardinal (sinc par et
Exemples de fonctions discontinues
Représentation graphique de la fonction signe. Elle montre que . Ainsi, la fonction signe est discontinue en 0 (voir section 2.1.3 ).
Prenons par exemple . Alors, il n'existe aucun saut brutal dans les valeurs de la fonction. 0," 0,
De même, la fonction signe est discontinue en , mais continue partout ailleurs. Autre exemple : la fonction est continue partout sauf en . 0\\\\ \\;\\;\\ 0 & \ ext{ if }x = 0\\\\ -1 & \ ext{ if }x < 0 \\end{cases} " 0\\\;\;\ 0&{ ext{ si }}x=0\\-1&{ ext{ si }}x<0\end{cases
Représentation graphique de la fonction de Thomae sur l'intervalle (0,1). Le point supérieur au centre indique f(1/2) = 1/2.
Outre les continuités et discontinuités plausibles mentionnées précédemment, il existe également des fonctions au comportement souvent qualifié de pathologique . Par exemple, la fonction de Thomae est continue pour tous les nombres irrationnels et discontinue pour tous les nombres rationnels. De même, la fonction de Dirichlet , fonction indicatrice de l'ensemble des nombres rationnels, n'est continue nulle part.
Propriétés
Un lemme utile
Soit une fonction continue en un point et soit une valeur telle que Alors dans un certain voisinage de
Démonstration : Par définition de la continuité, prenons , alors il existe tel que . Supposons qu'il existe un point dans le voisinage pour lequel , alors nous avons la contradiction 0" 0 0" 0
Si la fonction à valeurs réelles f est continue sur l' intervalle fermé et si k est un nombre compris entre et , alors il existe un nombre tel que
Par exemple, si un enfant grandit de 1 m à 1,5 m entre l'âge de deux et six ans, alors, à un moment donné entre deux et six ans, la taille de l'enfant devait être de 1,25 m.
En conséquence, si f est continue sur et et diffèrent en signe , alors, à un certain point doit être égal à zéro .
Théorème des valeurs extrêmes
Le théorème des valeurs extrêmes stipule que si une fonction f est définie sur un intervalle fermé (ou tout ensemble fermé et borné) et y est continue, alors la fonction atteint son maximum, c'est-à-dire qu'il existe un minimum de f tel que pour tout . Il en va de même pour le minimum de f . Ces affirmations ne sont généralement pas vraies si la fonction est définie sur un intervalle ouvert (ou tout ensemble qui n'est ni fermé ni borné), car, par exemple, la fonction continue définie sur l'intervalle ouvert (0,1) n'atteint pas de maximum, étant non bornée supérieurement.
Relation avec la différentiabilité et l'intégrabilité
est continue partout. Cependant, elle n'est pas dérivable en (mais l'est partout ailleurs). La fonction de Weierstrass est également continue partout mais non dérivable.
La dérivée f′ ( x ) d'une fonction différentiable f ( x ) n'est pas nécessairement continue. Si f′ ( x ) est continue, f ( x ) est dite continûment différentiable . L'ensemble de telles fonctions est noté . Plus généralement, l'ensemble des fonctions (d'un intervalle ouvert (ou sous- ensemble ouvert ) vers les réels) telles que f soit différentiable fois et que sa dérivée -ième soit continue est noté . Voir la classe de différentiabilité . En infographie, des propriétés apparentées (mais non identiques) à sont parfois appelées continuité de position, continuité de tangence et continuité de courbure ; voir la régularité des courbes et des surfaces .
Toute fonction continue est intégrable (par exemple au sens de l' intégrale de Riemann ). La réciproque n'est pas vraie, comme le montre la fonction signe (intégrable mais discontinue) .
limites ponctuelles et uniformes
Une suite de fonctions continues dont la fonction limite (ponctuelle) est discontinue. La convergence n'est pas uniforme.
Les fonctions discontinues peuvent présenter une discontinuité restreinte, donnant lieu aux concepts de continuité directionnelle (ou de continuité à droite et à gauche) et de semi-continuité . En termes simples, une fonction est 0 0" 0
Cette condition est identique à celle des fonctions continues, à ceci près qu'elle ne doit être vérifiée que pour x strictement supérieur à c . Exiger qu'elle soit vérifiée pour tout x tel que x ≥ c donne la notion de fonctions semi-continue inférieurement au point c si, en gros, les discontinuités éventuelles se font toujours vers le bas, et jamais vers le haut. Autrement dit, pour tout x ∈ c , il existe un nombre c tel que, pour tout x ∈ le domaine et ayant la valeur c , f(x) = 0. La condition inverse est la semi-continuité supérieure . 0," 0, 0" 0
fonctions continues entre espaces métriques
espaces métriques . Un espace métrique est un ensemble muni d'une fonction (appelée métrique ) qui peut être vue comme une mesure de la distance entre deux éléments quelconques de X. Formellement, la métrique est une fonction qui satisfait un certain nombre de conditions, notamment l' inégalité triangulaire . Étant donnés deux espaces métriques X et Y et une fonction f , f est continue au point (par rapport aux métriques données) si, pour tout réel positif n, il existe un réel positif n tel que tous les éléments satisfaisant f(x) à l'inégalité x satisfont également f(x) . Comme dans le cas des fonctions réelles ci-dessus, ceci est équivalent à la condition que pour toute suite ( x_n ) dans X de limite f(x) ≤ n, on ait f(x) ≤ n. Cette dernière condition peut être affaiblie comme suit : f est continue au point x si et seulement si, pour toute suite convergente ( x_n) dans X de limite f(x ), la suite ( x_n) ≤ n est une suite de Cauchy et (x_n) appartient au domaine de X. 0," 0, 0" 0
L'ensemble des points en lesquels une fonction entre espaces métriques est continue est un ensemble – cela découle de la définition de la continuité.
Pour une fonction lipschitzienne, il existe un double cône (représenté en blanc) dont le sommet peut être translaté le long du graphe de sorte que le graphe reste toujours entièrement à l'extérieur du cône.
Le concept de continuité des fonctions entre espaces métriques peut être renforcé de diverses manières en limitant la dépendance de f par rapport à c dans la définition ci-dessus. Intuitivement, une fonction f telle que définie ci-dessus est uniformément continue si f ne dépend pas du point c . Plus précisément, il est nécessaire que pour tout nombre réel ε > 0, il existe ε > 0 tel que pour tout ε > 0 avec ε > 0, on ait f(ε) = ε. Ainsi, toute fonction uniformément continue est continue. La réciproque n'est généralement pas vraie, sauf lorsque l'espace de définition X est compact . Les applications uniformément continues peuvent être définies dans le cas plus général des espaces uniformes . 0" 0 0" 0
Une fonction est höldérienne d'exposant α (un nombre réel) s'il existe une constante K telle que, pour tout α ∈ [ 14], l'inégalité suivante soit vérifiée. Toute fonction höldérienne est uniformément continue. Le cas particulier de la continuité lipschitzienne est appelé continuité lipschitzienne . Autrement dit, une fonction est lipschitzienne s'il existe une constante K telle que l'inégalité suivante soit vérifiée pour tout α ∈ La condition de Lipschitz apparaît, par exemple, dans le théorème de Picard-Lindelöf concernant les solutions des équations différentielles ordinaires .
fonctions continues entre espaces topologiques
Une autre notion de continuité, plus abstraite, est la continuité des fonctions entre espaces topologiques, où il n'existe généralement pas de notion formelle de distance, contrairement aux espaces métriques . Un espace topologique est un ensemble X muni d'une topologie sur X , c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de X satisfaisant certaines conditions sur leurs unions et intersections. Ces conditions généralisent les propriétés des boules ouvertes dans les espaces métriques, tout en permettant de définir les voisinages d'un point donné. Les éléments d'une topologie sont appelés ouverts de X (pour la topologie).
Une fonction entre deux espaces topologiques X et Y est continue si, pour tout ouvert, son image réciproque est un ouvert de X. Autrement dit, f est une fonction entre les ensembles X et Y (et non sur les éléments de la topologie ), mais la continuité de f dépend des topologies utilisées sur X et Y.
Cela équivaut à la condition que les préimages des ensembles fermés (qui sont les complémentaires des sous-ensembles ouverts) dans Y soient fermées dans X.
Un exemple extrême : si un ensemble X est muni d'une topologie discrète (où tout sous-ensemble est ouvert), toutes les fonctions de tout espace topologique T sont continues. En revanche, si X est muni d'une topologie indiscrète (où les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X ) et que l'espace T est au moins égal à T₀ , alors les seules fonctions continues sont les fonctions constantes. Réciproquement, toute fonction dont le codomaine est indiscret est continue.
Continuité en un point
Continuité en un point : Pour chaque voisinage V de , il existe un voisinage U de x tel que .
La traduction dans le langage des voisinages de la définition de la continuité conduit à la définition suivante de la continuité en un point :
Une fonction est continue en un point si et seulement si, pour tout voisinage V de dans Y , il existe un voisinage U de tel que .
Cette définition est équivalente à la même affirmation avec les voisinages restreints aux voisinages ouverts et peut être reformulée de plusieurs manières en utilisant les préimages plutôt que les images. L'une de ces reformulations est la suivante. Puisque tout ensemble contenant un voisinage est également un voisinage, et est le plus grand sous-ensemble tel que la définition ci-dessus peut être simplifiée comme suit :
Comme un ensemble ouvert est un ensemble qui est un voisinage de tous ses points, une fonction est continue en tout point de système de voisinages des boules ouvertes centrées en x et f ( x ) est équivalent à considérer les voisinages de x. On retrouve ainsi la définition de la continuité dans le contexte des espaces métriques. Dans les espaces topologiques généraux, il n'existe pas de notion de proximité ou de distance. Cependant, si l'espace d'entrée est un espace de Hausdorff , f est continue en a si et seulement si sa limite lorsque x tend vers a est f ( a ) . En un point isolé, toute fonction est continue.
Étant donné une application, est continue en si et seulement si, chaque fois que est un filtre sur qui converge vers dans , où est exprimé en écrivant , alors nécessairement dans . Si désigne le filtre de voisinage en , alors est continue en si et seulement si dans De plus, cela se produit si et seulement si le préfiltre est une base de filtre pour le filtre de voisinage de dans
Séquences et réseauxpoints d'accumulation . On y parvient souvent en précisant quand un point est la limite d'une suite . Cependant, pour certains espaces trop grands au sens de la dimensionnalité, on précise également quand un point est la limite d'ensembles de points plus généraux, indexés par un ensemble orienté , appelés réseaux . Une fonction est (Heine-)continue si et seulement si elle associe aux limites de suites les limites d'autres suites. Dans le premier cas, la préservation des limites est également suffisante ; dans le second, une fonction peut préserver toutes les limites de suites sans pour autant être continue, et la préservation des réseaux est une condition nécessaire et suffisante.
Plus précisément, une fonction est séquentiellement continue si, pour toute suite convergeant vers une limite, la suite converge vers . Ainsi, les fonctions séquentiellement continues « préservent les limites séquentielles ». Toute fonction continue est séquentiellement continue. Si est un espace à base dénombrable et que le choix dénombrable est vérifié, la réciproque est vraie : toute fonction préservant les limites séquentielles est continue. En particulier, si est un espace métrique, la continuité séquentielle et la continuité sont équivalentes. Pour les espaces non dénombrables, la continuité séquentielle peut être strictement plus faible que la continuité. (Les espaces pour lesquels les deux propriétés sont équivalentes sont appelés espaces séquentiels .) Ceci justifie la considération des réseaux plutôt que des suites dans les espaces topologiques généraux. Les fonctions continues préservent les limites des réseaux, et cette propriété caractérise les fonctions continues.
Par exemple, considérons le cas des fonctions à valeurs réelles d'une seule variable réelle :
séquentiellement continue en ce point.
continuité ). Soit une suite convergeant en (une telle suite existe toujours, par exemple, ) ; puisque est continue en . Pour tout tel que , on peut trouver un entier naturel tel que pour tout , puisque converge en ; en combinant cela avec , on obtient . Supposons au contraire que soit séquentiellement continue et procédons par l'absurde : supposons que ne soit pas continue en . Alors on peut prendre et appeler le point correspondant : de cette manière on a défini une suite telle que par construction , mais , ce qui contredit l'hypothèse de continuité séquentielle. 0\\, \\exists \\delta_{\\varepsilon} > 0 : 0 < |x-x_0| < \\delta_{\\varepsilon} \\implies |f(x)-f(x_0)| < \\varepsilon.\\quad (*)" 0\,\exists \delta _{\varepsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .\quad (*) 0" 0 \ u_{\\varepsilon}," u _{\varepsilon }, 0 \\,\\exists \ u_{\\varepsilon} > 0 : \\forall n > \ u_{\\varepsilon} \\quad |f(x_n)-f(x_0)| < \\varepsilon." 0\,\exists u _{\varepsilon }>0:\forall n> u _{\varepsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\varepsilon . 0 : \\forall \\delta_{\\varepsilon} > 0,\\,\\exists x_{\\delta_{\\varepsilon}}: 0 < |x_{\\delta_{\\varepsilon}}-x_0| < \\delta_\\varepsilon \\implies |f(x_{\\delta_{\\varepsilon}})-f(x_0)| > \\varepsilon" 0:\forall \delta _{\varepsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\varepsilon }}:0<|x_{\delta _{\varepsilon }}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x_{\delta _{\varepsilon }})-f(x_{0})|>\varepsilon 0" 0 0 \\quad |x_n-x_0| < \\frac{1}{n},\\quad |f(x_n)-f(x_0)| > \\varepsilon" 0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\varepsilon
Définitions de l'opérateur de fermeture et de l'opérateur intérieur
En ce qui concerne les opérateurs intérieurs et de fermeture , nous avons les équivalences suivantes :
est continu ;
pour chaque sous-ensemble
pour chaque sous-ensemble
ii ⇒ iii . Fixons et soit . Supposons par l'absurde que , alors nous pouvons trouver un voisinage ouvert de qui est disjoint de . D'après ii , est donc ouvert. Nous avons alors trouvé un voisinage ouvert de qui n'intersecte pas , ce qui contredit le fait que .
iii ⇒ i . Soit fermé. Soit l'image réciproque de . D'après iii , on a . Puisque , on a de plus que . Donc . Par conséquent , est fermé et la démonstration est terminée.
Si l'on déclare qu'un point est simple de la continuité : est continu si et seulement si, pour tout sous-ensemble, transforme les points proches de en points proches de . De même, est continu en un point donné si et seulement si, pour tout sous-ensemble , alors est proche de .
Au lieu de spécifier les espaces topologiques par leurs ouverts , toute topologie sur peut être déterminée par un opérateur de fermeture ou par un opérateur d'intérieur . Plus précisément, l'application qui envoie un sous-ensemble d'un espace topologique sur sa fermeture topologique satisfait les axiomes de fermeture de Kuratowski . Réciproquement, pour tout opérateur de fermeture, il existe une unique topologie sur (en particulier, ) telle que pour tout sous-ensemble , soit égale à la fermeture topologique de dans . Si les ensembles et sont chacun associés à des opérateurs de fermeture (tous deux notés ), alors une application est continue si et seulement si pour tout sous-ensemble .
De même, l'application qui envoie un sous-ensemble de sur son intérieur topologique définit un opérateur d'intérieur . Réciproquement, tout opérateur d'intérieur induit une unique topologie sur (en particulier, ) telle que pour tout sous-ensemble , soit égal à l'intérieur topologique de dans . Si les ensembles et sont chacun associés à des opérateurs d'intérieur (tous deux notés ), alors une application est continue si et seulement si pour tout sous-ensemble
Filtres et préfiltres
filtres . Une fonction est continue si et seulement si, chaque fois qu'un filtre sur converge vers un point , alors le préfiltre converge vers ce point . Cette caractérisation reste vraie si le mot « filtre » est remplacé par « préfiltre ».
Propriétés
Si et sont continues, alors la composition l'est aussi . Si est continue et
La notion d'application ouverte est symétrique à celle d'application continue ; fonction inverse , cette inverse est continue, et si une application continue g admet une fonction inverse, cette inverse est ouverte. Étant donnée une bijection f entre deux espaces topologiques, sa fonction inverse n'est pas nécessairement continue. Une bijection continue admettant une fonction inverse continue est appelée un homéomorphisme .
Si une bijection continue a pour domaine un espace compact et son codomaine est Hausdorff , alors c'est un homéomorphisme.
Définition de topologies via des fonctions continues
Étant donné une fonction f sur X , où X est un espace topologique et S un ensemble (sans topologie spécifiée), la topologie finale sur S est définie en prenant pour ouverts de S les sous-ensembles A de S pour lesquels A est ouvert dans X. Si S possède une topologie, f est continue par rapport à cette topologie si et seulement si la topologie existante est plus grossière que la topologie finale sur S. Ainsi, la topologie finale est la topologie la plus fine sur S qui rend f continue. Si f est surjective , cette topologie est canoniquement identifiée à la topologie quotient par la relation d'équivalence définie par f .
Dually, for a function f from a set S to a topological space X, the initial topology on S is defined by designating as an open set every subset A of S such that for some open subset U of X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is finer than the initial topology on S. Thus, the initial topology is the coarsest topology on S that makes f continuous. If f is injective, this topology is canonically identified with the subspace topology of S, viewed as a subset of X.
A topology on a set S is uniquely determined by the class of all continuous functions into all topological spaces X. Dually, a similar idea can be applied to maps
Related notions
If is a continuous function from some subset of a topological space then a to is any continuous function such that for every , which is a condition that is often written as . In words, it is any continuous function that restricts to on . This notion is used, for example, in the Tietze extension theorem and the Hahn–Banach theorem. If is not continuous, then it could not possibly have a continuous extension. If is a Hausdorff space and is a dense subset of then a continuous extension of to , if one exists, will be unique. The Blumberg theorem states that if is an arbitrary function then there exists a dense subset of such that the restriction is continuous; in other words, every function can be restricted to some dense subset on which it is continuous.
Divers autres domaines mathématiques utilisent le concept de continuité avec des significations différentes mais apparentées. Par exemple, en théorie de l'ordre , une fonction préservant l'ordre entre certains types d' ensembles partiellement ordonnés est continue si, pour tout sous-ensemble orienté de , on a . Ici, désigne le supremum par rapport aux ordres dans et respectivement. Cette notion de continuité est identique à la continuité topologique lorsque les ensembles partiellement ordonnés sont munis de la topologie de Scott .
Un espace de continuité est une généralisation des espaces métriques et des ensembles partiellement ordonnés, qui utilise le concept de quantales , et qui peut être utilisé pour unifier les notions d'espaces métriques et de domaines .
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