Fonction constante

mathématiques , une fonction constante est une fonction dont la valeur (de sortie) est la même pour chaque valeur d'entrée.

Un exemple de fonction constante est

domaine de définition de cette fonction est l'ensemble des nombres réels . Son image est l' ensemble singleton plan passant par le point polynôme à une variable de racine nulle . En revanche, le polynôme fonction paire . Dans le contexte où elle est définie, la dérivée d'une fonction mesure le taux de variation des valeurs de la fonction par rapport aux variations des valeurs d'entrée. Puisqu'une fonction constante ne varie pas, sa dérivée est nulle. On écrit souvent : . La réciproque est également vraie. Autrement dit, si

Autres propriétés

Pour les fonctions entre ensembles préordonnés , les fonctions constantes préservent et inversent l'ordre ; inversement, si $domaine de treillis , alors le domaine et le codomaine sont le même ensemble zéro à gauche du monoïde de transformation complet sur idempotente .$

Toute fonction constante entre espaces topologiques est continue .

Une fonction constante se factorise par l' ensemble à un point , l' objet terminal de la catégorie des ensembles . Cette observation est essentielle à l'axiomatisation de la théorie des ensembles par F. William Lawvere , la Théorie élémentaire de la catégorie des ensembles (ETCS).

Pour tout ensemble non vide

isomorphe à l'ensemble des fonctions constantes de . Pour tout En corollaire, l'ensemble à un point est un générateur dans la catégorie des ensembles. Tout ensemble est canoniquement isomorphe à l'ensemble des fonctions , ou ensemble hom, dans la catégorie des ensembles, où 1 désigne l'ensemble des points uniques. De ce fait, et compte tenu de l'adjonction entre les produits cartésiens et l'ensemble hom dans la catégorie des ensembles (il existe donc un isomorphisme canonique entre les fonctions de deux variables et les fonctions d'une variable à valeurs dans les fonctions d'une autre variable), la catégorie des ensembles est une catégorie monoïdale fermée, dont le produit cartésien d'ensembles est le produit tensoriel et l'ensemble des points uniques l'unité tensorielle. Dans les isomorphismes naturels de couples ordonnés et à l'élément , où est l'unique point de l'ensemble des points uniques.

Une fonction définie sur un ensemble connexe est localement constante si et seulement si elle est constante.

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