Worldlex Wiki oùest le changement infinitésimal total depour un déplacement infinitésimal et est considérée comme maximale lorsqueest dans la direction du gradientLe symbole nabla, écrit sous la forme d'un triangle inversé et prononcé « del », désigne l' opérateur différentiel vectoriel .
Lorsqu'un système de coordonnées est utilisé dans lequel les vecteurs de base ne sont pas des fonctions de la position, le gradient est donné par le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles deà[ C’est-à-dire, , son gradientest défini au pointdans l'espace à n dimensions comme le vecteur
.
Notez que la définition ci-dessus du gradient est définie pour la fonctionseulement siest différentiable àIl peut exister des fonctions pour lesquelles des dérivées partielles existent dans toutes les directions sans pour autant être différentiables. De plus, cette définition du vecteur des dérivées partielles n'est valable que si la base du système de coordonnées est orthonormée . Pour toute autre base, il est nécessaire de prendre en compte le tenseur métrique en ce point.
Par exemple, la fonctionsauf à l'origine où, is not differentiable at the origin as it does not have a well defined tangent plane despite having well defined partial derivatives in every direction at the origin. In this particular example, under rotation of x-y coordinate system, the above formula for gradient fails to transform like a vector (gradient becomes dependent on choice of basis for coordinate system) and also fails to point towards the 'steepest ascent' in some orientations. For differentiable functions where the formula for gradient holds, it can be shown to always transform as a vector under transformation of the basis so as to always point towards the fastest increase.
The gradient is dual to the total derivative: the value of the gradient at a point is a tangent vector – a vector at each point; while the value of the derivative at a point is a cotangent vector – a linear functional on vectors. They are related in that the dot product of the gradient of at a point with another tangent vector equals the directional derivative of at of the function along ; that is, . The gradient admits multiple generalizations to more general functions on manifolds; see 
Le gradient permet également de mesurer la variation d'un champ scalaire dans d'autres directions que celle de la variation maximale, grâce au produit scalaire . Supposons que la pente maximale d'une colline soit de 40 %. Une route montant directement la colline a une pente de 40 %, tandis qu'une route contournant la colline aura une pente plus faible. Par exemple, si la route forme un angle de 60° avec la direction de la montée (lorsque les deux directions sont projetées sur le plan horizontal), la pente le long de cette route sera égale au produit scalaire entre le vecteur gradient et un vecteur unitaire le long de la route. Ce produit scalaire mesure l'alignement du vecteur unitaire avec la pente maximale, , soit 40 % multiplié par le cosinus de 60°, ou encore 20 %.
Plus généralement, si la fonction de hauteur de colline différentiable , alors le gradient de scalé avec un vecteur unitaire donne la pente de la colline dans la direction du vecteur, la dérivée directionnelle de au pointest généralement écrit commeIl peut également être désigné par l'un des moyens suivants :
- : pour souligner la nature vectorielle du résultat.
- et: Écrit avec la notation d'Einstein , où les indices répétés (
Le gradient de la fonction représenté comme un champ vectoriel projeté sur le plan inférieur. ∇² ) désigne l'opérateur différentiel vectoriel La notation grad également couramment utilisée pour représenter le gradient. Le gradient de vecteur
où le membre de droite représente la dérivée directionnelle , et il existe de nombreuses façons de la représenter. Formellement, la dérivée est duale du gradient ; voir la relation avec la dérivée .
Lorsqu'une fonction dépend également d'un paramètre tel que le temps, le gradient se réfère souvent simplement au vecteur de ses dérivées spatiales uniquement (voir Gradient spatial ).
L'amplitude et la direction du vecteur gradient sont indépendantes de la représentation de coordonnées particulière .
Coordonnées cartésiennes
Dans le système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel muni d'une métrique euclidienne , le gradient, s'il existe, est donné par
où standard dans les directions des coordonnées est ou
Dans certaines applications, il est d'usage de représenter le gradient comme un vecteur ligne ou un vecteur colonne de ses composantes dans un système de coordonnées rectangulaires ; cet article suit la convention selon laquelle le gradient est un vecteur colonne, tandis que la dérivée est un vecteur ligne.
coordonnées cylindriques , le gradient est donné par :Coordonnées cylindriques et sphériques
où coordonnées sphériques avec une métrique euclidienne, le gradient est donné par :
où base covariante normalisée ).
Pour le gradient dans d'autres systèmes de coordonnées orthogonales , voir Coordonnées orthogonales (Opérateurs différentiels en trois dimensions) .
Coordonnées générales
On considère des coordonnées générales , notées la notation d'Einstein , le gradient s'écrit alors :
(Notez que son dual est),
oùetse référer respectivement aux bases covariantes et contravariantes locales non normalisées ,est le tenseur métrique inverse , et la convention de sommation d'Einstein implique une sommation sur i et j .
Si les coordonnées sont orthogonales, nous pouvons facilement exprimer le gradient (et la différentielle ) en fonction des bases normalisées, que nous appelons et , en utilisant les facteurs d'échelle (également appelés coefficients de Lamé ) :
(et),
là où l'on ne peut utiliser la notation d'Einstein, car il est impossible d'éviter la répétition de plus de deux indices. Malgré l'utilisation d'indices supérieurs et inférieurs,,, etne sont ni contravariantes ni covariantes.
Cette dernière expression se réduit aux expressions données ci-dessus pour les coordonnées cylindriques et sphériques.
Relation avec le dérivédérivée totale ( différentielle totale ).: ils sont transposés ( duaux ) l'un par rapport à l'autre. En utilisant la convention selon laquelle les vecteurs danssont représentés par des vecteurs colonnes et par des covecteurs (applications linéaires)) sont représentés par des vecteurs lignes , le gradientet la dérivéesont exprimés respectivement sous forme de vecteur colonne et de vecteur ligne, avec les mêmes composantes, mais transposées l'une de l'autre :
Bien que ces deux grandeurs possèdent les mêmes composantes, elles diffèrent par la nature de l'objet mathématique qu'elles représentent : en chaque point, la dérivée est un vecteur cotangent , une forme linéaire (ou covecteur) qui exprime la variation de la sortie (scalaire) pour une variation infinitésimale donnée de l'entrée (vectorielle), tandis qu'en chaque point, le gradient est un vecteur tangent , qui représente une variation infinitésimale de l'entrée (vectorielle). Symboliquement, le gradient est un élément de l'espace tangent en un point., tandis que la dérivée est une application de l'espace tangent aux nombres réels,Les espaces tangents à chaque point depeut être « naturellement » identifié à l'espace vectoriellui-même, et de même l'espace cotangent en chaque point peut être naturellement identifié à l' espace vectoriel dualde covecteurs ; ainsi, la valeur du gradient en un point peut être considérée comme un vecteur dans l'original, et pas seulement en tant que vecteur tangent.
Du point de vue du calcul, étant donné un vecteur tangent, le vecteur peut être multiplié par la dérivée (sous forme de matrices), ce qui équivaut à prendre le produit scalaire avec le gradient :
Dérivée différentielle ou (extérieure)
La meilleure approximation linéaire d'une fonction différentiable à un certain pointdansest une application linéaire deàqui est souvent désigné parouet appelée dérivée différentielle ou dérivée totale deàLa fonction, qui cartographieà, est appelée la différentielle totale ou dérivée extérieure deet est un exemple de 1-forme différentielle .
De même que la dérivée d'une fonction d'une seule variable représente la pente de la tangente au graphique de la fonction, la dérivée directionnelle d'une fonction à plusieurs variables représente la pente de l' hyperplan tangent dans la direction du vecteur.
Le gradient est lié à la différentielle par la formule pour tout, oùLe produit scalaire : calculer le produit scalaire d'un vecteur avec son gradient revient à calculer sa dérivée directionnelle le long du vecteur.
Siest considéré comme l'espace de (dimension) vecteurs colonnes (de nombres réels), alors on peut considérercomme le vecteur ligne avec les composantes de sorte queest donné par multiplication matricielle . En supposant la métrique euclidienne standard sur, le gradient est alors le vecteur colonne correspondant, c'est-à-dire,
Approximation linéaire d'une fonction
La meilleure approximation linéaire d'une fonction peut être exprimée en fonction de son gradient, plutôt que de sa dérivée. Le gradient d'une fonctionde l'espace euclidienàà un moment donnédanscaractérise la meilleure approximation linéaire deàL'approximation est la suivante :
pourprès de, oùest le gradient decalculé à, et le point désigne le produit scalaire surCette équation est équivalente aux deux premiers termes du développement en série de Taylor multivariable deà.
Relation avecdérivé de Fréchet
Soit ouvert de dérivée de où · représente le produit scalaire.
En conséquence, les propriétés habituelles de la dérivée s'appliquent au gradient, bien que le gradient ne soit pas lui-même une dérivée, mais plutôt le dual de la dérivée :
- Linéarité
- Le gradient est linéaire au sens où si
- Règle du produit
- Si
- Règle de la chaîne
- Supposons que courbe paramétrique ; c'est-à-dire qu'une fonction où ∘ est l' opérateur de composition : où matrice jacobienne transposée .
Pour la deuxième forme de la règle de la chaîne, supposons que
Autres propriétés et applications
ensembles de niveaux
isosurface , est l'ensemble de tous les points où une fonction a une valeur donnée.Si orthogonal aux surfaces de niveau de hypersurface plongée dans une variété riemannienne peut être extraite par une équation de la forme hypersurface algébrique affine peut être définie par une équation champ vectoriel conservatif : son intégrale curviligne le long d'un chemin quelconque ne dépend que des extrémités de ce chemin et peut être calculée à l'aide du théorème du gradient (théorème fondamental du calcul intégral). Réciproquement, un champ vectoriel conservatif (continu) est toujours le gradient d'une fonction.
La pente est la direction de la plus forte ascension.
Le gradient d'une fonctionau point dérivée directionnelle :
LaisserSoit un vecteur unitaire arbitraire. La dérivée directionnelle est définie comme
on obtient, en substituant la fonctionavec sa série Taylor ,
oùdésigne les termes d'ordre supérieur dans.
Division par, et la prise de la limite donne un terme qui est borné supérieurement par l' inégalité de Cauchy-Schwarz
Choisirmaximise la dérivée directionnelle et est égale à la limite supérieure
Généralisations
Jacobien
matrice jacobienne est la généralisation du gradient pour les fonctions vectorielles de plusieurs variables et les applications différentiables entre espaces euclidiens ou, plus généralement, variétés . Une autre généralisation pour une fonction entre espaces de Banach est la dérivée de Fréchet .Soit ou simplementL' entrée Explicitement
Gradient d'un champ vectoriel
dérivée totale d'un champ vectoriel est une application linéaire des vecteurs vers les vecteurs, il s'agit d'une quantité tensorielle .En coordonnées rectangulaires, le gradient d'un champ vectoriel
(où la notation de sommation d'Einstein est utilisée et le produit tensoriel des vecteurs tenseur dyadique de type (2,0)). Globalement, cette expression est égale à la transposée de la matrice jacobienne :
En coordonnées curvilignes, ou plus généralement sur une variété courbe , le gradient fait intervenir des symboles de Christoffel :
où tenseur métrique inverse et les connexion de Levi-Civita et le tenseur métrique :
où fonction lisse c'est, où produit scalaire des vecteurs tangents en repère où
En généralisant le cas Plus précisément, le gradient isomorphisme musical. (dit « pointu ») défini par la métrique
Plus d articles de Worldlex Wiki
Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais.
Explorer l index
Dérivée différentielle ou (extérieure)
La meilleure approximation linéaire d'une fonction différentiable à un certain pointdansest une application linéaire deàqui est souvent désigné parouet appelée dérivée différentielle ou dérivée totale deàLa fonction, qui cartographieà, est appelée la différentielle totale ou dérivée extérieure deet est un exemple de 1-forme différentielle .
De même que la dérivée d'une fonction d'une seule variable représente la pente de la tangente au graphique de la fonction, la dérivée directionnelle d'une fonction à plusieurs variables représente la pente de l' hyperplan tangent dans la direction du vecteur.
Le gradient est lié à la différentielle par la formule pour tout, oùLe produit scalaire : calculer le produit scalaire d'un vecteur avec son gradient revient à calculer sa dérivée directionnelle le long du vecteur.
Siest considéré comme l'espace de (dimension) vecteurs colonnes (de nombres réels), alors on peut considérercomme le vecteur ligne avec les composantes de sorte queest donné par multiplication matricielle . En supposant la métrique euclidienne standard sur, le gradient est alors le vecteur colonne correspondant, c'est-à-dire,
Approximation linéaire d'une fonction
La meilleure approximation linéaire d'une fonction peut être exprimée en fonction de son gradient, plutôt que de sa dérivée. Le gradient d'une fonctionde l'espace euclidienàà un moment donnédanscaractérise la meilleure approximation linéaire deàL'approximation est la suivante :
pourprès de, oùest le gradient decalculé à, et le point désigne le produit scalaire surCette équation est équivalente aux deux premiers termes du développement en série de Taylor multivariable deà.
Relation avecdérivé de Fréchet
Soit ouvert de dérivée de où · représente le produit scalaire.
En conséquence, les propriétés habituelles de la dérivée s'appliquent au gradient, bien que le gradient ne soit pas lui-même une dérivée, mais plutôt le dual de la dérivée :
- Linéarité
- Le gradient est linéaire au sens où si
- Règle du produit
- Si
- Règle de la chaîne
- Supposons que courbe paramétrique ; c'est-à-dire qu'une fonction où ∘ est l' opérateur de composition : où matrice jacobienne transposée .
Pour la deuxième forme de la règle de la chaîne, supposons que
Autres propriétés et applications
ensembles de niveaux
Si orthogonal aux surfaces de niveau de hypersurface plongée dans une variété riemannienne peut être extraite par une équation de la forme hypersurface algébrique affine peut être définie par une équation champ vectoriel conservatif : son intégrale curviligne le long d'un chemin quelconque ne dépend que des extrémités de ce chemin et peut être calculée à l'aide du théorème du gradient (théorème fondamental du calcul intégral). Réciproquement, un champ vectoriel conservatif (continu) est toujours le gradient d'une fonction.
La pente est la direction de la plus forte ascension.
Le gradient d'une fonctionau point dérivée directionnelle :
LaisserSoit un vecteur unitaire arbitraire. La dérivée directionnelle est définie comme
on obtient, en substituant la fonctionavec sa série Taylor ,
oùdésigne les termes d'ordre supérieur dans.
Division par, et la prise de la limite donne un terme qui est borné supérieurement par l' inégalité de Cauchy-Schwarz
Choisirmaximise la dérivée directionnelle et est égale à la limite supérieure
Généralisations
Jacobien
Soit ou simplementL' entrée Explicitement
Gradient d'un champ vectoriel
En coordonnées rectangulaires, le gradient d'un champ vectoriel
(où la notation de sommation d'Einstein est utilisée et le produit tensoriel des vecteurs tenseur dyadique de type (2,0)). Globalement, cette expression est égale à la transposée de la matrice jacobienne :
En coordonnées curvilignes, ou plus généralement sur une variété courbe , le gradient fait intervenir des symboles de Christoffel :
où tenseur métrique inverse et les connexion de Levi-Civita et le tenseur métrique :
où fonction lisse c'est, où produit scalaire des vecteurs tangents en repère où
En généralisant le cas Plus précisément, le gradient isomorphisme musical. (dit « pointu ») défini par la métrique
Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais.Plus d articles de Worldlex Wiki