Worldlex Wiki fonction mathématique d'une ou plusieurs variables dont l'image est un ensemble de vecteurs multidimensionnels ou de dimension infinie . L'entrée d'une fonction vectorielle peut être un scalaire ou un vecteur (c'est-à-dire que la dimension du domaine peut être égale ou supérieure à 1) ; la dimension du domaine de la fonction est indépendante de la dimension de son image.
Cas linéaire
Dans le cas linéaire , la fonction peut être exprimée sous forme de matrices : où paramètres translation près ) est étroitement lié à ce cas, où la fonction prend la forme où, de plus
Dérivée d'une fonction vectorielle tridimensionnelle
champ vectoriel
En calcul vectoriel et en physique , un champ vectoriel est l'association d'un vecteur à chaque point d'un espace , le plus souvent l'espace euclidien . Un champ vectoriel dans un plan peut être visualisé comme un ensemble de flèches, chacune dotée d'une magnitude et d'une direction données, et reliée à un point du plan. Les champs vectoriels sont souvent caractérisés par une unité de mesure (par exemple, mètres ou kilomètres par heure), formant ainsi une grandeur physique vectorielle . Ils peuvent servir à modéliser, par exemple, la vitesse et la direction d'un fluide en mouvement dans l'espace tridimensionnel , comme le vent , ou encore l'intensité et la direction d'une force , telle que la force magnétique ou gravitationnelle , lorsqu'elle varie d'un point à un autre.
Les éléments du calcul différentiel et intégral s'étendent naturellement aux champs vectoriels. Lorsqu'un champ vectoriel représente une force , son intégrale curviligne représente le travail effectué par cette force se déplaçant le long d'une trajectoire. Dans cette perspective, la conservation de l'énergie apparaît comme un cas particulier du théorème fondamental du calcul . On peut utilement concevoir les champs vectoriels comme représentant la vitesse d'un écoulement dans l'espace, et cette intuition physique conduit à des notions telles que la divergence (qui représente la variation du volume d'un écoulement) et le rotationnel (qui représente la rotation d'un écoulement).
Un champ vectoriel est un cas particulier de fonction vectorielle , dont la dimension du domaine est indépendante de celle de son image ; par exemple, le vecteur position d'une courbe spatiale n'est défini que pour un sous-ensemble plus petit de l'espace environnant. De même, pour n coordonnées , un champ vectoriel sur un domaine de l'espace euclidien à n dimensions peut être représenté par une fonction vectorielle qui associe à chaque point du domaine un n -uplet de nombres réels. Cette représentation d'un champ vectoriel dépend du système de coordonnées, et il existe une loi de transformation bien définie ( covariance et contravariance des vecteurs ) lors du passage d'un système de coordonnées à l'autre.
Les champs de vecteurs sont souvent étudiés sur des sous-ensembles ouverts de l'espace euclidien, mais ils ont également un sens sur d'autres sous-ensembles tels que les surfaces , où ils associent à chaque point une flèche tangente à la surface (un vecteur tangent ). Plus généralement, les champs de vecteurs sont définis sur des variétés différentiables , qui sont des espaces semblables à l'espace euclidien à petite échelle, mais dont la structure peut être plus complexe à grande échelle. Dans ce cadre, un champ de vecteurs définit un vecteur tangent en chaque point de la variété (c'est-à-dire une section du fibré tangent à la variété). Les champs de vecteurs sont un type particulier de champs tensoriels .