Worldlex Wiki En calcul différentiel et en analyse réelle , la continuité absolue est une propriété de régularité des fonctions plus forte que la continuité et la continuité uniforme . La notion de continuité absolue permet de généraliser la relation entre les deux opérations fondamentales du calcul différentiel et intégral : la dérivation et l’intégration . Cette relation est généralement caractérisée (par le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral ) dans le cadre de l’intégration de Riemann , mais grâce à la continuité absolue, elle peut être formulée en termes d’ intégration de Lebesgue . Pour les fonctions à valeurs réelles sur la droite réelle , deux notions interdépendantes apparaissent : la continuité absolue des fonctions et la continuité absolue des mesures . Ces deux notions sont généralisées dans des directions différentes. La dérivée usuelle d’une fonction est liée à la dérivée de Radon-Nikodym , ou densité , d’une mesure. On a les chaînes d’inclusions suivantes pour les fonctions définies sur un sous-ensemble compact de la droite réelle :
- absolument continue ⊆ uniformément continue continue
et, pour un intervalle compact,
- continûment différentiable ⊆ Lipschitz continu ⊆ absolument continu ⊆ variation bornée ⊆ différentiable presque partout .
Définition
Soit un intervalle de la droite réelle . Une fonction est absolument continue sur si, pour tout nombre positif , il existe un nombre positif tel que chaque fois qu'une suite finie de sous-intervalles deux à deux disjoints de avec satisfait
alors
L'ensemble de toutes les fonctions absolument continues sur est noté .
Définitions équivalentes
Les conditions suivantes sur une fonction à valeurs réelles f sur un intervalle compact [ a , b ] sont équivalentes :
- f est absolument continue ;
- f a une dérivée f presque partout , la dérivée est Lebesgue intégrable, et pour tout x sur [ a , b ];
- il existe une fonction intégrable au sens de Lebesgue g sur [ a , b ] telle que pour tout x dans [ a , b ].
Si ces conditions équivalentes sont satisfaites, alors nécessairement toute fonction g comme dans la condition 3 satisfait g = f Lebesgue .
Pour une définition équivalente en termes de mesures, voir la section Relation entre les deux notions de continuité absolue .
Propriétés
- La somme et la différence de deux fonctions absolument continues sont également absolument continues. Si les deux fonctions sont définies sur un intervalle fermé (borné) , alors leur produit est aussi absolument continu. Sur les intervalles non bornés, cette propriété peut ne pas être vérifiée : par exemple, sur , la fonction est absolument continue, mais n’est même pas uniformément continue.
- Si une fonction absolument continue f est définie sur un intervalle fermé (borné) et ne s'annule nulle part, alors 1/f est absolument continue.
- Toute fonction absolument continue (sur un intervalle compact) est uniformément continue et, par conséquent, continue . Toute fonction (globalement) lipschitzienne est absolument continue.
- Si f : [ a , b ] → R est absolument continue, alors elle est faiblement différentiable ; réciproquement, si f : [ a , b ] → R est faiblement différentiable, alors elle coïncide presque partout avec une fonction absolument continue ; ceci fournit une caractérisation des espaces de Sobolev sur des intervalles de la droite réelle.
- Si f : [ a , b ] → R est absolument continue, alors elle est à variation bornée sur [ a , b ].
- Si f : [ a , b ] → R est absolument continue, alors elle peut être écrite comme la différence de deux fonctions monotones non décroissantes absolument continues sur [ a , b ].
- Si f : [ a , b ] → R est absolument continue, alors elle possède la propriété Luzin N (c'est-à-dire que pour tout tel que , on a , où désigne la mesure de Lebesgue sur R ).
- Une fonction f : I → R est absolument continue si et seulement si elle est continue, à variation bornée et possède la propriété N de Luzin . Cet énoncé est également connu sous le nom de théorème de Banach-Zareckiǐ.
- Si f : I → R est absolument continue et g : R → R est globalement lipschitzienne , alors la composition g → f est absolument continue. Réciproquement, pour toute fonction g qui n'est pas globalement lipschitzienne, il existe une fonction absolument continue f telle que g → f ne soit pas absolument continue.
Exemples
La fonction suivante est uniformément continue mais pas absolument continue :
- La fonction de Cantor sur [0, 1] (elle est à variation bornée mais pas absolument continue) ;
La fonction suivante est absolument continue mais pas α-Hölder continue :
- La fonction f ( x ) = xβ sur [ 0, c ], pour tout α-Hölder continue , mais non lipschitzienne :
- La fonction f ( x ) = espace métrique et soit I un intervalle de la droite réelle ℝ . Une fonction f : I → X est absolument continue sur I si, pour tout entier positif d , il existe un entier positif d tel que, pour toute suite finie de sous-intervalles deux à deux disjoints [x <sub>k</sub> , y<sub> k</sub> ] de I , f( x <sub>k</sub> , y<sub> k</sub> ) satisfait :
Propriétés de ces généralisations
- Toute fonction absolument continue (sur un intervalle compact) est uniformément continue et, par conséquent, continue . Toute fonction lipschitzienne est absolument continue.
- Si f : [ a , b ] → X est absolument continue, alors elle est à variation bornée sur [ a , b ].
- Pour f ∈ AC p ( I ; X ), la dérivée métrique de f existe pour λ - presque tous les temps dans I , et la dérivée métrique est le plus petit m ∈ L p ( I ; R ) tel que :
Continuité absolue des mesures
Définition
Une mesure sur les sous-ensembles boréliens de la droite réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue si, pour tout ensemble -mesurable, on a . De manière équivalente, on a . Cette condition s'écrit . On dit que est dominée par
0 
0 Dans la plupart des applications, si l'on dit simplement qu'une mesure sur la droite réelle est absolument continue — sans préciser par rapport à quelle autre mesure elle est absolument continue —, on entend alors une continuité absolue par rapport à la mesure de Lebesgue.
Le même principe s'applique aux mesures sur les sous-ensembles boréliens de
Définitions équivalentes
Les conditions suivantes sur une mesure finie sur les sous-ensembles boréliens de la droite réelle sont équivalentes :
- Pour tout nombre positif, il existe un nombre positif tel que pour tous les ensembles boréliens de mesure de Lebesgue inférieure à
- Il existe une fonction Lebesgue-intégrable sur la droite réelle telle que : pour tous les sous-ensembles boréliens de la droite réelle.
0 Pour une définition équivalente en termes de fonctions, voir la section Relation entre les deux notions de continuité absolue .
Toute autre fonction satisfaisant (3) est égale à presque partout. Une telle fonction est appelée dérivée de Radon-Nikodym , ou densité, de la mesure absolument continue
L'équivalence entre (1), (2) et (3) est également valable pour tous les
Ainsi, les mesures absolument continues sur sont précisément celles qui ont des densités ; comme cas particulier, les mesures de probabilité absolument continues sont précisément celles qui ont des fonctions de densité de probabilité .
Généralisations
Si et sont deux mesures sur le même espace mesurable , on dit que
Quand alors on dit que
La continuité absolue des mesures est réflexive et transitive , mais n'est pas antisymétrique ; il s'agit donc d'un préordre et non d'un ordre partiel . En revanche, si et , les mesures et sont dites équivalentes . Ainsi, la continuité absolue induit un ordre partiel sur de telles classes d'équivalence .
Si est une mesure signée ou complexe , on dit que est absolument continue par rapport à si sa variation satisfait de manière équivalente, si tout ensemble pour lequel est - nul .
Le théorème de Radon-Nikodym stipule que si est absolument continue par rapport à et que les deux mesures sont σ-finies , alors possède une densité, ou « dérivée de Radon-Nikodym », par rapport à , ce qui signifie qu'il existe une fonction -mesurable prenant des valeurs dans , notée , telle que pour tout ensemble -mesurable, nous avons :
Mesures singulières
D'après le théorème de décomposition de Lebesgue , toute mesure σ-finie peut être décomposée en la somme d'une mesure absolument continue et d'une mesure singulière par rapport à une autre mesure σ-finie. Voir « mesure singulière » pour des exemples de mesures qui ne sont pas absolument continues.
Relation entre les deux notions de continuité absolue
Une mesure finie μ sur les sous-ensembles boréliens de la droite réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction ponctuelle :
est une fonction réelle absolument continue. Plus généralement, une fonction est localement (c'est-à-dire sur tout intervalle borné) absolument continue si et seulement si sa dérivée distributionnelle est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.
Si la continuité absolue est respectée, alors la dérivée de Radon-Nikodym de est presque partout égale à la dérivée de F. [
Plus généralement, la mesure μ est supposée localement finie (plutôt que finie) et F ( x ) est définie comme μ ((0, x ]) pour 0"}},"i":0}}] x > 0 , 0 pour mesure de Lebesgue-Stieltjes engendrée par F. ] La relation entre les deux notions de continuité absolue reste valable.