Analyse réelle

Le concept de limite sous-tend de nombreux concepts du calcul différentiel et intégral , comme la dérivée . Il est donc fondamental en analyse réelle, qui fournit la justification rigoureuse du calcul. Les limites décrivent le comportement d'une suite, d'une fonction ou d'une famille de fonctions lors d'un passage à la limite, par exemple lorsque l'indice tend vers l'infini, ou lorsqu'un point devient très grand ou s'approche d'un autre point. Le formalisme des limites définit la continuité, la différentiation, l'intégration, les séries infinies, ainsi que divers types d'approximations et de comportements asymptotiques.

Un problème récurrent en analyse réelle n'est pas seulement de déterminer l'existence d'une limite, mais aussi la qualité de l'approximation d'un objet par un autre. Une suite convergente approche sa limite, ou une fonction différentiable est approchée par une fonction linéaire issue de sa dérivée. L'analyse réelle fournit non seulement des outils pour justifier l'existence de ces limites et leur calcul, mais aussi des estimations quantitatives de la qualité de l'approximation. Le reste de Taylor en est un exemple : il s'agit d'une constante effective et calculable qui détermine la qualité de l'approximation linéaire (ou du polynôme de Taylor d'ordre supérieur ) d'une fonction sur un intervalle.

En analyse réelle, on distingue différents modes de convergence pour les suites de fonctions. Une suite de fonctions converge ponctuellement si elle converge en tout point, mais, en première approximation, la vitesse de convergence peut varier d'un point à l'autre. Elle converge uniformément si elle converge en tous points à une vitesse comparable. La convergence uniforme peut être comprise intuitivement à l'aide des graphes des fonctions de la suite : elle signifie que, pour toute bande d'erreur étroite autour de la fonction limite, toutes les fonctions de la suite, à l'exception d'un nombre fini d'entre elles, restent à l'intérieur de cette bande. La convergence ponctuelle signifie que cela est vrai pour une bande d'erreur autour de chaque point, mais l'ensemble fini des fonctions à exclure varie d'un point à l'autre.

Pour les suites de fonctions, la convergence ponctuelle ne préserve souvent pas les opérations sur la limite. Par exemple, la limite ponctuelle d'une suite de fonctions continues n'est généralement pas continue, et l'intégrale des fonctions d'une suite ne se réduit pas à l'intégrale de la limite. En revanche, la limite uniforme des fonctions continues est continue, et l'on peut intervertir les limites intégrales et uniformes sur des domaines appropriés. La convergence uniforme est donc importante pour de nombreuses applications de l'analyse réelle. Des questions telles que « quand la dérivation sous l'intégrale est-elle autorisée ? » ou « quand peut-on intégrer une somme infinie terme à terme ? » sont des exemples typiques où la convergence uniforme apporte une réponse simple.

La différentiation mesure le taux de variation local d'une fonction. En une variable, la dérivée donne la pente de la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage d'un point. Ce point de vue s'étend à plusieurs variables, où la différentiabilité s'exprime en termes d'approximation par une application linéaire.

Outre la démonstration rigoureuse des propriétés fondamentales de la dérivée issues du calcul différentiel, telles que la règle de la chaîne , l'analyse réelle établit également les principaux théorèmes relatifs à la dérivée, comme le théorème des accroissements finis et certaines de ses généralisations, à l'instar du théorème de Cauchy . En résumé, le théorème des accroissements finis relie la dérivée d'une fonction à son taux de variation moyen sur des intervalles. Ce théorème est important car il permet d'estimer efficacement l'erreur inhérente à certaines approximations ou opérations de moyennage.

L'analyse réelle étudie non seulement l'existence des dérivées, mais aussi les degrés de régularité. Une fonction peut être continue mais non dérivable, dérivable mais non continûment dérivable, ou lisse (admettant des dérivées de tous ordres) mais non analytique (égale à son développement en série de Taylor). Un théorème parfois démontré au niveau élémentaire est le théorème de Darboux , qui établit que la dérivée d'une fonction dérivable satisfait la propriété des valeurs intermédiaires ; une propriété plus faible que la continuité, mais qui reste restreinte à une classe de fonctions. En analyse avancée, les questions de régularité deviennent centrales. La dérivée classique s'avère très peu pratique dans de nombreuses applications, notamment pour les équations différentielles où de nombreux problèmes admettent une formulation variationnelle plus naturelle , faisant appel à l'intégration plutôt qu'à la dérivation. Les fonctions à considérer ne sont souvent pas dérivables ; on s'intéresse donc aux généralisations de la dérivabilité, voire à la définition même d'une fonction. La régularité soulève alors des questions sur la validité des dérivées généralisées et sur la régularité des solutions des équations. Il s'agit d'un thème récurrent en théorie de la mesure, en équations aux dérivées partielles, en espaces de Sobolev et en calcul des variations.

L'intégration en analyse confère une signification rigoureuse aux notions de moyenne, d'accumulation et d'aire. L' intégrale de Riemann formalise l'intégrale à l'aide d'approximations par des sommes finies sur des intervalles. Elle est solidement établie dans les cours d'analyse réelle fondamentale. Le théorème fondamental du calcul intégral , qui relie l'intégration et la différentiation, est démontré pour l'intégrale de Riemann. Ce théorème sous-tend de nombreux calculs exacts en calcul intégral élémentaire en ramenant les intégrales définies à des primitives. Le théorème des accroissements finis stipule que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle, défini par une intégrale de Riemann, est égale à la valeur de la fonction en un point quelconque de cet intervalle. Ce théorème est important pour obtenir des estimations analytiques dans les applications analytiques ; par exemple, une forme du reste de Taylor l'utilise.

L' intégrale de Lebesgue est introduite en analyse réelle avancée. Au lieu d'approximer l'intégrale par des sommes finies à l'aide de partitions du domaine, l'intégrale de Lebesgue partitionne l'image. Bien que l'idée soit similaire à celle de l'intégrale de Riemann, elle s'en distingue par la nécessité de formuler l'aire de tranches horizontales qui ne sont pas des rectangles connexes, mais peuvent être réparties sur des ensembles complexes du domaine. Ainsi, la formulation de l'intégrale de Lebesgue conduit naturellement à la théorie de la mesure , dont la question fondamentale est de savoir comment mesurer des sous-ensembles de la droite réelle – c'est-à-dire, leur attribuer une notion de longueur – si ces sous-ensembles sont autorisés à être très complexes.

L'une des raisons du succès de l'intégrale de Lebesgue en analyse est sa meilleure compatibilité avec les processus de limite. Par exemple, sous des hypothèses relativement peu restrictives, la limite des intégrales de Lebesgue des éléments d'une suite de fonctions convergeant ponctuellement est égale à l'intégrale de la limite ponctuelle ( théorème de convergence dominée ). De plus, l'intégrale de Lebesgue admet une classe de fonctions intégrables plus large. L'intégrale de Riemann, bien que peu utilisée en analyse mathématique, conserve néanmoins son utilité : la plupart des intégrations numériques reposent sur l'approche de Riemann plutôt que sur celle de Lebesgue.

La théorie de la mesure considère la longueur, l'aire, le volume, la masse et la probabilité comme des cas particuliers d'un concept général de mesure. Cette théorie permet d'identifier des fonctions égales sauf sur un ensemble de mesure nulle , et l'on affirme que de telles fonctions sont égales presque partout . En théorie des probabilités, la notion pertinente est celle de quasi-certitude . Un exemple est le lancer d'une pièce équilibrée une infinité de fois. Il est possible que la pièce tombe sur pile à chaque fois, mais cet événement a une probabilité nulle : il peut être essentiellement exclu de tout raisonnement probabiliste.

Le théorème de convergence monotone , le lemme de Fatou , le théorème de convergence dominée et le théorème de Fubini sont des théorèmes fondamentaux concernant l'intégrale de Lebesgue. L'analyse réelle, du point de vue de la théorie de la mesure, fournit également le langage des probabilités et de nombreux espaces fonctionnels. En théorie des probabilités , les espérances sont des intégrales par rapport à des mesures de probabilité . Dans la théorie des espaces L ^{^p} , les fonctions sont étudiées selon leurs propriétés d'intégrabilité et sont identifiées lorsqu'elles coïncident presque partout.

De nombreux théorèmes d'analyse réelle peuvent être formulés dans les espaces métriques . Les espaces métriques généralisent la droite réelle et les espaces euclidiens , en ce sens qu'ils sont munis d'une fonction de distance qui satisfait certaines règles naturelles. Les théorèmes fondamentaux sur les limites et la continuité restent valables, pour l'essentiel, dans ce cadre plus général, et les exposés élémentaires du sujet décrivent donc souvent cette généralisation. Les généralisations aux espaces métriques sont importantes dans de nombreux domaines des mathématiques. Une surface dans l'espace euclidien est un exemple d'espace métrique. Les propriétés analytiques de telles métriques sont similaires à celles de l'espace euclidien, et la géométrie différentielle étudie les espaces métriques comme les surfaces et leurs généralisations aux dimensions supérieures. D'autres espaces métriques en mathématiques sont très différents des espaces euclidiens. En théorie des nombres , par exemple, les espaces métriques servent à encoder des informations arithmétiques et des invariants, dont un exemple fondamental est celui des nombres p-adiques .

En analyse réelle, la plupart des exemples d'espaces métriques autres que les espaces euclidiens sont des espaces de fonctions , c'est-à-dire des espaces de fonctions définis par une certaine propriété. Dans les exemples fondamentaux considérés en analyse réelle, ces espaces de fonctions sont munis d'une métrique issue d'une norme . L'espace des fonctions continues sur l' intervalle unité , noté , en est un exemple . Étant donné une fonction à valeurs réelles sur l'intervalle unité, la valeur absolue maximale de cette fonction définit la norme. La métrique est la différence absolue maximale entre deux fonctions. La notion de convergence définie par cette métrique est celle de convergence uniforme, de sorte que le langage de la convergence uniforme des fonctions continues peut être regroupé dans un seul espace métrique. Il s'agit d'un exemple d' espace de Banach : la métrique définie par cette norme est complète , ce qui découle d'un théorème selon lequel la limite uniforme des fonctions continues est continue.

Un autre exemple d'espaces métriques apparaissant en analyse réelle, où la métrique est définie par une norme, est l'espace des fonctions Lebesgue-intégrables. La fonction de distance est alors l'intégrale de la valeur absolue de la différence de deux fonctions. (Ici, deux fonctions sont considérées comme identiques si elles diffèrent sur un ensemble de mesure nulle.) Ainsi, sur un domaine fini, la distance entre deux fonctions est essentiellement la distance moyenne entre leurs valeurs. Les espaces de fonctions mesurables de carré intégrable forment un espace métrique, où la norme est induite par un produit scalaire . Ce produit scalaire est complet : les fonctions de carré intégrable forment un espace de Hilbert . Les espaces L p  en sont des généralisations. Les métriques obtenues à partir des espaces L p sont complètes : ce sont des espaces de Banach, munis de l'identification usuelle des fonctions mesurables égales presque partout.

Ces espaces fonctionnels, bien qu'étant tous des espaces vectoriels de dimension infinie et partageant des théorèmes de convergence similaires puisqu'ils sont tous des espaces métriques, diffèrent globalement en tant qu'espaces, et localement quant à la structure fine que les fonctions doivent posséder pour y appartenir. L'analyse fonctionnelle s'intéresse à ces espaces et à leurs généralisations, ainsi qu'à leurs propriétés globales et de convergence. L'analyse harmonique s'intéresse aux propriétés fines nécessaires à l'appartenance à ces espaces et vise à estimer le comportement des opérateurs déterminés par cette structure fine : une question typique consiste ici à caractériser, par exemple, quand la dérivée d'une fonction appartient à un certain espace L ^{^p .}

De nombreuses applications des espaces métriques à l'analyse reposent sur un espace métrique doté de propriétés supplémentaires garantissant l'existence et l'appartenance de certaines limites à cet espace. L'une de ces propriétés est la complétude de l'espace métrique , et une autre est sa compacité .

La complétude d'un espace est formulée en termes de suites de Cauchy . Une suite dans un espace converge vers une limite si tous ses termes, sauf un nombre fini, sont arbitrairement proches de cette limite. Or, si une suite converge, alors tous ses termes, sauf un nombre fini, sont proches de la limite et, par conséquent, sont nécessairement proches les uns des autres. Cette propriété caractérise les suites de Cauchy dans un espace métrique. Plus précisément, une suite est de Cauchy si, pour toute tolérance d'erreur, tous ses termes, sauf un nombre fini, sont inférieurs à cette tolérance d'erreur. Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy converge. L'ensemble des nombres réels, par exemple, est complet en ce sens.

Un théorème fondamental pour les espaces métriques complets est le théorème du point fixe . Ce théorème stipule que si une transformation d'un espace complet réduit les distances entre points d'un facteur au moins λ , de sorte que λ ≤ λ , alors la transformation admet un unique point fixe λ , c'est-à-dire un point de l'espace λ tel que λ ≤ λ . Ce théorème est particulièrement important en équations différentielles , car il fournit le théorème d'existence et d'unicité des solutions des équations différentielles ordinaires – le théorème d'existence de Picard – ainsi qu'une méthode de convergence vers ce théorème – l'itération de Picard . De plus, il fournit des estimations de la vitesse de convergence, à condition de pouvoir déterminer la constante de contractivité .

Une autre notion importante dans les espaces métriques est la compacité. Un espace métrique est compact si toute suite admet une sous-suite convergente. Les espaces métriques compacts sont également complets, mais la compacité est utile pour garantir l'existence de limites sans avoir à étudier une condition de Cauchy distincte. En analyse réelle fondamentale, le théorème de Bolzano-Weierstrass montre qu'un sous-ensemble de l'espace euclidien est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

Une notion plus générale de compacité s'applique aux espaces topologiques généraux qui ne sont pas nécessairement des espaces métriques. Elle repose sur l'idée que les espaces compacts sont des ensembles finis généralisés. Les ensembles finis ont la propriété que, s'ils sont recouverts par une famille de sous-ensembles (de sorte que chaque élément de l'ensemble appartienne à au moins un élément du recouvrement), il est possible de recouvrir l'ensemble fini par une sous-famille finie. Par exemple, on peut choisir, pour chaque élément de l'ensemble fini, un élément de la famille de recouvrement qui le contient. Un espace métrique est compact au sens de cette compacité si tout recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini. Un exemple d'ensemble compact au sens de cette compacité est un intervalle fermé : s'il est recouvert par des intervalles ouverts, il est possible de le recouvrir par un nombre fini de ces intervalles. Ceci se démontre par une application directe de la propriété de majoration minimale. On peut montrer qu'un ensemble compact sur la droite réelle est borné en considérant un recouvrement ouvert par des intervalles et en utilisant un sous-recouvrement fini pour en extraire une majoration. On peut également montrer qu'il est fermé par un raisonnement par l'absurde. Un autre résultat fondamental de l'analyse réelle est le théorème de Heine-Borel , qui énonce la réciproque de celui-ci : un sous-ensemble de la droite réelle (ou de l'espace euclidien, plus généralement) est compact au sens de l'analyse réelle si et seulement s'il est fermé et borné.

La compacité joue un rôle important par son interaction avec la continuité. Le théorème des valeurs extrêmes en calcul différentiel et intégral, par exemple, stipule qu'une fonction continue sur un intervalle fermé admet un maximum et un minimum. En analyse réelle, ce résultat se généralise : toute fonction continue à valeurs réelles sur un espace métrique compact admet un maximum et un minimum. Ce résultat est important en théorie de l'optimisation car il garantit l'existence de maxima et de minima, souvent dans des situations très générales où la compacité est présente mais où l'on ne travaille plus sur des sous-ensembles de la droite réelle (ou d'un autre espace euclidien).

Un autre théorème d'analyse réelle, relatif à la compacité et aux fonctions continues, est le théorème d'Arzelà-Ascoli . Il affirme que si une suite de fonctions continues sur un espace métrique compact est uniformément bornée (toutes les fonctions partagent une même borne supérieure et inférieure) et équicontinue (toutes les fonctions partagent un même module de continuité), alors cette suite admet une sous-suite uniformément convergente. Ce théorème trouve des applications aux équations différentielles, car il permet de garantir l'existence de solutions pour des équations différentielles lorsque les critères plus stricts du théorème d'existence de Picard ne sont pas vérifiés. Le théorème d'existence de Peano en est un exemple d'application . Le théorème d'Arzelà-Ascoli est lui-même une assertion de compacité, caractérisant la compacité dans l'espace de Banach des fonctions sur un espace métrique compact.

Des résultats élémentaires importants confèrent une rigueur formelle aux techniques du calcul différentiel et intégral. Parmi eux figurent les théorèmes de Bolzano-Weierstrass et de Heine-Borel , la règle de L'Hôpital , le théorème des accroissements finis , le théorème de Taylor , le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral et le théorème des valeurs extrêmes .

D'autres résultats, également enseignés dans un cours élémentaire, sont motivés par des applications, principalement aux équations différentielles , au calcul à plusieurs variables et à l'analyse de Fourier , qui font partie du cursus de mathématiques de premier cycle. Il s'agit du théorème d'Arzelà-Ascoli , du théorème de Stone-Weierstrass , du théorème du point fixe de Banach , des théorèmes des fonctions inverses et implicites , et du théorème de Stokes .

Les cours de niveau supérieur plus avancés couvrent également les bases de la théorie de la mesure , dont les théorèmes fondamentaux sont : le théorème d'Egorov , le théorème de Lusin , le lemme de Fatou , les théorèmes de convergence monotone et dominée , et le théorème de Fubini .

D'autres résultats avancés sont parfois abordés au niveau master, car ils trouvent des applications dans d'autres domaines du programme. Il s'agit notamment du théorème de Radon-Nikodym , du théorème de décomposition de Lebesgue et du théorème de représentation de Riesz . Parfois, des résultats tels que le théorème de différentiation de Lebesgue sont également présentés, comme applications de l'analyse harmonique à des questions d'analyse réelle.

Diverses idées de l'analyse réelle peuvent être généralisées de la droite réelle à des contextes plus vastes ou plus abstraits. Ces généralisations relient l'analyse réelle à d'autres disciplines et sous-disciplines. Par exemple, la généralisation de notions telles que les fonctions continues et la compacité de l'analyse réelle aux espaces métriques et topologiques relie l'analyse réelle au domaine de la topologie générale , tandis que la généralisation des espaces euclidiens de dimension finie à leurs analogues de dimension infinie a conduit aux concepts d' espaces de Banach et d'espaces de Hilbert et, plus généralement, à l'analyse fonctionnelle . Les travaux de Georg Cantor sur les ensembles et les suites de nombres réels, les applications entre eux et les questions fondamentales de l'analyse réelle ont donné naissance à la théorie naïve des ensembles . L'étude des problèmes de convergence des suites de fonctions a finalement conduit à l'analyse de Fourier comme sous-discipline de l'analyse mathématique. L'étude des conséquences de la généralisation de la différentiabilité des fonctions d'une variable réelle à celles d'une variable complexe a donné naissance au concept de fonctions holomorphes et à l'émergence de l'analyse complexe comme autre sous-discipline distincte de l'analyse. Par ailleurs, la généralisation de l'intégration au sens de Riemann au sens de Lebesgue a conduit à la formulation du concept d' espaces mesurés abstraits , concept fondamental en théorie de la mesure . Enfin, la généralisation de l'intégration de la droite réelle aux courbes et surfaces dans l'espace de dimension supérieure a engendré l'étude du calcul vectoriel , dont la généralisation et la formalisation ultérieures ont joué un rôle important dans l'évolution des concepts de formes différentielles et de variétés différentiables en géométrie différentielle et dans d'autres domaines étroitement liés de la géométrie et de la topologie .fonctions généralisées ) sont des objets qui généralisent les fonctions . Elles permettent de dériver des fonctions dont les dérivées n'existent pas au sens classique. En particulier, toute fonction localement intégrable possède une dérivée distributionnelle.

L'analyse réelle est une branche de l'analyse qui étudie des concepts tels que les suites et leurs limites, la continuité, la différentiation , l'intégration et les suites de fonctions. Par définition, l'analyse réelle se concentre sur les nombres réels , incluant souvent l'infini positif et l'infini négatif pour former la droite réelle étendue . L'analyse réelle est étroitement liée à l'analyse complexe , qui étudie globalement les mêmes propriétés des nombres complexes . En analyse complexe, il est naturel de définir la différentiation à l'aide de fonctions holomorphes , qui possèdent plusieurs propriétés utiles, telles que la différentiabilité itérée, l'exprimabilité sous forme de séries entières et la satisfaction de la formule intégrale de Cauchy .

En analyse réelle, il est généralement plus naturel de considérer des fonctions différentiables , lisses ou harmoniques , qui sont plus largement applicables, mais qui peuvent ne pas posséder certaines propriétés plus puissantes des fonctions holomorphes. Cependant, des résultats tels que le théorème fondamental de l'algèbre sont plus simples lorsqu'ils sont exprimés en termes de nombres complexes.

Les techniques issues de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe sont souvent utilisées en analyse réelle – comme l'évaluation des intégrales réelles par le calcul des résidus .