Théorème de fonction implicite

En calcul multivariable , le théorème de fonction implicite est un outil qui permet de convertir des relations en fonctions de plusieurs variables réelles . Il le fait en représentant la relation comme le graphe d'une fonction . Il peut ne pas exister une seule fonction dont le graphe puisse représenter la relation entière, mais il peut exister une telle fonction sur une restriction du domaine de la relation. Le théorème de fonction implicite donne une condition suffisante pour garantir qu'il existe une telle fonction.

Plus précisément, étant donné un système de m équations f _i  ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m ) = 0, i = 1, ..., m (souvent abrégé en F ( x , y ) = 0 ), le théorème stipule que, sous une condition modérée sur les dérivées partielles (par rapport à chaque y _i ) en un point, les m variables y _i sont des fonctions différentiables des x _j dans un certain voisinage du point. Comme ces fonctions ne peuvent généralement pas être exprimées sous forme fermée , elles sont implicitement définies par les équations, ce qui a motivé le nom du théorème.

En d'autres termes, sous une condition douce sur les dérivées partielles, l'ensemble des zéros d'un système d'équations est localement le graphe d'une fonction .

Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) est crédité de la première forme rigoureuse du théorème de fonction implicite. Ulisse Dini (1845–1918) a généralisé la version à variables réelles du théorème de fonction implicite au contexte des fonctions de n'importe quel nombre de variables réelles.

Si nous définissons la fonction f ( x , y ) = x ² + y ² , alors l'équation f ( x , y ) = 1 découpe le cercle unité comme l' ensemble de niveaux {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . Il n'existe aucun moyen de représenter le cercle unité comme le graphique d'une fonction d'une variable y = g ( x ) car pour chaque choix de x ∈ (−1, 1) , il existe deux choix de y , à savoir .

Cependant, il est possible de représenter une partie du cercle comme le graphique d'une fonction à une variable. Si l'on pose pour −1 ≤ x ≤ 1 , alors le graphique de y = g ₁ ( x ) fournit la moitié supérieure du cercle. De même, si , alors le graphique de y = g ₂ ( x ) donne la moitié inférieure du cercle.

Le but du théorème de fonction implicite est de nous dire que des fonctions comme g ₁ ( x ) et g ₂ ( x ) existent presque toujours , même dans des situations où nous ne pouvons pas écrire de formules explicites. Il garantit que g ₁ ( x ) et g ₂ ( x ) sont différentiables, et il fonctionne même dans des situations où nous n'avons pas de formule pour f ( x , y ) .

Soit une fonction continûment différentiable . On la considère comme le produit cartésien et on écrit un point de ce produit comme Partant de la fonction donnée , notre objectif est de construire une fonction dont le graphe est précisément l'ensemble de toutes les fonctions telles que .

Comme indiqué ci-dessus, cela n'est pas toujours possible. Nous allons donc fixer un point qui satisfait , et nous demanderons un qui fonctionne près du point . En d'autres termes, nous voulons un ensemble ouvert contenant , un ensemble ouvert contenant , et une fonction telle que le graphe de satisfasse la relation sur , et qu'aucun autre point à l'intérieur ne le fasse. Dans les symboles,

Pour énoncer le théorème de fonction implicite, nous avons besoin de la matrice jacobienne de , qui est la matrice des dérivées partielles de . En abrégé , la matrice jacobienne est

où est la matrice des dérivées partielles dans les variables et est la matrice des dérivées partielles dans les variables . Le théorème de fonction implicite dit que si est une matrice inversible, alors il y a , , et comme souhaité. L'écriture de toutes les hypothèses ensemble donne l'énoncé suivant.

Soit une fonction continûment différentiable , et soit de coordonnées . Fixons un point avec , où est le vecteur nul. Si la matrice jacobienne (il s'agit du panneau de droite de la matrice jacobienne présentée dans la section précédente) : est inversible , alors il existe un ouvert contenant tel qu'il existe une fonction unique telle que , et . De plus, est continûment différentiable et, en désignant le panneau de gauche de la matrice jacobienne présentée dans la section précédente par : la matrice jacobienne des dérivées partielles de dans est donnée par le produit matriciel :

Si, de plus, est analytique ou continûment différentiable fois dans un voisinage de , alors on peut choisir afin qu'il en soit de même pour à l'intérieur de . Dans le cas analytique, cela s'appelle le théorème de fonction implicite analytique .

Supposons qu'il existe une fonction continûment différentiable définissant une courbe . Soit un point sur la courbe. L'énoncé du théorème ci-dessus peut être réécrit pour ce cas simple comme suit :

Preuve. Puisque est différentiable, on écrit la différentielle de par les dérivées partielles :

Comme nous sommes limités au mouvement sur la courbe et par hypothèse autour du point (puisque est continue en et ), nous avons donc une équation différentielle ordinaire du premier ordre :

Nous cherchons maintenant une solution à cette EDO dans un intervalle ouvert autour du point pour lequel, en tout point de celui-ci, . Puisque est continûment différentiable et à partir de l'hypothèse que nous avons

De cela nous savons que est continue et bornée aux deux extrémités. De là nous savons que est Lipschitz continue dans et . Par conséquent, par le théorème de Cauchy-Lipschitz , il existe unique qui est la solution à l'EDO donnée avec les conditions initiales. CQFD

Revenons à l'exemple du cercle unité . Dans ce cas n = m = 1 et . La matrice des dérivées partielles est simplement une matrice 1 × 2, donnée par

Ainsi, ici, le Y dans l'énoncé du théorème est simplement le nombre 2 b ; l'application linéaire définie par lui est inversible si et seulement si b ≠ 0 . Par le théorème de fonction implicite, nous voyons que nous pouvons écrire localement le cercle sous la forme y = g ( x ) pour tous les points où y ≠ 0 . Pour (±1, 0) nous rencontrons des problèmes, comme indiqué précédemment. Le théorème de fonction implicite peut toujours être appliqué à ces deux points, en écrivant x comme une fonction de y , c'est-à-dire ; maintenant le graphique de la fonction sera , puisque là où b = 0 nous avons a = 1 , et les conditions pour exprimer localement la fonction sous cette forme sont satisfaites.

La dérivée implicite de y par rapport à x et celle de x par rapport à y peuvent être trouvées en différenciant totalement la fonction implicite et en l'égalisant à 0 : donnant et

Supposons que nous ayons un espace de dimension m , paramétré par un ensemble de coordonnées . Nous pouvons introduire un nouveau système de coordonnées en fournissant m fonctions chacune étant continûment différentiable. Ces fonctions nous permettent de calculer les nouvelles coordonnées d'un point, étant donné les anciennes coordonnées du point en utilisant . On pourrait vouloir vérifier si l'inverse est possible : étant donné les coordonnées , peut-on « revenir en arrière » et calculer les coordonnées originales du même point ? Le théorème de fonction implicite fournira une réponse à cette question. Les coordonnées (nouvelles et anciennes) sont liées par f = 0, avec Maintenant la matrice jacobienne de f en un certain point ( a , b ) [ où ] est donnée par où I _m désigne la matrice identité m × m , et J est la matrice m × m des dérivées partielles, évaluée en ( a , b ). (Dans ce qui précède, ces blocs ont été notés X et Y. Il se trouve que, dans cette application particulière du théorème, aucune matrice ne dépend de a .) Le théorème de fonction implicite stipule maintenant que nous pouvons exprimer localement en fonction de si J est inversible. Exiger que J soit inversible équivaut à det J ≠ 0, nous voyons donc que nous pouvons revenir des coordonnées amorcées aux coordonnées non amorcées si le déterminant du Jacobien J est différent de zéro. Cette affirmation est également connue sous le nom de théorème de fonction inverse .

Comme application simple de ce qui précède, considérons le plan paramétré par les coordonnées polaires ( R , θ ) . Nous pouvons passer à un nouveau système de coordonnées ( coordonnées cartésiennes ) en définissant les fonctions x ( R , θ ) = R cos( θ ) et y ( R , θ ) = R sin( θ ) . Cela permet, étant donné un point quelconque ( R , θ ) , de trouver les coordonnées cartésiennes correspondantes ( x , y ) . Quand peut-on revenir en arrière et convertir les coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires ? D'après l'exemple précédent, il suffit d'avoir det J ≠ 0 , avec Puisque det J = R , la conversion en coordonnées polaires est possible si R ≠ 0 . Il reste donc à vérifier le cas R = 0 . Il est facile de voir que dans le cas R = 0 , notre transformation de coordonnées n'est pas inversible : à l'origine, la valeur de θ n'est pas bien définie.

Sur la base du théorème de fonction inverse dans les espaces de Banach , il est possible d'étendre le théorème de fonction implicite aux applications à valeurs d'espace de Banach.

Soient X , Y , Z des espaces de Banach . Soit l'application f : X × Y → Z continûment différentiable de Fréchet . Si , , et est un isomorphisme d'espace de Banach de Y sur Z , alors il existe des voisinages U de x ₀ et V de y ₀ et une fonction différentiable de Fréchet g : U → V tels que f ( x , g ( x )) = 0 et f ( x , y ) = 0 si et seulement si y = g ( x ), pour tout .

Il existe différentes formes du théorème de fonction implicite pour le cas où la fonction f n'est pas différentiable. Il est courant que la monotonie stricte locale suffise dans une dimension. La ​​forme plus générale suivante a été prouvée par Kumagai sur la base d'une observation de Jittorntrum.

Considérons une fonction continue telle que . S'il existe des voisinages ouverts et de x ₀ et y ₀ , respectivement, tels que, pour tout y dans B , soit localement inexact, alors il existe des voisinages ouverts et de x ₀ et y ₀ , tels que, pour tout , l'équation f ( x , y ) = 0 ait une unique solution où g est une fonction continue de B ₀ dans A ₀ .

Le théorème d'effondrement de Perelman pour les 3-variétés , pierre angulaire de sa preuve de la conjecture de géométrisation de Thurston , peut être compris comme une extension du théorème de fonction implicite.