fonction analytique

Des exemples typiques de fonctions analytiques sont

• Les fonctions élémentaires suivantes :
  • Pour tout polynôme de degré , tout terme de degré supérieur à dans son développement en série de Taylor doit immédiatement s'annuler, et cette série converge donc trivialement. De plus, tout polynôme est sa propre série de Maclaurin .
  • La fonction exponentielle est analytique. Toute série de Taylor de cette fonction converge non seulement pour suffisamment proche de (comme dans la définition) mais pour toutes les valeurs de (réelles ou complexes).
  • Les fonctions trigonométriques sont analytiques sur tout ouvert de leur domaine.
  • Le logarithme naturel est analytique sur tout ensemble ouvert où sa branche est univoque, comme ou le complément dans la sphère de Riemann de tout arc simple connecté à .
  • Les fonctions de puissance sont analytiques partout pour les puissances entières non négatives, loin de zéro pour les puissances entières négatives, et pour les puissances complexes arbitraires sur tout sous-ensemble ouvert du plan complexe où le logarithme est analytique.
• De nombreuses fonctions spéciales sont analytiques sur un domaine approprié :
  • fonctions hypergéométriques sur des domaines appropriés
  • Fonctions de Bessel sur des domaines appropriés
  • La fonction gamma loin de ses pôles à zéro et aux entiers négatifs
  • La fonction zêta de Riemann, à l'exception d'un pôle simple à
• Les fonctions algébriques sont analytiques loin de leurs pôles et points de branchement . Au voisinage d'un point de branchement, une fonction algébrique peut être représentée par une série de Puiseux convergente ; de manière équivalente, après un changement de variable , elle devient analytique en tant que fonction de .

Des exemples typiques de fonctions qui ne sont pas analytiques sont :

• La fonction valeur absolue sur les nombres réels n'est pas analytique en . La fonction correspondante sur les nombres complexes n'est pas analytique complexe sur aucun ouvert non vide de .
• Les fonctions définies par morceaux (fonctions données par des formules différentes dans différentes régions) ne sont généralement pas analytiques aux points de rencontre des morceaux.
• La fonction conjuguée complexe analytique complexe, bien que sa restriction à la droite réelle soit la fonction identité et donc analytique réelle, et elle est analytique réelle en tant que fonction
• D'autres fonctions lisses non analytiques , et en particulier toute fonction lisse à support compact qui n'est pas identiquement nulle, c'est-à-dire , ne peuvent pas être analytiques sur tout .

Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. est réellement analytique sur un ensemble ouvert .
2. Il existe une extension analytique complexe de à un ensemble ouvert qui contient
3. est lisse et pour tout ensemble compact, il existe une constante telle que pour tout et tout entier non négatif, la borne suivante est vérifiée ;

Les fonctions analytiques complexes sont exactement équivalentes aux fonctions holomorphes et sont donc beaucoup plus faciles à caractériser.

Dans le cas d’une fonction analytique à plusieurs variables (voir ci-dessous), l’analyticité réelle peut être caractérisée à l’aide de la transformée de Fourier-Bros-Iagolnitzer .

Dans le cas multivariable, les fonctions analytiques réelles satisfont une généralisation directe de la troisième caractérisation. Soit un ouvert, et soit

• Les sommes, les produits et les compositions de fonctions analytiques sont analytiques.
• L' inverse d'une fonction analytique qui n'est nulle part est analytique.
• À une variable, l'inverse d'une fonction analytique bijective dont la dérivée est non nulle est analytique. À plusieurs variables, la condition correspondante est que la dérivée soit une application linéaire inversible, ou, de manière équivalente, que le déterminant jacobien soit non nul.
• Toute fonction analytique est lisse , c'est-à-dire infiniment différentiable. La réciproque n'est pas vraie pour les fonctions réelles ; en fait, dans un certain sens, les fonctions analytiques réelles sont creuses par rapport à toutes les fonctions réelles infiniment différentiables. Pour les nombres complexes, la réciproque est vraie : toute fonction admettant une unique dérivée complexe sur un ouvert est analytique sur cet ouvert (voir ouvert l'ensemble fonctions analytiques espace de Fréchet pour la convergence uniforme sur les compacts. Le fait que les limites uniformes sur les compacts de fonctions analytiques soient analytiques découle directement du de Morera . L'ensemble des fonctions analytiques bornées muni de la norme du supremum est un espace de Banach .
• En revanche, l'ensemble des fonctions analytiques réelles sur un ouvert n'est pas complet pour la topologie de convergence uniforme sur les sous-ensembles compacts, car les limites entre compacts et ouverts des fonctions analytiques réelles ne sont pas nécessairement analytiques réelles. Les fonctions analytiques réelles sont denses dans l'espace des fonctions continues pour la topologie compacte-ouverte.

Un polynôme ne peut s'annuler en un trop grand nombre de points, sauf s'il s'agit du polynôme nul (plus précisément, le nombre de zéros est au plus égal à son degré). Une propriété similaire, mais plus faible, s'applique aux fonctions analytiques. Si l'ensemble des zéros d'une fonction analytique nul sur toute la composante contenant ce point. Autrement dit, si est une suite de nombres distincts telle que converge vers un point du domaine de , alors est identiquement nul sur la composante connexe de contenant théorème d'identité .

De plus, si toutes les dérivées d'une fonction analytique en un point sont nulles, la fonction est constante sur la composante connexe correspondante.

Ces affirmations impliquent que, même si les fonctions analytiques possèdent plus de degrés de liberté que les polynômes, elles restent néanmoins assez rigides.

Comme indiqué précédemment, toute fonction (réelle ou complexe) est infiniment dérivable sur un voisinage où elle est égale à une série entière convergente. Au voisinage d'un point d'analyticité, il existe une série entière convergente égale à la fonction dans ce voisinage, donc la fonction y est infiniment dérivable. Il existe des fonctions réelles lisses qui ne sont pas analytiques : voir Fonctions lisses non analytiques . En fait, il en existe de nombreuses.

La situation est tout à fait différente lorsqu'on considère les fonctions analytiques complexes et leurs dérivées. Toute fonction complexe différentiable sur un disque ouvert centré en ( fonction holomorphe ) y est analytique , et réciproquement, toute fonction définie par une série entière convergente de la variable complexe est complexe différentiable (et infiniment différentiable) sur le disque de convergence. Par conséquent, en analyse complexe, le terme « fonction analytique » est synonyme de « fonction holomorphe » .

Les fonctions analytiques réelles et complexes présentent des différences importantes (que l'on peut notamment constater à travers leur relation différente avec la différentiabilité). L'analyticité des fonctions complexes est une propriété plus restrictive, car elle est soumise à des conditions nécessaires plus contraignantes et les fonctions analytiques complexes possèdent une structure plus complexe que leurs homologues sur la droite réelle.

D'après le théorème de Liouville , toute fonction analytique complexe bornée définie sur tout le plan complexe est constante. L'affirmation correspondante pour les fonctions analytiques réelles, le plan complexe étant remplacé par la droite réelle, est manifestement fausse ; ceci est illustré par

De plus, si une fonction analytique complexe est définie sur une boule ouverte centrée un point converge sur toute la boule ouverte ( les fonctions holomorphes sont analytiques ). Cette affirmation, valable pour les fonctions analytiques réelles (une boule ouverte désignant un intervalle ouvert de la droite réelle et non un disque ouvert du plan complexe), n'est pas vraie en général ; la fonction de l'exemple précédent illustre le cas où boule de rayon supérieur à

Toute fonction analytique réelle définie sur un ouvert de la droite réelle peut être prolongée en une fonction analytique complexe définie sur un ouvert du plan complexe. Cependant, toute fonction analytique réelle définie sur la droite réelle ne peut pas être prolongée en une fonction complexe définie sur le plan complexe. La fonction dans le paragraphe précédent constitue un contre-exemple, car elle n'est pas définie pour explique pourquoi le développement en série de Taylor de , 1 "}},"i":0}}] c'est - à 1 " $1\left|x\right|>1$ 1 rayon de convergence est car la fonction complexifiée possède un pôle à distance d'évaluation autre pôle dans le disque ouvert de rayon point.

On peut définir des fonctions analytiques à plusieurs variables au moyen de séries entières de ces variables (voir Séries entières ). Les fonctions analytiques à plusieurs variables possèdent certaines propriétés communes avec les fonctions analytiques à une seule variable. Cependant, notamment pour les fonctions analytiques complexes, de nouveaux phénomènes intéressants apparaissent en deux dimensions ou plus :

• Les ensembles nuls de fonctions analytiques complexes à plus d'une variable ne sont jamais discrets s'ils sont non vides. Ceci peut être démontré par le théorème d'extension de Hartog .
• Les domaines d'holomorphie des fonctions univoques sont des ouverts (connexes) quelconques. Cependant, pour plusieurs variables complexes, seuls certains ouverts connexes sont des domaines d'holomorphie. La caractérisation des domaines d'holomorphie conduit à la notion de pseudoconvexité .

Des notions analogues d'analyticité peuvent être formulées sur d'autres corps valués complets , les corps des nombres réels et complexes étant les deux plus importants où la valeur absolue est archimédienne . Des fonctions analytiques peuvent également être définies sur des corps locaux non archimédiens , tels que les nombres p-adiques et leurs extensions finies , ainsi que les corps de séries de Laurent formelles sur un corps fini .

Si est un corps à valuats complet, une fonction définie sur un voisinage d'un point est dite analytique si elle est représentée localement par une série entière convergente à coefficients dans . Dans le cas non archimédien, la convergence est régie par une valeur absolue ultramétrique , et la théorie qui en résulte diffère significativement de l'analyse réelle et de l'analyse complexe.

Par exemple, une série entière sur converge vers une fonction analytique sur les entiers p -adiques si et seulement si . De même, la série sur une extension finie d'un corps p -adique converge sur l'anneau des entiers si et seulement si . Ceci s'explique par le critère ultramétrique : si , alors , et l'ultramétrique implique que tout segment médian de la série satisfait .

Plus généralement, sur le disque fermé, une série converge sur ce disque si et seulement si Ici , désigne l'uniformisateur de .

Sur un corps non archimédien, l'anneau des fonctions analytiques sur un disque fermé est ainsi lié à l' algèbre de Tate , l'algèbre des séries entières dont les coefficients tendent vers zéro suffisamment vite. Ce point de vue est fondamental en géométrie analytique rigide et dans d'autres formes de géométrie analytique non archimédienne.