Fonction gamma

En mathématiques , la fonction gamma (représentée par Γ, lettre grecque majuscule gamma ) est l'extension la plus courante de la fonction factorielle aux nombres complexes . Dérivée par Daniel Bernoulli , la fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes à l'exception des entiers non positifs, et pour tout entier positif . La fonction gamma peut être définie via une intégrale impropre convergente pour les nombres complexes à partie réelle positive :

$0\backslash ,.g\left(j\right)={\int }_0^{\infty }{t}^{j-1}{\mathrm{et}}^{-t}\text{d}t,\Re \left(j\right)>0.$0\,.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fa0f0aaaabee2c7e6d27fce3781a7106fd8fa1">La fonction gamma est alors définie dans le plan complexe comme le prolongement analytique de cette fonction intégrale : c'est une fonction méromorphe qui est holomorphe sauf à zéro et aux entiers négatifs, où elle a des pôles simples .

La fonction gamma n'a pas de zéros, donc la fonction gamma réciproque ⁠1/Γ( z )⁠ est une fonction entière . En fait, la fonction gamma correspond à la transformée de Mellin de la fonction exponentielle négative :

Il existe d'autres extensions de la fonction factorielle, mais la fonction gamma est la plus populaire et la plus utile. Elle apparaît comme facteur dans diverses fonctions de distribution de probabilité et d'autres formules dans les domaines des probabilités , des statistiques , de la théorie analytique des nombres et de la combinatoire .

La fonction gamma peut être considérée comme une solution au problème d'interpolation consistant à trouver une courbe lisse reliant les points de la séquence factorielle : pour toutes les valeurs entières positives de . La formule simple de la factorielle, x ! = 1 × 2 × ⋯ × x n'est valable que lorsque x est un entier positif, et aucune fonction élémentaire ne possède cette propriété, mais une bonne solution est la fonction gamma .

La fonction gamma est non seulement lisse mais aussi analytique (sauf pour les entiers non positifs), et elle peut être définie de plusieurs manières explicites. Cependant, ce n'est pas la seule fonction analytique qui étend la factorielle, car on peut ajouter n'importe quelle fonction analytique qui est nulle sur les entiers positifs, comme pour un entier . Une telle fonction est connue sous le nom de fonction pseudogamma , la plus connue étant la fonction de Hadamard .

Une exigence plus restrictive est l' équation fonctionnelle qui interpole le factoriel décalé : $0,\backslash qquad\; f(1)=1.f(x+1)=xf\left(x\right)\text{pour tout}x>0,f\left(1\right)=1.$0,\qquad f(1)=1.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac9f52b496f5fa62ecd0c966b10d6fec6d8919e">

Mais cela ne donne toujours pas une solution unique, car cela permet la multiplication par n'importe quelle fonction périodique avec et , telle que .

Une façon de résoudre l'ambiguïté est le théorème de Bohr-Mollerup , qui montre que est l'unique fonction d'interpolation pour la factorielle, définie sur les réels positifs, qui est logarithmiquement convexe , ce qui signifie que est convexe .

La notation est due à Legendre . Si la partie réelle du nombre complexe z est strictement positive ( ), alors l' intégrale converge absolument , et est appelée intégrale d'Euler de seconde espèce . (L'intégrale d'Euler de première espèce est la fonction bêta . ) En utilisant l'intégration par parties , on voit que : $0\Re \left(j\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df572a34b3badc29688f896ef60b7edacc835de5">

Reconnaissant que, comme

On peut alors calculer comme suit :

Ainsi, nous pouvons montrer que pour tout entier positif n par induction . Plus précisément, le cas de base est que , et l'étape d'induction est que

L'identité peut être utilisée (ou, donnant le même résultat, une continuation analytique peut être utilisée) pour étendre de manière unique la formulation intégrale pour à une fonction méromorphe définie pour tous les nombres complexes z , à l'exception des entiers inférieurs ou égaux à zéro. C'est cette version étendue qui est communément appelée la fonction gamma.

Il existe de nombreuses définitions équivalentes.

Pour un entier fixe , lorsque l'entier augmente, nous avons que

Si n'est pas un entier, alors cette équation n'a pas de sens, puisque dans cette section la factorielle d'un non entier n'a pas encore été définie. Cependant, supposons que cette équation continue à être vérifiée lorsque est remplacé par un nombre complexe arbitraire , afin de définir la fonction Gamma pour les non entiers :

Intuitivement, cette formule indique que est approximativement le résultat du calcul d'un grand entier , multiplié par pour approximer , et en utilisant la relation fois en arrière pour obtenir une approximation de ; et de plus que cette approximation devient exacte lorsque augmente vers l'infini.

Le produit infini de la réciproque est une fonction entière , convergeant pour tout nombre complexe z .

La définition de la fonction gamma due à Weierstrass est également valable pour tous les nombres complexes à l'exception des entiers non positifs : où est la constante d'Euler-Mascheroni . Il s'agit du produit de Hadamard de sous une forme réécrite. Cette définition apparaît dans une identité importante impliquant pi.

Outre la propriété fondamentale discutée ci-dessus : d'autres équations fonctionnelles importantes pour la fonction gamma sont la formule de réflexion d'Euler qui implique et la formule de duplication de Legendre

La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication (voir Eq. 5.5.6) :

Une propriété simple mais utile, qui peut être vue à partir de la définition de la limite, est :

En particulier, avec z = a + bi , ce produit est

Si la partie réelle est un entier ou un demi-entier, cela peut s'exprimer de manière finie sous forme fermée :

La valeur la plus connue de la fonction gamma pour un argument non entier est peut-être celle que l'on peut trouver en définissant les formules de réflexion ou de duplication, en utilisant la relation avec la fonction bêta donnée ci-dessous avec , ou simplement en effectuant la substitution dans la définition intégrale de la fonction gamma, ce qui donne une intégrale gaussienne . En général, pour les valeurs entières non négatives de , nous avons : où la factorielle double . Voir Valeurs particulières de la fonction gamma pour les valeurs calculées.

Il pourrait être tentant de généraliser le résultat en recherchant une formule pour d'autres valeurs individuelles où est rationnel, en particulier parce que selon le théorème digamma de Gauss , il est possible de le faire pour la fonction digamma étroitement liée à chaque valeur rationnelle. Cependant, ces nombres ne sont pas connus pour être exprimables par eux-mêmes en termes de fonctions élémentaires. Il a été prouvé que est un nombre transcendant et algébriquement indépendant de pour tout entier et chacune des fractions . En général, lors du calcul des valeurs de la fonction gamma, nous devons nous contenter d'approximations numériques.

Les dérivées de la fonction gamma sont décrites en termes de la fonction polygamma , ψ ⁽⁰⁾ ( z ) : Pour un entier positif m, la dérivée de la fonction gamma peut être calculée comme suit :

γ est la constante d'Euler-Mascheroni .

Car la dérivée-ième de la fonction gamma est : (Cela peut être dérivé en différenciant la forme intégrale de la fonction gamma par rapport à , et en utilisant la technique de différenciation sous le signe intégral .) $0\Re \left(z\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df572a34b3badc29688f896ef60b7edacc835de5">

En utilisant l'identité où est la fonction zêta de Riemann , et est le -ième polynôme de Bell , nous avons en particulier le développement en série de Laurent de la fonction gamma

Si l'on limite la fonction gamma aux nombres réels positifs, elle est une fonction strictement logarithmiquement convexe . Cette propriété peut être énoncée de l'une des trois manières équivalentes suivantes :

• Pour deux nombres réels positifs quelconques et , et pour tout ,
• Pour deux nombres réels positifs quelconques et , et >$\backslash exp\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash Gamma\; \text{'}(x\_\{1\})\}\{\backslash Gamma\; (x\_\{1\})\}\}\; ight).{\left(\frac{\Gamma \left(x_2\right)}{\Gamma \left(x_1\right)}\right)}^{\frac{1}{x_2-x_1}}>\exp \left(\frac{{\Gamma }^{\prime }\left(x_1\right)}{\Gamma \left(x_1\right)}\right).$\exp \gauche({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\droit).}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5194e6aa569d26e8025eca83bf940fb3d016129d">
• Pour tout nombre réel positif ,$\backslash Gamma\; \text{'}(x)^\{2\}.{\Gamma }^{″}\left(x\right)\Gamma \left(x\right)>{\Gamma }^{\prime }(x{)}^2.$\Gamma '(x)^{2}.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4373886f42367359b96a6c4b0970322960afa6e4">

La dernière de ces affirmations est, par définition, essentiellement la même que l'affirmation selon laquelle , où est la fonction polygamma d'ordre 1. Pour démontrer la convexité logarithmique de la fonction gamma, il suffit donc d'observer que a une représentation en série qui, pour un réel positif x , est constituée uniquement de termes positifs. $0{\psi }^{\left(1\right)}\left(x\right)>0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29da945d1c0efd2dc669ae7e83e0c3503f178c1c">

La convexité logarithmique et l'inégalité de Jensen impliquent ensemble, pour tout nombre réel positif et ,

Il existe également des limites sur les rapports des fonctions gamma. La plus connue est l'inégalité de Gautschi , qui dit que pour tout nombre réel positif x et tout s ∈ (0, 1) ,

Le comportement de pour une variable réelle positive croissante est donné par la formule de Stirling où le symbole signifie convergence asymptotique : le rapport des deux côtés converge vers 1 dans la limite . Cette croissance est plus rapide que l'exponentielle, , pour toute valeur fixe de .

Une autre limite utile pour les approximations asymptotiques pour est :

Lors de l'écriture du terme d'erreur sous la forme d'un produit infini, la formule de Stirling peut être utilisée pour définir la fonction gamma :

Bien que la définition principale de la fonction gamma, l'intégrale d'Euler de seconde espèce, ne soit valable (sur l'axe réel) que pour les arguments positifs, son domaine peut être étendu par continuation analytique aux arguments négatifs en décalant l'argument négatif vers des valeurs positives en utilisant soit la formule de réflexion d'Euler, soit la propriété fondamentale, lorsque . Par exemple,

Le comportement pour les nombres non positifs est plus complexe. L'intégrale d'Euler ne converge pas pour , mais la fonction qu'elle définit dans le demi-plan complexe positif a une continuation analytique unique vers le demi-plan négatif. Une façon de trouver cette continuation analytique est d'utiliser l'intégrale d'Euler pour les arguments positifs et d'étendre le domaine aux nombres négatifs par une application répétée de la formule de récurrence, en choisissant tel que soit positif. Le produit au dénominateur est nul lorsque est égal à l'un des entiers . Ainsi, la fonction gamma doit être indéfinie à ces points pour éviter la division par zéro ; c'est une fonction méromorphe avec des pôles simples aux entiers non positifs.

Pour une fonction d'une variable complexe , à un pôle simple , le résidu de est donné par :

Pour le pôle simple , la formule de récurrence peut être réécrite comme : Le numérateur en est et le dénominateur Ainsi, les résidus de la fonction gamma en ces points sont : La fonction gamma est non nulle partout le long de la droite réelle, bien qu'elle se rapproche arbitrairement de zéro lorsque z → −∞ . Il n'existe en fait aucun nombre complexe pour lequel , et donc la fonction gamma réciproque est une fonction entière , avec des zéros en .

Sur la droite réelle, la fonction gamma a un minimum local à z _min ≈ +1,46163 21449 68362 34126 où elle atteint la valeur Γ( z _min ) ≈ +0,88560 31944 10888 70027 . La fonction gamma monte de chaque côté de ce minimum. La solution de Γ( z − 0,5) = Γ( z + 0,5) est z = +1,5 et la valeur commune est Γ(1) = Γ(2) = +1 . La solution positive de Γ( z − 1) = Γ( z + 1) est z = φ ≈ +1,618 , le nombre d'or , et la valeur commune est Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! ≈ +1,44922 96022 69896 60037 .

La fonction gamma doit alterner le signe entre ses pôles aux entiers non positifs car le produit dans la récurrence directe contient un nombre impair de facteurs négatifs si le nombre de pôles entre et est impair, et un nombre pair si le nombre de pôles est pair. Les valeurs aux extrema locaux de la fonction gamma le long de l'axe réel entre les entiers non positifs sont :

Γ( −0,50408 30082 64455 40925... ) = −3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1,57349 84731 62390 45877... ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2,61072 08684 44144 65000... ) = −0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3,63529 33664 36901 09783... ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4,65323 77617 43142 44171... ) = −0,05277 96395 87319 40076... , etc.

Il existe de nombreuses formules, outre l'intégrale d'Euler de seconde espèce, qui expriment la fonction gamma comme une intégrale. Par exemple, lorsque la partie réelle de z est positive, et où les trois intégrales découlent respectivement des substitutions , et dans la seconde intégrale d'Euler. La dernière intégrale en particulier met en évidence le lien entre la fonction gamma à arguments demi-entiers et l' intégrale gaussienne : si nous obtenons $0\Gamma \left(z\right)=2c^z{\int }_0^{\infty }{t}^{2z-1}{e}^{-c{t}^2}dt,c>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe62058e7f4a97128672f1a2b7c917f136ad5d2">

La première formule intégrale de Binet pour la fonction gamma stipule que, lorsque la partie réelle de z est positive, alors : L'intégrale du côté droit peut être interprétée comme une transformée de Laplace . C'est-à-dire,

La deuxième formule intégrale de Binet stipule que, encore une fois, lorsque la partie réelle de z est positive, alors :

Soit C un contour de Hankel , c'est-à-dire un chemin qui commence et finit au point ∞ de la sphère de Riemann , dont le vecteur tangent unitaire converge vers −1 au début du chemin et vers 1 à la fin, qui a un nombre d'enroulements 1 autour de 0 , et qui ne coupe pas [0, ∞) . Fixons une branche de en prenant une branche coupée selon [0, ∞) et en prenant pour réel lorsque t est sur l'axe réel négatif. Supposons que z ne soit pas un entier. Alors la formule de Hankel pour la fonction gamma est : où est interprétée comme . La formule de réflexion conduit à l'expression étroitement liée de nouveau valable chaque fois que z n'est pas un entier.

La fonction gamma peut également être représentée par une somme de deux fractions continues : où .

Le logarithme de la fonction gamma a le développement suivant en série de Fourier pour lequel a été longtemps attribué à Ernst Kummer , qui l'a dérivé en 1847. Cependant, Iaroslav Blagouchine a découvert que Carl Johan Malmsten a dérivé cette série pour la première fois en 1842.

En 1840, Joseph Ludwig Raabe a prouvé que En particulier, si alors $0.{\int }_a^{a+1}\log \Gamma \left(z\right)dz=\frac{1}{2}\log 2\pi +a\log a-a,a>0.$0.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3809a26bb2d6acc05aba3b31e4d37a2f4f97a4">

Cette dernière peut être déduite en prenant le logarithme dans la formule de multiplication ci-dessus, ce qui donne une expression pour la somme de Riemann de l'intégrande. En prenant la limite pour donne la formule.

Une notation alternative introduite par Gauss est la fonction -, une version décalée de la fonction gamma : de sorte que pour tout entier non négatif .

En utilisant la fonction pi, la formule de réflexion est : en utilisant la fonction sinc normalisée ; tandis que le théorème de multiplication devient :

La fonction gamma réciproque décalée est parfois désignée comme une fonction entière .

Le volume d'un n -ellipsoïde de rayons r ₁ , …, r _n peut être exprimé comme

• Dans la première intégrale définissant la fonction gamma, les limites d'intégration sont fixées. La fonction gamma incomplète supérieure est obtenue en faisant varier la limite inférieure d'intégration : Il existe une fonction gamma incomplète inférieure similaire.
• La fonction gamma est liée à la fonction bêta d'Euler par la formule
• La dérivée logarithmique de la fonction gamma est appelée fonction digamma ; les dérivées supérieures sont les fonctions polygamma .
• L'analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est la somme gaussienne , un type de somme exponentielle .
• La fonction gamma réciproque est une fonction entière et a été étudiée comme sujet spécifique.
• La fonction gamma apparaît également dans une relation importante avec la fonction zêta de Riemann , . Elle apparaît également dans la formule suivante : qui n'est valable que pour .$1\Re \left(z\right)>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bee7b9b86cd9089719e48ddc68acd1940db5d5c">Le logarithme de la fonction gamma satisfait la formule suivante due à Lerch : où est la fonction zêta de Hurwitz , est la fonction zêta de Riemann et le signe prime ( ′ ) désigne la différenciation dans la première variable.
• La fonction gamma est liée à la fonction exponentielle étirée . Par exemple, les moments de cette fonction sont

En incluant jusqu'aux 20 premiers chiffres après la virgule décimale, certaines valeurs particulières de la fonction gamma sont : (Ces nombres peuvent être trouvés dans l' OEIS . Les valeurs présentées ici sont tronquées plutôt qu'arrondies.) La fonction gamma à valeurs complexes n'est pas définie pour les entiers non positifs, mais dans ces cas, la valeur peut être définie dans la sphère de Riemann comme ∞ . La fonction gamma réciproque est bien définie et analytique à ces valeurs (et dans l' ensemble du plan complexe ) :

Étant donné que les fonctions gamma et factorielle augmentent si rapidement pour des arguments modérément grands, de nombreux environnements informatiques incluent une fonction qui renvoie le logarithme naturel de la fonction gamma, souvent appelée lgammaou lngammadans les environnements de programmation ou gammalndans les feuilles de calcul. Cette fonction croît beaucoup plus lentement et, pour les calculs combinatoires, elle permet d'ajouter et de soustraire des valeurs logarithmiques au lieu de multiplier et de diviser des valeurs très grandes. Elle est souvent définie comme

La fonction digamma , qui est la dérivée de cette fonction, est également fréquemment observée. Dans le cadre d'applications techniques et physiques, par exemple dans la propagation des ondes, l'équation fonctionnelle

est souvent utilisée car elle permet de déterminer les valeurs des fonctions dans une bande de largeur 1 en z à partir de la bande voisine. En particulier, en partant d'une bonne approximation pour un z à grande partie réelle on peut descendre pas à pas jusqu'au z désiré . Suivant une indication de Carl Friedrich Gauss , Rocktaeschel (1922) a proposé pour logΓ( z ) une approximation pour grand Re( z ) :

Ceci peut être utilisé pour approximer avec précision logΓ( z ) pour z avec un Re( z ) plus petit via (PEBöhmer, 1939)

Une approximation plus précise peut être obtenue en utilisant davantage de termes issus des développements asymptotiques de logΓ( z ) et Γ( z ) , qui sont basés sur l'approximation de Stirling.

comme | z | → ∞ à constante | arg( z ) | < π . (Voir les séquences A001163 et A001164 dans l' OEIS .)

Dans une présentation plus « naturelle » :

comme | z | → ∞ à constante | arg( z ) | < π . (Voir les séquences A046968 et A046969 dans l' OEIS .)

Les coefficients des termes avec k > 1 de z ^{1− k} dans le dernier développement sont simplement où les B _k sont les nombres de Bernoulli .

La fonction gamma a également une série de Stirling (dérivée par Charles Hermite en 1900) égale à $0.log\Gamma (1+x)=\frac{x(x-1)}{2!}\log \left(2\right)+\frac{x(x-1)(x-2)}{3!}(\log (3)-2\log (2\left)\right)+\cdots ,\Re \left(x\right)>0.$0.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff32dc788de5a6b7f4d904cb3c4eb91607ea4890">

Le théorème de Bohr-Mollerup stipule que parmi toutes les fonctions étendant les fonctions factorielles aux nombres réels positifs, seule la fonction gamma est log-convexe , c'est-à-dire que son logarithme naturel est convexe sur l'axe des nombres réels positifs. Une autre caractérisation est donnée par le théorème de Wielandt .

La fonction gamma est la fonction unique qui satisfait simultanément

3. pour l'entier n , pour tous les nombres complexes .

Dans un certain sens, la fonction log-gamma est la forme la plus naturelle ; elle rend plus clairs certains attributs intrinsèques de la fonction. Un exemple frappant est la série de Taylor de logΓ autour de 1 : avec ζ ( k ) désignant la fonction zêta de Riemann en k .

Ainsi, en utilisant la propriété suivante : une représentation intégrale pour la fonction log-gamma est : ou, en définissant z = 1 pour obtenir une intégrale pour γ , nous pouvons remplacer le terme γ par son intégrale et l'incorporer dans la formule ci-dessus, pour obtenir :

Il existe aussi des formules spéciales pour le logarithme de la fonction gamma pour un rationnel z . Par exemple, si et sont des entiers avec et alors Cette formule est parfois utilisée pour le calcul numérique, car l'intégrande décroît très rapidement.

L'intégrale peut être exprimée en termes de la fonction G de Barnes (voir la fonction G de Barnes pour une preuve) : où Re( z ) > −1 .

On peut également l'écrire en termes de fonction zêta de Hurwitz :

Il s'ensuit que et ceci est également une conséquence de la formule de Raabe . O. Espinosa et V. Moll ont dérivé une formule similaire pour l'intégrale du carré de : où est .

DH Bailey et ses co-auteurs ont donné une évaluation en termes de fonction zêta de Tornheim–Witten et de ses dérivées.

En outre, il est également connu que

Les valeurs complexes de la fonction gamma peuvent être approximées en utilisant l'approximation de Stirling ou l' approximation de Lanczos . Ceci est précis dans le sens où le rapport de l'approximation à la vraie valeur tend vers 1 dans la limite lorsque | z | tend vers l'infini.

La fonction gamma peut être calculée avec une précision fixe en appliquant l'intégration par parties à l'intégrale d'Euler. Pour tout nombre positif x, la fonction gamma peut être écrite

Lorsque Re( z ) ∈ [1,2] et , la valeur absolue de la dernière intégrale est inférieure à . En choisissant une valeur suffisamment grande , cette dernière expression peut être rendue plus petite que pour toute valeur souhaitée . Ainsi, la fonction gamma peut être évaluée à quelques bits de précision avec la série ci-dessus.

Un algorithme rapide pour le calcul de la fonction gamma d'Euler pour tout argument algébrique (y compris rationnel) a été construit par EA Karatsuba.

Pour les arguments qui sont des multiples entiers de ⁠1/24⁠ , la fonction gamma peut également être évaluée rapidement à l'aide d'itérations de moyenne arithmétique-géométrique (voir les valeurs particulières de la fonction gamma ).

Contrairement à de nombreuses autres fonctions, telles qu'une distribution normale , il n'existe pas d'implémentation rapide, précise et facile à mettre en œuvre pour la fonction gamma . Il est donc utile d'étudier des solutions potentielles. Dans le cas où la vitesse est plus importante que la précision, des tables publiées pour sont facilement trouvées dans une recherche sur Internet, comme la bibliothèque en ligne Wiley. Ces tables peuvent être utilisées avec une interpolation linéaire . Une plus grande précision est obtenue avec l'utilisation d' une interpolation cubique au prix d'une surcharge de calcul plus importante. Étant donné que les tables sont généralement publiées pour des valeurs d'argument comprises entre 1 et 2, la propriété peut être utilisée pour traduire rapidement et facilement toutes les valeurs réelles et dans la plage , de sorte que seules les valeurs tabulées comprises entre 1 et 2 doivent être utilisées. $2z>2$2}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4288586119add9082e5b34359bcb0f7528c936e5">

Si les tables d'interpolation ne sont pas souhaitables, l'approximation de Lanczos mentionnée ci-dessus fonctionne bien pour une précision de 1 à 2 chiffres pour les petites valeurs de z couramment utilisées. Si l'approximation de Lanczos n'est pas suffisamment précise, la formule de Stirling pour la fonction gamma peut être utilisée.

Un auteur décrit la fonction gamma comme « sans doute la fonction spéciale la plus courante, ou la moins « spéciale » d'entre elles. Les autres fonctions transcendantes […] sont appelées « spéciales » parce qu'il est possible d'éviter certaines d'entre elles en évitant de nombreux sujets mathématiques spécialisés. En revanche, la fonction gamma Γ( z ) est la plus difficile à éviter. »

La fonction gamma trouve des applications dans des domaines aussi divers que la physique quantique , l'astrophysique et la dynamique des fluides . La distribution gamma , qui est formulée en termes de fonction gamma, est utilisée en statistique pour modéliser une large gamme de processus ; par exemple, le temps entre les occurrences de tremblements de terre.

La principale raison de l'utilité de la fonction gamma dans de tels contextes est la prévalence d'expressions du type qui décrivent des processus qui décroissent de manière exponentielle dans le temps ou l'espace. Les intégrales de telles expressions peuvent parfois être résolues en termes de fonction gamma lorsqu'il n'existe aucune solution élémentaire. Par exemple, si f est une fonction puissance et g est une fonction linéaire, un simple changement de variables donne l'évaluation

Le fait que l'intégration soit effectuée sur toute la ligne réelle positive pourrait signifier que la fonction gamma décrit le cumul d'un processus dépendant du temps qui se poursuit indéfiniment, ou la valeur pourrait être le total d'une distribution dans un espace infini.

Il est bien sûr souvent utile de prendre des limites d'intégration autres que 0 et ∞ pour décrire le cumul d'un processus fini, auquel cas la fonction gamma ordinaire n'est plus une solution ; la solution est alors appelée fonction gamma incomplète . (La fonction gamma ordinaire, obtenue en intégrant sur toute la droite réelle positive, est parfois appelée fonction gamma complète pour le contraste.)

Une catégorie importante de fonctions à décroissance exponentielle est celle des fonctions gaussiennes et de leurs intégrales, telles que la fonction d'erreur . Il existe de nombreuses interrelations entre ces fonctions et la fonction gamma ; notamment, le facteur obtenu en évaluant est le « même » que celui trouvé dans le facteur de normalisation de la fonction d'erreur et de la distribution normale .

Les intégrales décrites jusqu'à présent concernent des fonctions transcendantes , mais la fonction gamma provient également d'intégrales de fonctions purement algébriques. En particulier, les longueurs d'arc des ellipses et de la lemniscate , qui sont des courbes définies par des équations algébriques, sont données par des intégrales elliptiques qui, dans des cas particuliers, peuvent être évaluées en termes de la fonction gamma. La fonction gamma peut également être utilisée pour calculer le « volume » et l'« aire » d' hypersphères n -dimensionnelles .

La capacité de la fonction gamma à généraliser les produits factoriels conduit immédiatement à des applications dans de nombreux domaines des mathématiques ; en combinatoire et, par extension, dans des domaines tels que la théorie des probabilités et le calcul des séries entières . De nombreuses expressions impliquant des produits d'entiers successifs peuvent être écrites comme une combinaison de factorielles, l'exemple le plus important étant peut-être celui du coefficient binomial . Par exemple, pour tout nombre complexe z et n , avec | z | < 1 , nous pouvons écrire qui ressemble beaucoup au coefficient binomial lorsque n est un entier non négatif,

L'exemple des coefficients binomiaux explique pourquoi les propriétés de la fonction gamma, lorsqu'elles sont étendues à des nombres négatifs, sont naturelles. Un coefficient binomial donne le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble de n éléments ; si k > n , il n'y a bien sûr aucune façon de choisir. Si k > n , ( n − k )! est la factorielle d'un entier négatif et donc infinie si nous utilisons la définition de la fonction gamma des factorielles : la division par l'infini donne la valeur attendue de 0.

Nous pouvons remplacer la factorielle par une fonction gamma pour étendre une telle formule aux nombres complexes. En général, cela fonctionne pour tout produit dans lequel chaque facteur est une fonction rationnelle de la variable d'indice, en factorisant la fonction rationnelle en expressions linéaires. Si P et Q sont des polynômes moniques de degré m et n de racines respectives p ₁ , …, p _m et q ₁ , …, q _n , nous avons

Si nous avons un moyen de calculer numériquement la fonction gamma, il est très simple de calculer les valeurs numériques de tels produits. Le nombre de fonctions gamma dans le côté droit ne dépend que du degré des polynômes, donc peu importe que b − a soit égal à 5 ​​ou à 10 ⁵ . En prenant les limites appropriées, l'équation peut également être vérifiée même lorsque le produit de gauche contient des zéros ou des pôles.

En prenant des limites, certains produits rationnels avec un nombre infini de facteurs peuvent également être évalués en fonction de la fonction gamma. Grâce au théorème de factorisation de Weierstrass , les fonctions analytiques peuvent être écrites sous forme de produits infinis, et celles-ci peuvent parfois être représentées sous forme de produits finis ou de quotients de la fonction gamma. Nous avons déjà vu un exemple frappant : la formule de réflexion représente essentiellement la fonction sinus comme le produit de deux fonctions gamma. À partir de cette formule, la fonction exponentielle ainsi que toutes les fonctions trigonométriques et hyperboliques peuvent être exprimées en fonction de la fonction gamma.

D'autres fonctions encore, y compris la fonction hypergéométrique et des cas particuliers de celle-ci, peuvent être représentées au moyen d' intégrales de contour complexes de produits et de quotients de la fonction gamma, appelées intégrales de Mellin-Barnes .

Une application de la fonction gamma est l'étude de la fonction zêta de Riemann . Une propriété fondamentale de la fonction zêta de Riemann est son équation fonctionnelle :

Cela fournit entre autres une forme explicite pour la continuation analytique de la fonction zêta en une fonction méromorphe dans le plan complexe et conduit à une preuve immédiate que la fonction zêta possède une infinité de zéros dits « triviaux » sur la droite réelle. Borwein et al. appellent cette formule « l'une des plus belles découvertes en mathématiques ». Un autre prétendant à ce titre pourrait être

Les deux formules ont été dérivées par Bernhard Riemann dans son article fondateur de 1859 « Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe » (« Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée »), l'un des jalons du développement de la théorie analytique des nombres — la branche des mathématiques qui étudie les nombres premiers en utilisant les outils de l'analyse mathématique.

La fonction gamma a suscité l'intérêt de certains des mathématiciens les plus éminents de tous les temps. Son histoire, notamment documentée par Philip J. Davis dans un article qui lui a valu le prix Chauvenet en 1963 , reflète de nombreux développements majeurs des mathématiques depuis le XVIIIe siècle. Selon les mots de Davis, « chaque génération a trouvé quelque chose d'intéressant à dire sur la fonction gamma. Peut-être que la génération suivante le fera aussi. »

Le problème de l'extension de la factorielle aux arguments non entiers a apparemment été étudié pour la première fois par Daniel Bernoulli et Christian Goldbach dans les années 1720. En particulier, dans une lettre de Bernoulli à Goldbach datée du 6 octobre 1729, Bernoulli a introduit la représentation du produit qui est bien définie pour les valeurs réelles de x autres que les entiers négatifs.

Leonhard Euler donna plus tard deux définitions différentes : la première n'était pas son intégrale mais un produit infini bien défini pour tous les nombres complexes n autres que les entiers négatifs, dont il informa Goldbach dans une lettre datée du 13 octobre 1729. Il écrivit à nouveau à Goldbach le 8 janvier 1730, pour lui annoncer sa découverte de la représentation intégrale qui est valable lorsque la partie réelle du nombre complexe n est strictement supérieure à −1 (c'est-à-dire ). Par le changement de variables t = −ln s , cela devient l'intégrale d'Euler familière. Euler publia ses résultats dans l'article « De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt » (« Sur les progressions transcendantes, c'est-à-dire celles dont les termes généraux ne peuvent être donnés algébriquement »), soumis à l' Académie de Saint-Pétersbourg le 28 novembre 1729. Euler découvrit en outre certaines des propriétés fonctionnelles importantes de la fonction gamma, y ​​compris la formule de réflexion. $-1\Re \left(n\right)>-1$-1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b00e86e0fbd78addd3dee00c615021297fd77e">

James Stirling , contemporain d'Euler, a également tenté de trouver une expression continue pour la factorielle et a proposé ce que l'on appelle aujourd'hui la formule de Stirling . Bien que la formule de Stirling donne une bonne estimation de n ! , également pour les nombres non entiers, elle ne fournit pas la valeur exacte. Des extensions de sa formule qui corrigent l'erreur ont été proposées par Stirling lui-même et par Jacques Philippe Marie Binet .

Carl Friedrich Gauss a réécrit le produit d'Euler et a utilisé cette formule pour découvrir de nouvelles propriétés de la fonction gamma. Bien qu'Euler ait été un pionnier de la théorie des variables complexes, il ne semble pas avoir considéré la factorielle d'un nombre complexe, comme l'a fait Gauss en premier. Gauss a également prouvé le théorème de multiplication de la fonction gamma et a étudié le lien entre la fonction gamma et les intégrales elliptiques .

Karl Weierstrass a également établi le rôle de la fonction gamma dans l'analyse complexe , à partir d'une autre représentation du produit, où γ est la constante d'Euler-Mascheroni . Weierstrass a initialement écrit son produit comme un produit pour ⁠1/g⁠ , auquel cas il est pris sur les zéros de la fonction plutôt que sur ses pôles. Inspiré par ce résultat, il a prouvé ce qu'on appelle le théorème de factorisation de Weierstrass — selon lequel toute fonction entière peut être écrite comme un produit sur ses zéros dans le plan complexe ; une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre .

Le nom de fonction gamma et le symbole Γ ont été introduits par Adrien-Marie Legendre vers 1811 ; Legendre a également réécrit la définition intégrale d'Euler dans sa forme moderne. Bien que le symbole soit un gamma grec majuscule, il n'existe pas de norme acceptée pour savoir si le nom de la fonction doit être écrit « fonction gamma » ou « fonction Gamma » (certains auteurs écrivent simplement « Γ -fonction »). La notation alternative de « fonction pi » Π( z ) = z ! due à Gauss est parfois rencontrée dans la littérature ancienne, mais la notation de Legendre est dominante dans les travaux modernes.

Il est justifié de se demander pourquoi nous distinguons la « factorielle ordinaire » et la fonction gamma en utilisant des symboles distincts, et en particulier pourquoi la fonction gamma devrait être normalisée à Γ( n + 1) = n ! au lieu d'utiliser simplement « Γ( n ) = n ! ». Considérons que la notation des exposants, x ⁿ , a été généralisée des entiers aux nombres complexes x ^z sans aucun changement. La motivation de Legendre pour la normalisation n'est pas connue et a été critiquée comme lourde par certains (le mathématicien du 20e siècle Cornelius Lanczos , par exemple, l'a qualifiée de « dépourvue de toute rationalité » et utiliserait à la place z ! ). La normalisation de Legendre simplifie certaines formules, mais en complique d'autres. D'un point de vue moderne, la normalisation de Legendre de la fonction gamma est l'intégrale du caractère additif e ^{− x} par rapport au caractère multiplicatif x ^z par rapport à la mesure de Haar sur le groupe de Lie R ⁺ . Ainsi, cette normalisation montre plus clairement que la fonction gamma est un analogue continu d'une somme de Gauss .

Il est quelque peu problématique qu'un grand nombre de définitions aient été données pour la fonction gamma. Bien qu'elles décrivent la même fonction, il n'est pas tout à fait simple de prouver l'équivalence. Stirling n'a jamais prouvé que sa formule étendue correspondait exactement à la fonction gamma d'Euler ; une première preuve a été donnée par Charles Hermite en 1900. Au lieu de trouver une preuve spécialisée pour chaque formule, il serait souhaitable de disposer d'une méthode générale d'identification de la fonction gamma.

Une façon de prouver l'équivalence serait de trouver une équation différentielle qui caractérise la fonction gamma. La plupart des fonctions spéciales en mathématiques appliquées apparaissent comme des solutions d'équations différentielles, dont les solutions sont uniques. Cependant, la fonction gamma ne semble satisfaire aucune équation différentielle simple. Otto Hölder a prouvé en 1887 que la fonction gamma ne satisfait au moins aucune équation différentielle algébrique en montrant qu'une solution à une telle équation ne pouvait pas satisfaire la formule de récurrence de la fonction gamma, ce qui en faisait une fonction transcendantalement transcendante . Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Hölder .

Une caractérisation définitive et généralement applicable de la fonction gamma n'a été donnée qu'en 1922. Harald Bohr et Johannes Mollerup ont alors démontré ce que l'on appelle le théorème de Bohr-Mollerup : la fonction gamma est l'unique solution de la relation de récurrence factorielle qui est positive et logarithmiquement convexe pour z positif et dont la valeur à 1 est 1 (une fonction est logarithmiquement convexe si son logarithme est convexe). Une autre caractérisation est donnée par le théorème de Wielandt .

Le théorème de Bohr-Mollerup est utile car il est relativement facile de prouver la convexité logarithmique pour l'une des différentes formules utilisées pour définir la fonction gamma. Pour aller plus loin, au lieu de définir la fonction gamma par une formule particulière, nous pouvons choisir les conditions du théorème de Bohr-Mollerup comme définition, puis choisir n'importe quelle formule qui satisfait les conditions comme point de départ pour étudier la fonction gamma. Cette approche a été utilisée par le groupe Bourbaki .

Borwein et Corless passent en revue trois siècles de travaux sur la fonction gamma.

Bien que la fonction gamma puisse être calculée presque aussi facilement que n’importe quelle fonction mathématiquement plus simple avec un ordinateur moderne – même avec une calculatrice de poche programmable – ce n’était bien sûr pas toujours le cas. Jusqu’au milieu du XXe siècle, les mathématiciens s’appuyaient sur des tables faites à la main ; dans le cas de la fonction gamma, notamment une table calculée par Gauss en 1813 et une autre calculée par Legendre en 1825.

Des tableaux de valeurs complexes de la fonction gamma, ainsi que des graphiques dessinés à la main, ont été donnés dans Tables of Functions With Formulas and Curves de Jahnke et Emde , publiés pour la première fois en Allemagne en 1909. Selon Michael Berry , « la publication dans J&E d'un graphique tridimensionnel montrant les pôles de la fonction gamma dans le plan complexe a acquis un statut presque iconique. »

En fait, il n'y avait guère de besoin pratique d'autre chose que des valeurs réelles de la fonction gamma jusqu'aux années 1930, lorsque des applications de la fonction gamma complexe ont été découvertes en physique théorique. Lorsque les ordinateurs électroniques sont devenus disponibles pour la production de tables dans les années 1950, plusieurs tables complètes pour la fonction gamma complexe ont été publiées pour répondre à la demande, y compris une table précise à 12 décimales du National Bureau of Standards des États-Unis .

Les implémentations à virgule flottante double précision de la fonction gamma et de son logarithme sont désormais disponibles dans la plupart des logiciels de calcul scientifique et des bibliothèques de fonctions spéciales, par exemple TK Solver , Matlab , GNU Octave et la bibliothèque scientifique GNU . La fonction gamma a également été ajoutée à la bibliothèque standard C ( math.h ). Des implémentations à précision arbitraire sont disponibles dans la plupart des systèmes d'algèbre informatique , tels que Mathematica et Maple . PARI/GP , MPFR et MPFUN contiennent des implémentations à précision arbitraire libres. Dans certaines calculatrices logicielles , par exemple la calculatrice Windows et la calculatrice GNOME , la fonction factorielle renvoie Γ( x + 1) lorsque l'entrée x est une valeur non entière.