Fonction exponentielle étirée

**Figure 1.** Illustration d'un ajustement exponentiel étiré (avec β = 0,52) sur une courbe maîtresse empirique. À titre de comparaison, un ajustement exponentiel simple et double par moindres carrés est également présenté. Les données sont l'anisotropie rotationnelle de l'anthracène dans le polyisobutylène de plusieurs masses moléculaires . Les tracés ont été superposés en divisant le temps ( t ) par la constante de temps caractéristique respective .

La fonction exponentielle étirée est obtenue en insérant une loi de puissance fractionnaire dans la fonction exponentielle . Dans la plupart des applications, elle n'a de sens que pour des arguments t compris entre 0 et +∞. Avec β = 1 , on retrouve la fonction exponentielle habituelle. Avec un exposant d'étirement β compris entre 0 et 1, le graphique de log f en fonction de t est étiré de manière caractéristique , d'où le nom de la fonction. La fonction exponentielle comprimée (avec β > 1 ) a moins d'importance pratique, à l'exception notable de β = 2 , qui donne la distribution normale . ${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En mathématiques, la distribution exponentielle étirée est également connue sous le nom de distribution cumulative complémentaire de Weibull . La distribution exponentielle étirée est également la fonction caractéristique , essentiellement la transformée de Fourier , de la distribution alpha-stable symétrique de Lévy .

En physique, la fonction exponentielle étirée est souvent utilisée comme description phénoménologique de la relaxation dans les systèmes désordonnés. Elle a été introduite pour la première fois par Rudolf Kohlrausch en 1854 pour décrire la décharge d'un condensateur ; elle est donc également connue sous le nom de fonction de Kohlrausch . En 1970, G. Williams et DC Watts ont utilisé la transformée de Fourier de l'exponentielle étirée pour décrire les spectres diélectriques des polymères ; dans ce contexte, l'exponentielle étirée ou sa transformée de Fourier sont également appelées fonction de Kohlrausch–Williams–Watts (KWW) . La fonction de Kohlrausch–Williams–Watts (KWW) correspond à la réponse de charge dans le domaine temporel des principaux modèles diélectriques, tels que l' équation de Cole–Cole , l' équation de Cole–Davidson et la relaxation de Havriliak–Negami , pour des arguments à temps court.

Dans les applications phénoménologiques, il n'est souvent pas clair si la fonction exponentielle étirée doit être utilisée pour décrire la fonction de distribution différentielle ou intégrale, ou aucune des deux. Dans chaque cas, on obtient la même décroissance asymptotique, mais un préfacteur de loi de puissance différent, ce qui rend les ajustements plus ambigus que pour les exponentielles simples. Dans quelques cas, il peut être démontré que la décroissance asymptotique est une exponentielle étirée, mais le préfacteur est généralement une puissance sans rapport.

Propriétés mathématiques

Moments

Suivant l'interprétation physique habituelle, on interprète l'argument de fonction t comme le temps, et f _β ( t ) est la distribution différentielle. L'aire sous la courbe peut ainsi être interprétée comme un temps de relaxation moyen . On trouve où Γ est la fonction gamma . Pour une décroissance exponentielle, on récupère ⟨ τ ⟩ = τ _{K .} ${\displaystyle \langle au angle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/ au _{K})^{\beta }}={ au _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>τ</mi> <mo>⟩</mo> <mo>≡</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace></mspace> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle au angle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/ au _{K})^{\beta }}={ au _{K} \over \beta }\Gamma {\gauche({\frac {1}{\beta }}\droite)}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les moments supérieurs de la fonction exponentielle étirée sont ${\displaystyle \langle au ^{n} angle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/ au _{K})^{\beta }}={{ au _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }} ight)}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> <mo>≡</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace></mspace> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mrow> <msub> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>K</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle au ^{n} angle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/ au _{K})^{\beta }}={{ au _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\gauche({\frac {n}{\beta }}\droite)}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Fonction de distribution

En physique, des tentatives ont été faites pour expliquer le comportement exponentiel étiré comme une superposition linéaire de décroissances exponentielles simples. Cela nécessite une distribution non triviale des temps de relaxation, ρ ( u ), qui est implicitement définie par ${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\, ho (u)\,e^{-t/u}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>toi</mi> <mspace></mspace> <mi>ρ</mi> <mo>(</mo> <mi>toi</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>toi</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\, ho (u)\,e^{-t/u}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Alternativement, une distribution est utilisée. ${\displaystyle G=u ho (u) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>toi</mi> <mi>ρ</mi> <mo>(</mo> <mi>toi</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G=u ho (u)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

ρ peut être calculé à partir du développement en série : ${\displaystyle ho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ρ</mi> <mo>(</mo> <mi>toi</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>π</mi> <mi>toi</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>π</mi> <mi>β</mi> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msup> <mi>toi</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \bêta k)\Gamma (\bêta k+1)u^{\bêta k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour les valeurs rationnelles de β , ρ ( u ) peut être calculé en termes de fonctions élémentaires. Mais l'expression est en général trop complexe pour être utile sauf dans le cas β = 1/2 où ${\displaystyle G(u)=u ho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mi>toi</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>toi</mi> <mi>ρ</mi> <mo>(</mo> <mi>toi</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <msqrt> <mi>toi</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>toi</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G(u)=u ho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La figure 2 montre les mêmes résultats tracés dans une représentation linéaire et logarithmique . Les courbes convergent vers une fonction delta de Dirac culminant à u = 1 lorsque β s'approche de 1, ce qui correspond à la fonction exponentielle simple.

Les moments de la fonction originale peuvent être exprimés comme ${\displaystyle \langle au ^{n} angle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d au \,t^{n}\, ho ( au ). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> <mspace></mspace> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mi>ρ</mi> <mo>(</mo> <mi>τ</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle au ^{n} angle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d au \,t^{n}\, ho ( au ).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le premier moment logarithmique de la distribution des temps de relaxation exponentielle simple est où Eu est la constante d'Euler . ${\displaystyle \langle \ln au angle =\left(1-{1 \over \beta } ight){ m {Eu}}+\ln au _{K <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>dans</mi> <mo>⁡</mo> <mi>τ</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>toi</mi> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>dans</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>τ</mi> <mrow> <mi>K</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle \ln au angle =\gauche(1-{1 \over \beta }\droite){ m {Eu}}+\ln au _{K}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Transformée de Fourier

Pour décrire les résultats de la spectroscopie ou de la diffusion inélastique, la transformée de Fourier sinus ou cosinus de l'exponentielle étirée est nécessaire. Elle doit être calculée soit par intégration numérique, soit à partir d'un développement en série. La série ici ainsi que celle de la fonction de distribution sont des cas particuliers de la fonction de Fox–Wright . Pour des raisons pratiques, la transformée de Fourier peut être approximée par la fonction de Havriliak–Negami , bien que de nos jours le calcul numérique puisse être effectué si efficacement qu'il n'y a plus de raison de ne pas utiliser la fonction de Kohlrausch–Williams–Watts dans le domaine fréquentiel.

Historique et autres applications

Comme indiqué dans l'introduction, la loi exponentielle étirée a été introduite par le physicien allemand Rudolf Kohlrausch en 1854 pour décrire la décharge d'un condensateur ( bouteille de Leyde ) qui utilisait du verre comme milieu diélectrique. L'utilisation documentée suivante est celle de Friedrich Kohlrausch , fils de Rudolf, pour décrire la relaxation torsionnelle. A. Werner l'a utilisée en 1907 pour décrire les désintégrations complexes de la luminescence ; Theodor Förster en 1949 comme loi de désintégration de la fluorescence des donneurs d'énergie électronique.

En dehors de la physique de la matière condensée, l'exponentielle étirée a été utilisée pour décrire les taux d'élimination de petits corps errants dans le système solaire, le signal IRM pondéré en diffusion dans le cerveau, et la production à partir de puits de gaz non conventionnels.

En probabilité

Si la distribution intégrée est une exponentielle étirée, la fonction de densité de probabilité normalisée est donnée par ${\displaystyle p( au \mid \lambda ,\beta )~d au ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-( au \lambda )^{\beta }}~d au <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>τ</mi> <mo>∣</mo> <mi>λ</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>τ</mi> <mi>λ</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p( au \mid \lambda ,\beta )~d au ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-( au \lambda )^{\beta }}~d au }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il convient de noter que certains auteurs ont utilisé de manière déroutante le terme « exponentielle étirée » pour désigner la distribution de Weibull .

Fonctions modifiées

Une fonction exponentielle étirée modifiée avec un exposant β lentement dépendant de t a été utilisée pour les courbes de survie biologique. ${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Communications sans fil

Dans les communications sans fil, une version mise à l'échelle de la fonction exponentielle étirée apparaît dans la transformée de Laplace pour la puissance d'interférence lorsque les emplacements des émetteurs sont modélisés comme un processus ponctuel de Poisson 2D sans région d'exclusion autour du récepteur. ${\displaystyle I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La transformée de Laplace peut être écrite pour une distribution d'évanouissement arbitraire comme suit : où est la puissance de l'évanouissement, est l' exposant de perte de trajet , est la densité du processus ponctuel de Poisson 2D, est la fonction Gamma et est l'espérance de la variable . ${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }} ight]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }} ight)}s^{\frac {2}{\eta }} ight)=\exp \left(-ts^{\beta } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>η</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>η</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>η</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L_{I}(s)=\exp \gauche(-\pi \lambda \mathbb {E} {\gauche[g^{\frac {2}{\eta }}\droite]}\Gamma {\gauche(1-{\frac {2}{\eta }}\droite)}s^{\frac {2}{\eta }}\droite)=\exp \gauche(-ts^{\beta }\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \eta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>η</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \eta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \lambda <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma (\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {E} [x] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {E} [x]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La même référence montre également comment obtenir la transformée de Laplace inverse pour l'exponentielle étirée pour un entier d'ordre supérieur à partir d'entiers d'ordre inférieur et . ${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \exp \gauche(-s^{\beta }\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>un</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta _{b <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta _{b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Streaming sur Internet

L'exponentielle étirée a été utilisée pour caractériser les modèles d'accès aux médias Internet, tels que YouTube et d'autres sites de diffusion multimédia stables. Les modèles d'accès à la loi de puissance communément admis des charges de travail Web reflètent principalement les charges de travail Web à contenu textuel, telles que les sites d'actualités mis à jour quotidiennement.