Linéarité

En mathématiques, le terme linéaire est utilisé dans deux sens distincts pour deux propriétés différentes :

• linéarité d'une fonction (ou application ) ;
• linéarité d'un polynôme .

Un exemple de fonction linéaire est la fonction définie par qui associe la droite réelle à une droite du plan euclidien R ² qui passe par l'origine. Un exemple de polynôme linéaire dans les variables et est

La linéarité d'une application est étroitement liée à la proportionnalité . En physique, on peut citer comme exemples la relation linéaire entre la tension et le courant dans un conducteur électrique ( loi d'Ohm ) et la relation entre la masse et le poids . En revanche, des relations plus complexes, comme celle entre la vitesse et l'énergie cinétique , sont non linéaires .

Généralisée aux fonctions à plusieurs dimensions , la linéarité signifie la propriété d'une fonction d'être compatible avec l'addition et la mise à l'échelle , également connue sous le nom de principe de superposition .

La linéarité d'un polynôme signifie que son degré est inférieur à deux. L'utilisation du terme pour les polynômes provient du fait que le graphique d'un polynôme à une variable est une droite . Dans le terme « équation linéaire », le mot fait référence à la linéarité des polynômes impliqués.

Étant donné qu'une fonction telle que est définie par un polynôme linéaire dans son argument, elle est parfois également appelée « fonction linéaire » et la relation entre l'argument et la valeur de la fonction peut être appelée « relation linéaire ». Cela peut prêter à confusion, mais en général, le sens recherché sera clair d'après le contexte.

Le mot linéaire vient du latin linearis , « relatif à ou ressemblant à une ligne ».

En mathématiques, une application linéaire ou fonction linéaire f ( x ) est une fonction qui satisfait les deux propriétés :

• Additivité : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
• Homogénéité de degré 1 : f (α x ) = α f ( x ) pour tout α.

Ces propriétés sont connues sous le nom de principe de superposition . Dans cette définition, x n'est pas nécessairement un nombre réel , mais peut en général être un élément de tout espace vectoriel . Une définition plus particulière de la fonction linéaire , qui ne coïncide pas avec la définition de l'application linéaire, est utilisée en mathématiques élémentaires (voir ci-dessous).

L'additivité seule implique l'homogénéité pour le rationnel α, puisque implique pour tout nombre naturel n par induction mathématique , et implique alors . La densité des nombres rationnels dans les réels implique que toute fonction additive continue est homogène pour tout nombre réel α, et est donc linéaire.

Le concept de linéarité peut être étendu aux opérateurs linéaires . Parmi les exemples importants d'opérateurs linéaires, on peut citer la dérivée considérée comme un opérateur différentiel et d'autres opérateurs construits à partir de celle-ci, tels que del et le laplacien . Lorsqu'une équation différentielle peut être exprimée sous forme linéaire, elle peut généralement être résolue en décomposant l'équation en parties plus petites, en résolvant chacune de ces parties et en additionnant les solutions.

Dans un usage différent de la définition ci-dessus, un polynôme de degré 1 est dit linéaire, car le graphique d'une fonction de cette forme est une ligne droite.

Sur les nombres réels, un exemple simple d' équation linéaire est donné par :

où m est souvent appelé la pente ou le gradient , et b l' ordonnée à l'origine , qui donne le point d'intersection entre le graphique de la fonction et l' axe des y .

Notez que cette utilisation du terme linéaire n'est pas la même que dans la section ci-dessus, car les polynômes linéaires sur les nombres réels ne satisfont en général ni à l'additivité ni à l'homogénéité. En fait, ils le font si et seulement si le terme constant – b dans l'exemple – est égal à 0. Si b ≠ 0 , la fonction est appelée fonction affine (voir plus généralement transformation affine ).

L'algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux systèmes d'équations linéaires.

En algèbre booléenne , une fonction linéaire est une fonction pour laquelle il existe des fonctions telles que

Notez que si , la fonction ci-dessus est considérée comme affine en algèbre linéaire (c'est-à-dire non linéaire).

Une fonction booléenne est linéaire si l'une des conditions suivantes est remplie pour la table de vérité de la fonction :

1. Dans chaque ligne où la valeur de vérité de la fonction est T , il y a un nombre impair de T affectés aux arguments, et dans chaque ligne où la fonction est F , il y a un nombre pair de T affectés aux arguments. Plus précisément, f (F, F, ..., F) = F , et ces fonctions correspondent à des applications linéaires sur l'espace vectoriel booléen.
2. Dans chaque ligne où la valeur de la fonction est T, il y a un nombre pair de T assignés aux arguments de la fonction ; et dans chaque ligne où la valeur de vérité de la fonction est F, il y a un nombre impair de T assignés aux arguments. Dans ce cas, f (F, F, ..., F) = T .

Une autre façon d’exprimer cela est que chaque variable fait toujours une différence dans la valeur de vérité de l’opération ou ne fait jamais de différence.

La négation , la biconditionnalité logique , le ou exclusif , la tautologie et la contradiction sont des fonctions linéaires.

En physique , la linéarité est une propriété des équations différentielles régissant de nombreux systèmes ; par exemple, les équations de Maxwell ou l' équation de diffusion .

La linéarité d'une équation différentielle homogène signifie que si deux fonctions f et g sont des solutions de l'équation, alors toute combinaison linéaire af + bg l'est aussi.

En instrumentation, la linéarité signifie qu'une variation donnée d'une variable d'entrée entraîne la même variation dans la sortie de l'appareil de mesure : cela est très souhaitable dans le travail scientifique. En général, les instruments sont proches de la linéarité sur une certaine plage, et sont particulièrement utiles dans cette plage. En revanche, les sens humains sont très non linéaires : par exemple, le cerveau ignore complètement la lumière entrante à moins qu'elle ne dépasse un certain seuil absolu de photons.

Le mouvement linéaire trace une trajectoire en ligne droite.

En électronique , la région de fonctionnement linéaire d'un dispositif, par exemple un transistor , est celle où une variable dépendante de la sortie (comme le courant du collecteur du transistor ) est directement proportionnelle à une variable dépendante de l'entrée (comme le courant de base). Cela garantit qu'une sortie analogique est une représentation précise d'une entrée, généralement avec une amplitude plus élevée (amplifiée). Un exemple typique d'équipement linéaire est un amplificateur audio haute fidélité , qui doit amplifier un signal sans modifier sa forme d'onde. D'autres sont les filtres linéaires et les amplificateurs linéaires en général.

Dans la plupart des applications scientifiques et technologiques , par opposition aux applications mathématiques, quelque chose peut être décrit comme linéaire si la caractéristique est approximativement mais pas exactement une ligne droite ; et la linéarité peut être valable uniquement dans une certaine région de fonctionnement - par exemple, un amplificateur haute fidélité peut déformer un petit signal, mais suffisamment peu pour être acceptable (linéarité acceptable mais imparfaite) ; et peut déformer très gravement si l'entrée dépasse une certaine valeur.

Pour un appareil électronique (ou autre appareil physique) qui convertit une quantité en une autre quantité, Bertram S. Kolts écrit :

Il existe trois définitions de base de la linéarité intégrale couramment utilisées : la linéarité indépendante, la linéarité basée sur zéro et la linéarité terminale ou de point final. Dans chaque cas, la linéarité définit dans quelle mesure les performances réelles de l'appareil sur une plage de fonctionnement spécifiée se rapprochent d'une ligne droite. La linéarité est généralement mesurée en termes d'écart, ou de non-linéarité, par rapport à une ligne droite idéale et elle est généralement exprimée en termes de pourcentage de la pleine échelle , ou en ppm (parties par million) de la pleine échelle. En général, la ligne droite est obtenue en effectuant un ajustement des données par la méthode des moindres carrés. Les trois définitions varient selon la manière dont la ligne droite est positionnée par rapport aux performances réelles de l'appareil. De plus, ces trois définitions ignorent les erreurs de gain ou de décalage qui peuvent être présentes dans les caractéristiques de performances réelles de l'appareil.