Worldlex Wiki pour tout non nul et Cette définition est souvent généralisée en outre aux fonctions dont le domaine n'est pas cône dans
les fonctions de plusieurs variables réelles . Avec la définition des espaces vectoriels à la fin du XIXe siècle, ce concept a été naturellement étendu aux fonctions entre espaces vectoriels, puisqu'un n-uplet de valeurs de variables peut être considéré comme un vecteur de coordonnées . C'est ce point de vue plus général qui est décrit dans cet article.Il existe deux définitions couramment utilisées. La définition générale s'applique aux espaces vectoriels sur des corps arbitraires et se restreint aux degrés d'homogénéité qui sont des entiers .
La seconde définition suppose que l'on s'applique au corps des nombres réels , ou plus généralement à un corps ordonné . Cette définition restreint aux valeurs positives le facteur d'échelle qui y figure, et est donc appelée homogénéité positive , le qualificatif « positif » étant souvent omis lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion. L'homogénéité positive permet de considérer davantage de fonctions comme homogènes. Par exemple, la valeur absolue et toutes les normes sont des fonctions positivement homogènes qui ne le sont pas.
La restriction du facteur d'échelle à des valeurs réelles positives permet également de considérer des fonctions homogènes dont le degré d'homogénéité est un nombre réel quelconque.
homogénéité générale
Soient espaces vectoriels sur un corps cône linéaire dans
Une fonction homogène fonction partielle de domaine et satisfait
pour un certain entier
Les fonctions homogènes jouent un rôle fondamental en géométrie projective, car toute fonction homogène projectivisations de construction des schémas projectifs par la méthode Proj .
Homogénéité positive
Lorsqu'on travaille sur les nombres réels , ou plus généralement sur un corps ordonné , il est généralement pratique de considérer l'homogénéité positive , la définition étant exactement la même que celle de la section précédente, avec « l'exponentiation avec une base réelle positive est bien définie.
Même dans le cas des degrés entiers, de nombreuses fonctions utiles sont positivement homogènes sans être homogènes. C'est notamment le cas de la fonction valeur absolue et des normes , qui sont toutes positivement homogènes de degré complexe , puisque le corps des nombres complexes et tout espace vectoriel complexe peuvent être considérés comme des espaces vectoriels réels.
Le théorème des fonctions homogènes d'Euler est une caractérisation des fonctions différentiables positivement homogènes , qui peut être considérée comme le théorème fondamental sur les fonctions homogènes .
Exemples
0 Exemple simple
La fonction est homogène de degré 2 :
Valeur absolue et normes
La valeur absolue d'un nombre réel est une fonction positivement homogène de degré
0, La valeur absolue d'un nombre complexe est une fonction positivement homogène de son degré sur l'ensemble des nombres réels (c'est-à-dire, lorsqu'on considère les nombres complexes comme un espace vectoriel sur les nombres réels). Elle n'est pas homogène, ni sur l'ensemble des nombres réels, ni sur l'ensemble des nombres complexes.
Plus généralement, toute norme et semi-norme est une fonction positivement homogène de degré application linéaire entre espaces vectoriels sur un corps
De même, toute fonction multilinéaire est homogène de degré par définition de la multilinéarité : pour tout et
Polynômes homogènes
Min/max
Pour tout ensemble de poids, les fonctions suivantes sont positivement homogènes de degré 1, mais non homogènes :
Fonctions rationnelles
Les fonctions rationnelles formées comme le rapport de deux polynômes domaine , c'est-à-dire en dehors du cône linéaire formé par les zéros du dénominateur. Ainsi, si est homogène de degré et est homogène de degré , alors est homogène de degré en dehors des zéros de .
Contre-exemples
Les fonctions réelles homogènes d'une seule variable ont la forme suivante pour une certaine constante fonction affine , le logarithme naturel et la fonction exponentielle ne sont pas homogènes.
Théorème d'Euler
En résumé, le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes affirme que les fonctions positivement homogènes d'un degré donné sont exactement la solution d'une équation aux dérivées partielles spécifique . Plus précisément :
fonction (partielle) de n variables réelles, positivement homogène de degré k et continûment différentiable sur un certain ouvert de ℝⁿ, alors elle satisfait sur cet ouvert l' équation aux dérivées partielles suivante :En conséquence, si est continûment différentiable et homogène de degré , ses dérivées partielles du premier ordre sont homogènes de degré . Ceci résulte du théorème d'Euler en dérivant l'équation aux dérivées partielles par rapport à une variable.
Dans le cas d'une fonction d'une seule variable réelle ( ), le théorème implique qu'une fonction continûment différentiable et positivement homogène de degré valeur absolue .
0 Application aux équations différentielles
Généralisations
Homogénéité sous une action monoïde
Les définitions données ci-dessus sont toutes des cas particuliers de la notion plus générale d'homogénéité suivante, dans laquelle peut être n'importe quel ensemble (plutôt qu'un espace vectoriel) et les nombres réels peuvent être remplacés par la notion plus générale de monoïde .
Soit un monoïde d' élément neutre, soient et deux ensembles, et supposons que sur et il existe des actions monoïdes définies de . Soit un entier non négatif et soit une application. Alors est dit valeur absolue, alors est dit
Une fonction est (resp. ) si elle est homogène de degré sur (resp. absolument homogène de degré sur ).
Plus généralement, il est possible de définir les symboles pour avec étant autre qu'un entier (par exemple, si est l'ensemble des nombres réels et un nombre réel non nul, alors est défini même si n'est pas un entier). Dans ce cas, sera dit
La notion d' se généralise de manière similaire.
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