Worldlex Wiki Les fonctions élémentaires ont été définies initialement par Joseph Liouville en 1833. Une propriété essentielle est que toutes les fonctions élémentaires admettent des dérivées d'ordre quelconque, qui sont elles aussi élémentaires et peuvent être calculées algorithmiquement en appliquant les règles de dérivation (ou les règles de dérivation implicite dans le cas des racines). Le développement en série de Taylor d'une fonction élémentaire converge au voisinage de tout point de son domaine. Plus généralement, ce sont des fonctions analytiques globales , définies (éventuellement avec plusieurs valeurs , comme la fonction élémentaire `f` ou `f` ) pour tout argument complexe , sauf en des points isolés . En revanche, les primitives des fonctions élémentaires ne sont pas nécessairement élémentaires et il est difficile de déterminer si une fonction élémentaire donnée possède une primitive élémentaire.
Le résultat de Liouville établit que, si une fonction élémentaire admet une primitive élémentaire, alors cette primitive est une combinaison linéaire de logarithmes, dont les coefficients et les arguments sont des fonctions élémentaires intervenant, d'une certaine manière, dans la définition de la fonction. L' algorithme de Risch (1968) permet de déterminer si une fonction élémentaire admet une primitive élémentaire et, le cas échéant, de la calculer. Cependant, comprennentFonctions constantes : , , , la constante d'Euler-Mascheroni , la constante d'Apéry , la constante de Khinchin , etc. Tout nombre réel (ou complexe) constant. Certaines fonctions élémentaires d'une seule variable complexe telles que et . De plus, certaines classes de fonctions peuvent être obtenues par d'autres en utilisant les deux dernières règles. Par exemple, la fonction exponentielle composée avec
Exemples composites
Exemples de fonctions élémentaires :
- Addition, par exemple ( )
- Multiplication, par exemple ( )
- fonctions polynomiales
La dernière fonction est égale à , l' inverse du cosinus , dans tout le plan complexe .
Tous les monômes , polynômes , fonctions rationnelles et fonctions algébriques sont élémentaires.
Fonctions non élémentaires
Toutes les fonctions élémentaires sont analytiques au sens suivant : elles peuvent être étendues aux fonctions d’une variable complexe (éventuellement multivoque ) qui sont analytiques sauf en certains points isolés du plan complexe . Ainsi, les fonctions non analytiques telles que la fonction valeur absolue ne sont pas élémentaires, de même que la plupart des autres fonctions définies par morceaux .
Toutes les fonctions analytiques ne sont pas élémentaires. En fait, la plupart des fonctions spéciales ne le sont pas. Parmi les fonctions non élémentaires, on peut citer :
- la fonction gamma
- fonctions liouvilliennes non élémentaires , y compris
- l' intégrale exponentielle ( Ei ) l'intégrale logarithmique ( Li ou li ) et les intégrales de Fresnel ( S et C )
- la fonction d'erreur , , un fait qui peut ne pas être immédiatement évident, mais qui peut être prouvé à l'aide de l' algorithme de Risch
- d'autres intégrales non élémentaires , y compris l' intégrale de Dirichlet et l'intégrale elliptique .
Variables réelles et branches analytiques
Dans les contextes élémentaires des variables réelles, tels que le calcul différentiel et intégral et le précalcul, les expressions impliquant des racines, des logarithmes et des fonctions trigonométriques inverses sont souvent interprétées à l'aide de branches réelles fixées sur des domaines réels spécifiés. Cette convention diffère de la convention analytique utilisée dans la théorie des fonctions élémentaires et l'intégration en termes finis. Risch donne une définition précise des fonctions élémentaires « au sens de l'analyse » en utilisant des fonctions d'une variable complexe plutôt que d'une variable réelle. Dans ce cadre, les fonctions élémentaires sont construites à l'aide d'opérations algébriques, d'exponentielles et de logarithmes, et sont représentées dans des corps différentiels de fonctions méromorphes sur des régions du plan complexe ou sur des surfaces de Riemann.
Une équation algébrique telle que possède les branches analytiques locales et . L'identité réelle utilise la convention selon laquelle désigne la racine carrée réelle non négative, et passe donc d'une branche analytique à l'autre en . Ainsi, les restrictions de à et sont élémentaires, mais la fonction valeur absolue réelle usuelle sur un intervalle contenant ne constitue pas une branche analytique unique.
On retrouve la même distinction en analyse complexe. Whittaker et Watson remarquent que, bien que et , où , soient des fonctions de au sens général, elles ne sont pas des fonctions élémentaires du type analytique considéré. En calcul symbolique, des fonctions telles que la valeur absolue, le signe et les fonctions définies par morceaux peuvent être traitées en ajoutant une opération en escalier ou conditionnelle, formant ainsi une classe distincte d'anneaux de fonctions définies par morceaux.
Fermeture
Il découle directement de la définition que l'ensemble des fonctions élémentaires est stable par rapport aux opérations arithmétiques, à l'extraction de racines (algébriques) et à la composition. Les fonctions élémentaires sont stables par dérivation . Elles ne le sont pas par passage à la limite ni par somme infinie . De manière importante, les fonctions élémentaires ne sont intégration , comme le démontre le théorème de Liouville (voir intégrale non élémentaire) . Les fonctions liouvilliennes sont définies comme les fonctions élémentaires et, par récurrence, comme les intégrales des fonctions liouvilliennes.
Extensions
En analyse à la fin du XIXe siècle, les fonctions élémentaires étaient souvent classées en catégories successives selon le nombre d'intégrations indépendantes nécessaires à leur définition. Les fonctions exprimables sans intégration — celles engendrées par les fonctions rationnelles au moyen d'opérations algébriques, d'exponentiations, de logarithmes et de fonctions trigonométriques circulaires ou hyperboliques — étaient qualifiées de fonctions élémentaires de première espèce (au sens de Liouville). Les fonctions définies par une seule intégration d'une fonction algébrique, telles que la fonction d'erreur et les intégrales elliptiques, étaient des fonctions élémentaires de seconde espèce ; leurs inverses, les fonctions elliptiques, étaient considérées comme du même ordre. Les catégories supérieures (troisième, quatrième, etc.) correspondaient aux intégrales multiples de fonctions algébriques, donnant naissance aux fonctions hyperelliptiques et aux fonctions abéliennes plus générales.
Le point essentiel de cette classification était que la classe des fonctions élémentaires d'un type donné soit fermée par rapport aux opérations élémentaires — addition, multiplication, composition et différentiation — de sorte que la différentiation ne mène jamais en dehors de la même classe, tandis que l'intégration peut monter au type supérieur suivant.
Plus récemment, certains ont proposé d'étendre l'ensemble des fonctions élémentaires en y incluant certaines fonctions transcendantes , comme par exemple la fonction W de Lambert ou les fonctions elliptiques , toutes analytiques. Du point de vue du théorème de Liouville, leur principal atout est leur stabilité par dérivation. Par exemple, la fonction de Lambert dérivation implicite :
ce qui est encore une fois « élémentaire », pourvu que ce soit le cas.
Algèbre différentielle
La définition mathématique d'une fonction élémentaire est formalisée en algèbre différentielle . Un corps différentiel est un corps muni d'une opération supplémentaire de dérivation (version algébrique de la différentiation). Grâce à cette opération, on peut écrire de nouvelles équations et utiliser leurs solutions dans des extensions de l'algèbre. En partant du corps des fonctions rationnelles , on peut y ajouter deux types particuliers d'extensions transcendantes (le logarithme et l'exponentielle), construisant ainsi une structure contenant les fonctions élémentaires.
Un corps différentiel corps muni d'une qui sur la dérivée , étant linéaire (c'est-à ) et satisfaisant la règle du produit de Leibniz fonctions de constituent
Un élément une constante si .
Une fonction extension différentielle un corps différentiel fonction élémentaire si elle appartient à une chaîne finie (pour inclusion) de sous-corps différentiels de à algébrique sur le corps précédent, ou Avec cette définition, les fonctions élémentaires usuelles sont précisément les fonctions élémentaires sur le corps des fonctions rationnelles . Cette définition généralisée permet de considérer toute fonction transcendante comme élémentaire pour l'application du théorème de Liouville.