Worldlex Wiki Le terme est défini par consensus et ne possède donc pas de définition formelle générale, mais la liste des fonctions mathématiques contient des fonctions communément admises comme particulières.
équations différentielles ou comme intégrales de fonctions élémentaires . Par conséquent, les tables d'intégrales contiennent généralement des descriptions de fonctions spéciales, et les tables de fonctions spéciales recensent la plupart des intégrales importantes, ou du moins leur représentation intégrale. Les symétries des équations différentielles étant essentielles en physique comme en mathématiques, la théorie des fonctions spéciales est étroitement liée à la théorie des groupes et des algèbres de Lie , ainsi qu'à certains domaines de la physique mathématique .Les moteurs de calcul symbolique reconnaissent généralement la majorité des fonctions spéciales.
Notations utilisées pour les fonctions spéciales
Les fonctions dotées de notations internationales établies sont le sinus ( ), le cosinus ( ), la fonction exponentielle ( ) et la fonction d'erreur ( ou ).
Certaines fonctions spéciales possèdent plusieurs notations :
- Le logarithme naturel peut être noté , , , ou selon le contexte.
- La fonction tangente peut être notée , , ou (utilisée dans plusieurs langues européennes).
- L'arctangente peut être notée , , , ou .
- Les fonctions de Bessel peuvent être notées
Les indices servent souvent à indiquer les arguments, généralement des entiers. Dans certains cas, le point-virgule (;) ou même la barre oblique inverse (\) sont utilisés comme séparateurs d'arguments. Cela peut compliquer la traduction vers les langages algorithmiques.
Les exposants peuvent indiquer non seulement une puissance (exposant), mais aussi d'autres modifications de la fonction. Par exemple (notamment pour les fonctions trigonométriques et hyperboliques ) :
Évaluation des fonctions spéciales
La plupart des fonctions spéciales sont considérées comme des fonctions d'une variable complexe . Elles sont analytiques ; leurs singularités et coupures sont décrites ; leurs représentations différentielle et intégrale sont connues et leur développement en série de Taylor ou en série asymptotique est disponible. De plus, il existe parfois des relations avec d'autres fonctions spéciales ; une fonction spéciale complexe peut être exprimée à l'aide de fonctions plus simples. Différentes représentations peuvent être utilisées pour leur évaluation ; la plus simple consiste à les développer en série de Taylor. Cependant, une telle représentation peut converger lentement, voire pas du tout. Dans les langages algorithmiques, on utilise généralement des approximations rationnelles , bien que celles-ci puissent se comporter de manière insatisfaisante dans le cas d'arguments complexes.
Historique des fonctions spéciales
Théorie classique
Alors que la trigonométrie et les fonctions exponentielles furent systématisées et unifiées au XVIIIe siècle, la recherche d'une théorie complète et unifiée des fonctions spéciales se poursuivit depuis le XIXe siècle. L'apogée de la théorie des fonctions spéciales entre 1800 et 1900 fut la théorie des fonctions elliptiques ; des traités quasi complets, tels que celui de Tannery et Molk [ exposèrent toutes les identités fondamentales de la théorie à l'aide de techniques issues de la théorie analytique des fonctions (basée sur l'analyse complexe . La fin du siècle vit également une étude très approfondie des harmoniques sphériques .
Motivations changeantes et fixes
Tandis que les mathématiciens purs recherchaient une théorie générale permettant de dériver le plus grand nombre possible de fonctions spéciales connues à partir d'un principe unique, les fonctions spéciales restèrent longtemps le domaine des mathématiques appliquées . Leurs applications aux sciences physiques et à l'ingénierie déterminèrent leur importance relative. Avant l'avènement du calcul électronique , l'importance d'une fonction spéciale était confirmée par le calcul laborieux de tables de valeurs étendues, consultables rapidement , comme les tables de logarithmes . ( La machine à différences de Babbage était une tentative de calcul de telles tables.) Les principales techniques utilisées à cette fin sont les suivantes :
- l'analyse numérique , la découverte de séries infinies ou d'autres expressions analytiques permettant un calcul rapide ; et
- réduction du plus grand nombre possible de fonctions à la fonction donnée.
Parmi les questions plus théoriques, on peut citer : l'analyse asymptotique ; le prolongement analytique et la monodromie dans le plan complexe ; et les principes de symétrie et autres équations structurelles.
XXe siècle
Le XXe siècle a connu plusieurs vagues d'intérêt pour la théorie des fonctions spéciales. Le manuel classique de Whittaker et Watson (1902) cherchait à unifier la théorie à l'aide de l'analyse complexe ; le livre de GN Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, a poussé les techniques aussi loin que possible pour un type important, y compris les résultats asymptotiques.
Le projet ultérieur de manuscrits Bateman , sous la direction d' Arthur Erdélyi , tentait d'être encyclopédique et est apparu à peu près au moment où le calcul électronique prenait de l'importance et où la tabulation cessait d'être le principal enjeu.
Théories contemporaines
La théorie moderne des polynômes orthogonaux a une portée définie mais limitée. Les séries hypergéométriques , dont l'importance en astronomie et en physique mathématique a été mise en évidence par Felix Klein , ont donné naissance à une théorie complexe, nécessitant un aménagement conceptuel ultérieur. Les représentations par groupes de Lie offrent une généralisation immédiate des fonctions sphériques ; à partir de 1950, des pans entiers de la théorie classique ont été reformulés en termes de groupes de Lie. Par ailleurs, les travaux en combinatoire algébrique ont également ravivé l'intérêt pour d'anciens aspects de la théorie. Les conjectures d' Ian G. Macdonald ont contribué à l'ouverture de nouveaux domaines de recherche vastes et dynamiques, imprégnés de fonctions spéciales. Les équations aux différences finies commencent à s'imposer, au même titre que les équations différentielles, comme source de fonctions spéciales.
Fonctions spéciales en théorie des nombres
En théorie des nombres , certaines fonctions spéciales ont été traditionnellement étudiées, comme certaines séries de Dirichlet et les formes modulaires . Presque tous les aspects de la théorie des fonctions spéciales y sont abordés, ainsi que certains nouveaux, issus notamment de la théorie des fonctions aléatoires .
Fonctions spéciales des arguments de matrice
Des analogues de plusieurs fonctions spéciales ont été définis sur l'espace des matrices définies positives , parmi lesquels la fonction puissance qui remonte à Atle Selberg , la fonction gamma multivariée , et les types de fonctions de Bessel .
La bibliothèque numérique de fonctions mathématiques du NIST comporte une section consacrée à plusieurs fonctions spéciales d'arguments matriciels.
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