La trigonométrie ( grec ancien τρίγωνον ( trígōnon ) , « triangle », et μέτρον ( métron ) , « mesure » ) est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les ang...
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grec ancien τρίγωνον ( trígōnon ) , « triangle », et μέτρον ( métron ) , « mesure » ) est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs des côtés des triangles . Plus précisément, les fonctions trigonométriques relient les angles d'un triangle rectangle aux rapports des longueurs de ses côtés. Ce domaine a émergé dans le monde hellénistique au IIIe siècle avant J.-C., à partir d'applications de la géométrie aux études astronomiques . Les Grecs se sont concentrés sur le calcul des cordes , tandis que des mathématiciens indiens ont créé les plus anciennes tables de valeurs connues pour les rapports trigonométriques (également appelés fonctions trigonométriques ), comme le sinus . _3-0" rel="dc:references" typeof="mw:Transclusion mw:Extension/ref" data-mw="{"name":"ref","attrs":{"group":"","name":"FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia articles needing page number citations from January 2021]][[[Wikipedia:Citing sources|page needed]]]"},"body":{"id":"mw-reference-text-cite_note-FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_January_2021]][[[Wikipedia:Citing_sources|page needed]]]-3"},"parts":[{"template":{"target":{"wt":"sfnp","href":"./Template:Sfnp"},"params":{"1":{"wt":"Boyer"},"2":{"wt":"1991"},"p":{"wt":"{{page needed|date=January 2021}}"}},"i":0}}] [_3-0" rel="dc:references" typeof="mw:Transclusion mw:Extension/ref" data-mw="{"name":"ref","attrs":{"group":"","name":"FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia articles needing page number citations from January 2021]][[[Wikipedia:Citing sources|page needed]]]"},"body":{"id":"mw-reference-text-cite_note-FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_January_2021]][[[Wikipedia:Citing_sources|page needed]]]-3"},"parts":[{"template":{"target":{"wt":"sfnp","href":"./Template:Sfnp"},"params":{"1":{"wt":"Boyer"},"2":{"wt":"1991"},"p":{"wt":"{{page needed|date=January 2021}}"}},"i":0}}] 3 _3-0" rel="dc:references" typeof="mw:Transclusion mw:Extension/ref" data-mw="{"name":"ref","attrs":{"group":"","name":"FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia articles needing page number citations from January 2021]][[[Wikipedia:Citing sources|page needed]]]"},"body":{"id":"mw-reference-text-cite_note-FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_January_2021]][[[Wikipedia:Citing_sources|page needed]]]-3"},"parts":[{"template":{"target":{"wt":"sfnp","href":"./Template:Sfnp"},"params":{"1":{"wt":"Boyer"},"2":{"wt":"1991"},"p":{"wt":"{{page needed|date=January 2021}}"}},"i":0}}] ]_3-0" rel="dc:references" typeof="mw:Transclusion mw:Extension/ref" data-mw="{"name":"ref","attrs":{"group":"","name":"FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia articles needing page number citations from January 2021]][[[Wikipedia:Citing sources|page needed]]]"},"body":{"id":"mw-reference-text-cite_note-FOOTNOTEBoyer1991[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_January_2021]][[[Wikipedia:Citing_sources|page needed]]]-3"},"parts":[{"template":{"target":{"wt":"sfnp","href":"./Template:Sfnp"},"params":{"1":{"wt":"Boyer"},"2":{"wt":"1991"},"p":{"wt":"{{page needed|date=January 2021}}"}},"i":0}}]
Hipparque , à qui l’on attribue la compilation de la première table trigonométrique , a été décrit comme « le père de la trigonométrie ».
Les astronomes sumériens étudiaient la mesure des angles en divisant le cercle en 360 degrés. Eux, puis les Babyloniens , étudièrent les rapports des côtés des triangles semblables et découvrirent certaines propriétés de ces rapports, sans toutefois en faire une méthode systématique pour calculer les côtés et les angles des triangles. Les anciens Nubiens utilisaient une méthode similaire.
Au IIIe siècle avant J.-C., des mathématiciens hellénistiques tels qu'Euclide et Archimède étudièrent les propriétés des cordes et des angles inscrits dans les cercles. Ils démontrèrent des théorèmes équivalents aux formules trigonométriques modernes, bien qu'ils les présentassent géométriquement plutôt qu'algébriquement. En 140 avant J.-C., Hipparque (de Nicée , en Asie Mineure) établit les premières tables de cordes, analogues aux tables modernes de sinus , et les utilisa pour résoudre des problèmes de trigonométrie et de trigonométrie sphérique . Au IIe siècle après J.-C., l'astronome gréco-égyptien Ptolémée (d'Alexandrie, en Égypte) construisit des tables trigonométriques détaillées ( la table des cordes de Ptolémée ) dans le livre I, chapitre 11 de son Almageste . Ptolémée utilisa la longueur des cordes pour définir ses fonctions trigonométriques, une différence mineure par rapport à la convention du sinus que nous utilisons aujourd'hui. (La valeur que nous appelons sin(θ) peut être trouvée en cherchant la longueur de la corde pour deux fois l'angle d'intérêt (2θ) dans la table de Ptolémée, puis en divisant cette valeur par deux.) Des siècles se sont écoulés avant que des tables plus détaillées ne soient produites, et le traité de Ptolémée est resté utilisé pour effectuer des calculs trigonométriques en astronomie pendant les 1200 années suivantes dans les mondes byzantin médiéval , islamique et, plus tard, d'Europe occidentale.
La définition moderne du sinus est attestée pour la première fois dans le Surya Siddhanta , et ses propriétés furent documentées plus en détail au Ve siècle par le mathématicien et astronome indien Aryabhata . Ces ouvrages grecs et indiens furent traduits et enrichis par des mathématiciens musulmans du Moyen Âge . En 830, le mathématicien persan Habash al-Hasib al-Marwazi produisit la première table de cotangentes. Au Xe siècle, dans l'ouvrage du mathématicien persan Abū al-Wafā' al-Būzjānī , les six fonctions trigonométriques étaient utilisées. Abu al-Wafa disposait de tables de sinus par incréments de 0,25°, avec une précision de huit décimales, et de tables précises des valeurs de la tangente. Il a également apporté d'importantes innovations à la trigonométrie sphérique. Le polymathe persan Nasir al-Din al-Tusi est considéré comme le créateur de la trigonométrie en tant que discipline mathématique à part entière. Il fut le premier à traiter la trigonométrie comme une discipline mathématique indépendante de l'astronomie et il développa la trigonométrie sphérique sous sa forme actuelle. Il a répertorié les six cas distincts d'un triangle rectangle en trigonométrie sphérique et, dans son ouvrage « Sur la figure sectorielle » , il a énoncé la loi des sinus pour les triangles plans et sphériques, découvert la loi des tangentes pour les triangles sphériques et fourni des démonstrations de ces deux lois. La connaissance des fonctions et des méthodes trigonométriques parvint en Europe occidentale grâce aux traductions latines de l'Almageste grec de Ptolémée , ainsi qu'aux travaux d' astronomes persans et arabes tels qu'Al-Battani et Nasir al-Din al-Tusi . L'un des premiers ouvrages sur la trigonométrie écrits par un mathématicien d'Europe du Nord est De Triangulis , du mathématicien allemand Regiomontanus ( XVe siècle) , qui fut encouragé à écrire et reçut un exemplaire de l' Almageste par…Le cardinal byzantin Basilios Bessarion, érudit grec, chez qui il vécut plusieurs années. Parallèlement, une autre traduction de l' Almageste du grec en latin fut achevée par le Crétois Georges de Trébizonde . La trigonométrie était encore si peu connue en Europe du Nord au XVIe siècle que Nicolas Copernic consacra deux chapitres de son ouvrage De revolutionibus orbium coelestium à l'explication de ses concepts fondamentaux.
Poussée par les exigences de la navigation et le besoin croissant de cartes précises de vastes régions géographiques, la trigonométrie est devenue une branche majeure des mathématiques. Bartholomaeus Pitiscus fut le premier à utiliser le terme, publiant sa Trigonometria en 1595. Gemma Frisius décrivit pour la première fois la méthode de triangulation encore utilisée aujourd'hui en topographie. C'est Leonhard Euler qui intégra pleinement les nombres complexes à la trigonométrie. Les travaux des mathématiciens écossais James Gregory au XVIIe siècle et Colin Maclaurin au XVIIIe siècle ont influencé le développement des séries trigonométriques . Toujours au XVIIIe siècle, Brook Taylor définit la série de Taylor générale .
Rapports trigonométriques
Dans ce triangle rectangle : semblables .
Ces rapports définissent donc des fonctions de cet angle, appelées fonctions trigonométriques . Plus précisément, elles sont définies ci-dessous comme des fonctions de l'angle A connu , où a , b et h désignent les longueurs des côtés sur la figure ci-jointe.
Dans les définitions suivantes, l' hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (90°) d'un triangle rectangle ; c'est le côté le plus long du triangle et l'un des deux côtés adjacents à l'angle A. Le côté adjacent est l'autre côté adjacent à l'angle A. Le côté opposé est le côté qui est opposé à l'angle A. Les termes « perpendiculaire » et « base » sont parfois utilisés pour désigner respectivement les côtés opposé et adjacent. Voir ci-dessous la section « Mnémoniques » .
Le sinus (noté sin), défini comme le rapport du côté opposé à l'angle à l'hypoténuse.
Le cosinus (noté cos) est défini comme le rapport du côté adjacent (le côté du triangle joignant l'angle à l'angle droit) à l'hypoténuse.
La tangente (notée tan) est définie comme le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Les inverses de ces rapports sont respectivement appelés cosécante (csc), sécante (sec) et cotangente (cot) :
Le cosinus, la cotangente et la cosécante sont ainsi nommés parce qu'ils sont respectivement le sinus, la tangente et la sécante de l'angle complémentaire abrégé en « co- ».
Grâce à ces fonctions, on peut répondre à pratiquement toutes les questions concernant les triangles quelconques en utilisant la loi des sinus et la loi des cosinus . Ces lois peuvent être utilisées pour calculer les angles et les côtés restants de n'importe quel triangle dès lors que deux côtés et l'angle compris entre eux, ou deux angles et un côté, ou trois côtés, sont connus.
moyens mnémotechniques est courante pour se souvenir des faits et des relations en trigonométrie. Par exemple, les rapports sinus , cosinus et tangente dans un triangle rectangle peuvent être mémorisés en les représentant, ainsi que leurs côtés correspondants, par des suites de lettres. Par exemple, un moyen mnémotechnique est SOH-CAH-TOA :
Sinus = Opposé ÷ Hypothénuse
Cosinus = Adjacent ÷ Hypothénuse
Tangente = Opposé ÷ Adjacent
[ 35 méthode consiste à les lettres en une phrase, comme « Some Old Hippie Caught Another Hippie Trippin ' On Acid » . [
Le cercle trigonométrique et les valeurs trigonométriques courantes
Fig. 1a – Sinus et cosinus d'un angle θ définis à l'aide du cercle trigonométriqueIndication du signe et de la valeur des angles clés en fonction du sens de rotation
Les rapports trigonométriques peuvent également être représentés à l'aide du cercle unité , qui est le cercle de rayon 1 centré à l'origine dans le plan. Dans ce cadre, le côté terminal d'un angle A placé en position standard coupe le cercle unité en un point (x,y), où et . Cette représentation permet le calcul de valeurs trigonométriques courantes, telles que celles du tableau suivant :
Entrée (Radians)
0
Entrée (Degrés)
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
sinus
cosinus
tangente
indéfini
sécante
indéfini
cosécante
indéfini
indéfini
cotangente
indéfini
indéfini
Fonctions trigonométriques de variables réelles ou complexes
cercle unité , on peut étendre les définitions des rapports trigonométriques à tous les arguments positifs et négatifs (voir fonction trigonométrique ).
Graphiques des fonctions trigonométriques
Le tableau suivant résume les propriétés des graphiques des six principales fonctions trigonométriques :
Fonction
Période
Domaine
Gamme
Graphique
sinus
cosinus
tangente
sécante
cosécante
cotangente
Fonctions trigonométriques inverses
injectives (ou bijectives) et ne sont donc pas inversibles. En restreignant le domaine d'une fonction trigonométrique, on peut cependant la rendre inversible.
Les noms des fonctions trigonométriques inverses, ainsi que leurs domaines et images, se trouvent dans le tableau suivant :
Cette fonction exponentielle complexe, écrite en termes de fonctions trigonométriques, est particulièrement utile.
Calcul des fonctions trigonométriques
tables mathématiques . Ces tables étaient intégrées aux manuels de mathématiques et les élèves apprenaient à y rechercher des valeurs et à interpoler entre ces valeurs pour obtenir une plus grande précision. Les règles à calcul comportaient des échelles spéciales pour les fonctions trigonométriques.
Les calculatrices scientifiques possèdent des touches permettant de calculer les principales fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente et parfois cis et leurs inverses). La plupart offrent un choix d'unités de mesure d'angle : degrés , radians et parfois grades . La plupart des langages de programmation proposent des bibliothèques de fonctions incluant les fonctions trigonométriques. L' unité de calcul en virgule flottante intégrée aux microprocesseurs utilisés dans la plupart des ordinateurs personnels contient des instructions pour le calcul des fonctions trigonométriques.
Autres fonctions trigonométriques
corde ( versin(coversine(haversine(exsécante(la liste des identités trigonométriquespour plus de relations entre ces fonctions.
On utilise un sextant pour mesurer l'angle du soleil ou des étoiles par rapport à l'horizon. Grâce à la trigonométrie et à un chronomètre de marine , on peut déterminer la position du navire à partir de ces mesures.
Historiquement, la trigonométrie a été utilisée pour localiser les latitudes et les longitudes des navires à voile, tracer des routes et calculer les distances pendant la navigation.
topographie , la trigonométrie est utilisée pour calculer les longueurs, les surfaces et les angles relatifs entre les objets.
À plus grande échelle, la trigonométrie est utilisée en géographie pour mesurer les distances entre les points de repère.
Fonctions périodiques
La fonction (en rouge) est la somme de six fonctions sinus d'amplitudes différentes et de fréquences harmoniques. Leur somme est appelée série de Fourier. La transformée de Fourier (en bleu), qui représente l'amplitude en fonction de la fréquence , révèle les six fréquences ( aux harmoniques impaires ) et leurs amplitudes ( l'inverse du nombre impair ).
sciences physiques , notamment en acoustique , et en optique . Dans ces domaines, elle est utilisée pour décrire les ondes sonores et lumineuses et pour résoudre les problèmes liés aux limites et à la transmission.
Triangle dont les côtés sont a , b et c et dont les angles opposés sont respectivement A , B et C.
La trigonométrie est connue pour ses nombreuses identités, c'est-à-dire des équations qui sont vraies pour toutes les entrées possibles.
Les identités ne faisant intervenir que des angles sont appelées identités trigonométriques . D'autres équations, connues sous le nom d'identités triangulaires , relient à la fois les côtés et les angles d'un triangle donné.
identités triangulaires
loi des sinus (également connue sous le nom de « règle des sinus ») pour un triangle quelconque stipule :
où A est l'aire du triangle et R est le rayon du cercle circonscrit au triangle :
Loi des cosinus
La loi des cosinus (connue sous le nom de formule des cosinus ou de « règle des cos ») est une extension du théorème de Pythagore aux triangles arbitraires :
ou, de manière équivalente :
Loi des tangentes
La loi des tangentes , développée par François Viète , est une alternative à la loi des cosinus pour la détermination des côtés inconnus d'un triangle, offrant des calculs plus simples lors de l'utilisation de tables trigonométriques. Elle s'énonce ainsi :
Zone
Étant donné deux côtés a et b et l'angle entre les côtés C , l' aire du triangle est donnée par la moitié du produit des longueurs des deux côtés et du sinus de l'angle entre les deux côtés :
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