Worldlex Wiki Le plan complexe permet une interprétation géométrique des nombres complexes. L' addition de ces nombres se comporte comme celle de vecteurs . La multiplication de deux nombres complexes s'exprime plus aisément en coordonnées polaires : le module valeurs absolues , et l' argument du produit est la somme des deux arguments. En particulier, la multiplication par un nombre complexe de module 1 correspond à une ( groupe du cercle ).
Le plan complexe est parfois appelé plan d'Argand ou plan de Gauss .
analyse complexe , les nombres complexes sont habituellement représentés par le symboleDiagramme d'Argand
Dans le plan complexe, les longueurs des droites et des courbes sont des nombres réels : la longueur physique de la droite ou de la courbe divisée par la longueur physique du rayon du cercle unité. De même, les angles formés par deux demi-droites issues d'un point quelconque du plan complexe sont des nombres réels : la mesure de l'angle en radians (c'est-à-dire le nombre de radians dans l'angle). En particulier, l'argument (ou phase) d'un nombre complexe est un nombre réel, et non un angle physique.
projections stéréographiques
Il peut être utile de se représenter le plan complexe comme s'il occupait la surface d'une sphère. Considérons une sphère de rayon unité, dont le centre est placé à l'origine du plan complexe, orientée de sorte que l'équateur de la sphère coïncide avec le cercle unité du plan, et que le pôle Nord soit situé « au-dessus » du plan.
On peut établir une correspondance biunivoque entre les points de la surface de la sphère, à l'exception du pôle Nord, et les points du plan complexe de la manière suivante. Étant donné un point du plan, on trace une droite le reliant au pôle Nord de la sphère. Cette droite coupe la surface de la sphère en un seul point. Le point point à l'infini – et en l'identifiant au pôle Nord sur la sphère. Cet espace topologique, le plan complexe augmenté du point à l'infini, est appelé plan complexe étendu . On parle d'un unique « point à l'infini » en analyse complexe. Il existe deux points à l'infini (positif et négatif) sur la droite réelle , mais un seul point à l'infini (le pôle Nord) dans le plan complexe étendu.
Imaginez un instant ce qui se passe lorsque l'on projette les lignes de latitude et de longitude de la sphère sur un plan. Les lignes de latitude étant toutes parallèles à l'équateur, elles deviennent des cercles parfaits centrés sur l'origine
Avant de pouvoir traiter cette relation comme une fonction univoque , il faut restreindre d'une manière ou d'une autre l'ensemble des valeurs possibles de la valeur résultante. Dans le cas des racines carrées de nombres réels non négatifs, cela se fait aisément. Par exemple, on peut simplement définir
Soit le nombre réel non négatif
De toute évidence, lorsque point de branchement
projection stéréographique décrite précédemment . Sur la sphère, l'une de ces coupes traverse longitudinalement l'hémisphère sud, reliant un point de l'équateur ( fonction méromorphe est une fonction complexe holomorphe , et donc analytique partout sur son domaine, sauf en un nombre fini, ou dénombrable , de points. Les points où une telle fonction n'est pas définie sont appelés les pôles de la fonction méromorphe. Parfois, tous ces pôles sont alignés. Dans ce cas, on dit que la fonction est « holomorphe sur le plan de coupure ». Par exemple :
La fonction gamma , définie par
où constante d'Euler-Mascheroni , et possède des pôles simples en produit infini s'annule lorsque perforer le plan en un ensemble dénombrable infini de points intégrale de contour non nécessairement nulle, d'après le théorème des résidus . La coupure du plan complexe garantit non seulement que des séries infinies , ou par des fractions continues . Un aspect fondamental de l'analyse de ces expressions infiniment longues consiste à identifier la portion du plan complexe dans laquelle elles convergent vers une valeur finie. Une coupure dans ce plan peut faciliter ce processus, comme le montrent les exemples suivants.
Considérons la fonction définie par la série infinie
Puisque paire
Il est judicieux de découper le plan le long de l'axe imaginaire entier et d'établir la convergence de cette série lorsque la partie réelle de
On peut démontrer que déjà vu comment la relation
de quoi nous pouvons conclure que la dérivée de
Comme évoqué précédemment , comment construire cette surface ? Nous partons à nouveau de deux copies du plan D'un point de vue topologique , les deux versions de cette surface de Riemann sont équivalentes – ce sont des surfaces bidimensionnelles orientables de genre un.
Utilisation en théorie du contrôle
Une autre application du plan complexe concerne le critère de stabilité de Nyquist . Il s'agit d'un principe géométrique qui permet de déterminer la stabilité d'un système à rétroaction en boucle fermée en examinant le diagramme de Nyquist de sa réponse en amplitude et en phase en boucle ouverte en fonction de la fréquence (ou fonction de transfert de boucle ) dans le plan complexe.
Le plan à temps discret du plan les transformées espaces quadratiques distincts . Pour un point fonction carrée des formes quadratiques . La première est souvent négligée du fait de l'utilisation de la seconde pour définir une métrique sur le plan complexe. Le plan complexe considéré dans cet article est l' quotient dont l' idéal est le polynôme du second degré associé à l' unité imaginaire . Il existe deux autres idéaux qui définissent des anneaux quotients qui sont des algèbres réelles de dimension deux, et donc des « plans complexes ». Ce sont les algèbres quadratiques sur le corps des nombres réels.