Worldlex Wiki En mathématiques , l' image d'une fonction peut désigner soit son codomaine , soit son image . Dans certains cas, le codomaine et l'image d'une fonction sont confondus ; on dit alors que la fonction est surjective . Pour toute fonction non surjective, le codomaine et l'image sont différents ; cependant, on peut définir une nouvelle fonction dont le codomaine est l'image de la fonction initiale, et cette nouvelle fonction est surjective.
ensembles relation binaire élément domaine et le codomaine de sous-ensemble de codomaine . Les ouvrages plus récents, lorsqu'ils utilisent le mot « étendue », l'emploient généralement pour désigner ce que l'on appelle aujourd'hui l' image . Afin d'éviter toute confusion, certains ouvrages récents n'emploient pas du tout le mot « étendue ».Développement et exemple
Étant donné une fonction
Le domaine de , parfois noté ou , peut désigner le codomaine ou ensemble cible (c’est-à-dire l’ensemble dans lequel toutes les sorties de sont contraintes d’être incluses), ou , l’image du domaine de de par (c’est-à-dire le sous-ensemble de constitué de toutes les sorties effectives de ). L’image d’une fonction est toujours un sous-ensemble du codomaine de la fonction.
À titre d'exemple des deux usages différents, considérons la fonction telle qu'elle est utilisée en analyse réelle (c'est-à-dire comme une fonction qui prend un nombre réel en entrée et renvoie son carré). Dans ce cas, son codomaine est l'ensemble des nombres réels , mais son image est l'ensemble des nombres réels non négatifs , puisque le carré de n est toujours positif ou nul si n est réel. Pour cette fonction, si l'on utilise « image » pour désigner le codomaine , on fait référence à l'ensemble des nombres réels ; si l'on utilise « image » pour désigner l' ensemble des nombres réels positifs ou nuls , on fait référence à l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls .
Pour certaines fonctions, l'image et le codomaine coïncident ; ces fonctions sont dites surjectives . Par exemple, considérons la fonction qui prend un nombre réel en entrée et renvoie son double. Pour cette fonction, le codomaine et l'image sont tous deux l'ensemble des nombres réels, donc le terme « image » est sans ambiguïté.
Même lorsque l'image et le codomaine d'une fonction sont différents, une nouvelle fonction peut être définie de manière unique, son codomaine étant l'image de la fonction originale. Par exemple, la fonction de doublement, définie comme une fonction des entiers dans les entiers pairs, n'est pas surjective car seuls les entiers pairs font partie de son image. En revanche, une nouvelle fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers et le codomaine l'ensemble des entiers pairs est surjective. Le terme « image » est en effet non ambigu.