Fonction de Bessel

Les fonctions de Bessel sont une classe de fonctions spéciales qui apparaissent fréquemment dans les problèmes liés à la propagation des ondes , à la conduction thermique et à d'autres phénomènes physiques à symétrie circulaire ou cylindrique . Elles portent le nom de l'astronome et mathématicien allemand Friedrich Bessel , qui les a étudiées systématiquement en 1824.

Les fonctions de Bessel sont solutions d'un type particulier d' équation différentielle ordinaire : où est un nombre qui détermine la forme de la solution. Ce nombre est appelé l' ordre de la fonction de Bessel et peut être n'importe quel nombre complexe. Bien que la même équation s'applique à et , les mathématiciens définissent des fonctions de Bessel distinctes pour chacune afin de garantir une continuité des fonctions lorsque l'ordre change.

Les cas les plus importants sont ceux où n est un entier ou un demi-entier. Lorsque n est un entier, les fonctions de Bessel résultantes sont souvent appelées fonctions cylindriques ou harmoniques cylindriques , car elles apparaissent naturellement lors de la résolution de problèmes (comme l'équation de Laplace) en coordonnées cylindriques . Lorsque n est un demi-entier, les solutions sont appelées fonctions de Bessel sphériques et sont utilisées dans les systèmes sphériques, comme par exemple pour résoudre l' équation de Helmholtz en coordonnées sphériques .

Puisqu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire , les solutions peuvent être normalisées à n'importe quelle amplitude. Les amplitudes choisies pour les fonctions proviennent des premiers travaux où ces fonctions apparaissaient comme solutions d'intégrales définies plutôt que d'équations différentielles. L'équation différentielle étant du second ordre, il existe nécessairement deux solutions linéairement indépendantes : une de première espèce et une de seconde espèce. Selon le contexte, différentes formulations de ces solutions peuvent s'avérer utiles. Différentes variantes sont résumées dans le tableau ci-dessous et décrites dans les sections suivantes. L'indice n est généralement utilisé lorsque n est un entier.

Taper	Premier type	Deuxième type
Fonctions de Bessel	J α	Y α
Fonctions de Bessel modifiées	Fonctions Hankel	Fonctions sphériques de Bessel	Fonctions de Hankel sphériques	Les fonctions de Bessel de première espèce, notées série de Maclaurin (notons que méthode de Frobenius à l'équation de Bessel : où fonction gamma , une généralisation décalée de la fonction factorielle aux valeurs non entières. Certains auteurs antérieurs définissent la fonction de Bessel de première espèce différemment, essentiellement sans la division par z ; cette définition n'est pas utilisée dans cet article. La fonction de Bessel de première espèce est une fonction entière si fonction multivoque présentant une singularité en zéro. Les graphiques des fonctions de Bessel ressemblent approximativement à des fonctions sinus ou cosinus oscillantes qui décroissent proportionnellement à α (voir également leurs formes asymptotiques ci-dessous), bien que leurs racines ne soient généralement pas périodiques, sauf asymptotiquement pour x grand identités Cela signifie que les deux solutions ne sont plus linéairement indépendantes. Dans ce cas, la seconde solution linéairement indépendante est alors la fonction de Bessel de seconde espèce, comme expliqué ci-dessous. Intégrales de Bessel Une autre définition de la fonction de Bessel, pour des valeurs entières de C’est l’approche utilisée par Bessel , à partir de cette définition, il a déduit plusieurs propriétés de la fonction. La définition peut être étendue aux ordres non entiers par l’une des intégrales de Schläfli, pour 0"}},"i":0}}] Re( x ) > 0 : Relation avec les séries hypergéométriques Les fonctions de Bessel peuvent être exprimées en termes de série hypergéométrique généralisée comme Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel en termes de fonction de Bessel-Clifford . Relation avec les polynômes de Laguerre En termes de polynômes de Laguerre Fonctions de Bessel de seconde espèce : Y α Les fonctions de Bessel de seconde espèce, notées multivoques . Elles sont parfois appelées fonctions de Weber , car elles ont été introduites par 1873 ) , et également fonctions de Neumann d'après Carl Neumann . Dans le cas d'un ordre entier Si fonction digamma , la dérivée logarithmique de la fonction gamma . Il existe également une formule intégrale correspondante (pour 0"}},"i":0}}] Re( x ) > 0 ): Dans le cas où la constante d'Euler ) Les fonctions holomorphes à plan complexe coupé selon l'axe réel négatif. Lorsque des fonctions entières de le théorème de Fuchs . Fonctions de Hankel : H

Deux formules intégrales pour les fonctions de Bessel modifiées sont (pour 0"}},"i":0}}] Re( x ) > 0 ):

Les fonctions de Bessel peuvent être décrites comme des transformées de Fourier de puissances de fonctions quadratiques. Par exemple (pour 0"}},"i":0}}] Re(ω) > 0 ) :

Cela peut être démontré en montrant l'égalité avec la définition intégrale ci-dessus pour

Les fonctions de Bessel modifiées

La fonction de Bessel modifiée est utile pour représenter la distribution de Laplace comme un mélange à échelle exponentielle de distributions normales.

La fonction de Bessel modifiée de seconde espèce a également été appelée par les noms suivants (désormais rares) :

• Fonction Basset d'après Alfred Barnard Basset
• Fonction de Bessel modifiée du troisième type
• Fonction de Hankel modifiée
• Fonction Macdonald après Hector Munro Macdonald

Lorsqu'on résout l' équation de Helmholtz en coordonnées sphériques par séparation des variables , l'équation radiale prend la forme suivante :

Les deux solutions linéairement indépendantes de cette équation sont appelées les fonctions de Bessel sphériques

η _n ; certains auteurs appellent ces fonctions les fonctions de Neumann sphériques .

Les relations avec les fonctions de Bessel ordinaires montrent directement que :

Les fonctions de Bessel sphériques peuvent également s'écrire comme (Formules de Rayleigh )

La fonction de Bessel sphérique d'ordre zéro de fonction sinc (non normalisée) . Les premières fonctions de Bessel sphériques sont : et

Les premières racines non nulles des premières fonctions de Bessel sphériques sont :

Les fonctions de Riccati -Bessel ne diffèrent que légèrement des fonctions de Bessel sphériques :

Elles satisfont à l'équation différentielle

Par exemple, ce type d'équation différentielle apparaît en mécanique quantique lors de la résolution de la composante radiale de l' équation de Schrödinger avec une barrière de potentiel cylindrique infinie hypothétique. Cette équation différentielle, ainsi que les solutions de Riccati-Bessel, interviennent également dans le problème de la diffusion des ondes électromagnétiques par une sphère, connue sous le nom de diffusion de Mie d'après la première solution publiée par Mie (1908). Voir par exemple Du (2004) pour des développements récents et des références.

Suite à Debye (1909), la notation asymptotiques suivantes . Pour de petits arguments , on obtient, lorsque n'est pas un entier négatif :

Lorsque

Pour la fonction de Bessel de seconde espèce, on distingue trois cas : où constante d’Euler-Mascheroni (0,5772…). Dans le deuxième cas (où γ est un entier positif), un terme domine sauf si γ est imaginaire.

Pour de grands arguments réels demi-entier) car elles ontdes zérosjusqu'à l'infini, ce qui devrait être exactement reproduit par tout développement asymptotique. Cependant, pour une valeur donnée de

(Pour

Ces résultats peuvent être étendus à d'autres valeurs de racine carrée ayant une partie réelle positive).

Pour les fonctions de Bessel modifiées, Hankel a également développé des développements asymptotiques :

Il existe également la forme asymptotique (pour de grands réels )

Lorsque

Pour les petits arguments , nous avons 0 \\end{cases} \\end{align}" 0\end{cases}}\end{aligned

Pour toute fonction de Bessel dont l'ordre n'est pas un entier négatif, les dérivées de la fonction peuvent être définies comme :

ou, de manière équivalente,

Ces formules peuvent être utilisées pour déterminer une relation de récurrence pour , dont une forme plus générale est donnée ci-dessous .

Pour un ordre entier série de Laurent pour une fonction génératrice : une approche utilisée par PA Hansen en 1843. (Cela peut être généralisé à un ordre non entier par intégration de contour ou d'autres méthodes.)

Les séries infinies de fonctions de Bessel de la forme où apparaissent de nombreux systèmes physiques et sont définies sous forme analytique par la

Un développement en série utilisant les fonctions de Bessel ( série de Kapteyn ) est

Une autre relation importante pour les ordres entiers est le développement de Jacobi-Anger : et

Cette dernière est équivalente à celle utilisée pour développer une onde plane en somme d'ondes cylindriques , ou pour trouver la série de Fourier d'un signal FM modulé en tonalité .

Plus généralement, une série est appelée développement de Neumann de le polynôme de Neumann .

Certaines fonctions admettent une représentation particulière grâce à la relation d'orthogonalité.

Plus généralement, si transformée de Laplace de −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] transformées de Fourier.

L'équation de Bessel étant hermitienne (auto-adjointe) lorsqu'elle est divisée par symbole de Kronecker , et zéro de série de Fourier-Bessel , où une fonction est développée dans la base des fonctions −1"}},"i":0}}]

Si l'on définit une fonction rectangulaire de fonction rectangle ), alors sa transformée de Hankel (d'un ordre donné −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] α −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] > − −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] ⁠ −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] fonction delta de Dirac. Ceci admet la limite (audistributionnel) :

Un changement de variables donne alors l' équation de fermeture : pour −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] α −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] > − −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] ⁠ −{{sfrac|1|2}}"}},"i":0}}] −1"}},"i":0}}]

Une autre propriété importante des équations de Bessel, découlant de l'identité d'Abel , concerne le wronskien des solutions : où −1"}},"i":0}}]

Pour −1"}},"i":0}}] α > −1 , la fonction entière paire de genre 1,

(Il existe un grand nombre d'autres intégrales et identités connues qui ne sont pas reproduites ici, mais que l'on peut trouver dans les références.)

Les fonctions de Bessel obéissent à un théorème de multiplication où