Fonctions hyperboliques inverses

En mathématiques , les fonctions hyperboliques inverses sont les inverses des fonctions hyperboliques , analogues aux fonctions circulaires inverses . On en compte six couramment utilisées : le sinus hyperbolique inverse, le cosinus hyperbolique inverse, la tangente hyperbolique inverse, la cosécante hyperbolique inverse, la sécante hyperbolique inverse et la cotangente hyperbolique inverse. Elles sont généralement notées par les symboles des fonctions hyperboliques, précédés de « arc- » ou « ar- », ou par un exposant. ${\displaystyle {-1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {-1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh ^{-1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>sinh</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sinh ^{-1}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour une valeur donnée d'une fonction hyperbolique, la fonction hyperbolique inverse fournit la mesure de l'angle hyperbolique correspondant , par exemple ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a <semantics><mrow><mstyle><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>un</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle nom de l'opérateur {arsinh} (sinh a) = a}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x. <semantics><mrow><mstyle><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle sinh (nom de l'opérateur {arsinh} x) = x.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}</annotation></semantics></math><img src=$ plan euclidien ), l'angle hyperbolique est égal à deux fois l' aire du secteur hyperbolique correspondant . Ceci est analogue à la mesure de l'angle circulaire, qui correspond à la longueur d'un arc du cercle unité dans le plan euclidien ou à deux fois l'aire du secteur circulaire correspondant . L'angle hyperbolique peut également être défini comme l'aire d'un secteur de l'hyperbole. ${\displaystyle xy=1. <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle xy=1.}</annotation></semantics></math><img src=$ des fonctions d'aire hyperbolique .

Les fonctions hyperboliques interviennent dans le calcul des angles et des distances en géométrie hyperbolique . Elles apparaissent également dans les solutions de nombreuses équations différentielles linéaires (comme l'équation définissant une chaînette ), d'équations cubiques et de l'équation de Laplace en coordonnées cartésiennes . Les équations de Laplace sont fondamentales dans de nombreux domaines de la physique , notamment l'électromagnétisme , le transfert de chaleur , la dynamique des fluides et la relativité restreinte .

Notation

Les symboles les plus anciens et les plus répandus utilisent le préfixe arc- (c’est-à-dire : , , ), par analogie avec les fonctions circulaires inverses ( ) ou dans le plan des nombres hyperboliques , la mesure de l’angle hyperbolique (argument des fonctions hyperboliques) est bien la longueur d’un arc hyperbolique.

On trouve également couramment la notation ${\displaystyle \sinh ^{-1}, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>sinh</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sinh ^{-1},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \cosh ^{-1}, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>matraque</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cosh ^{-1},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}x <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>sinh</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sinh ^{-1}x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}(x) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>sinh</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle sinh ^ {-1} (x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (\sinh x)^{-1 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle ( sinh x) ^ {-1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh(x)^{-1 <semantics><mrow><mstyle><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sinh(x)^{-1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1/\sinh x. <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1/\sinh x.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh ^{2}x <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>sinh</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sinh ^{2}x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (\sinh x)^{2 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\sinh x)^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sinh(\sinh x). <semantics><mrow><mstyle><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle sinh (sinh x).}</annotation></semantics></math><img src=$

L'argument des fonctions hyperboliques n'étant plan euclidien , certains auteurs ont critiqué le préfixe arc- , préconisant plutôt les préfixes ar- (pour » ) ou arg- (pour » ). Conformément à cette recommandation, la norme ISO 80000-2 utilise le préfixe ar- pour les abréviations (c'est-à-dire : , , ).

Dans les langages de programmation informatique, les fonctions circulaires inverses et hyperboliques sont souvent nommées avec le préfixe plus court a- ( Cet article adoptera systématiquement le préfixe ar- par commodité.

`Définitions en termes de logarithmes`

Puisque les fonctions hyperboliques sont des fonctions rationnelles quadratiques de la fonction exponentielle ${\displaystyle \exp x, <semantics><mrow><mstyle><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \exp x,}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}} ight)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}} ight)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}} ight)&-\infty &<x<\infty ,\ x eq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}} ight)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ { ext{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>∞</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mi></mi><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd><mi></mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>arcsch</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>∞</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>x</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cul</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi></mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>arcoth</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>∞</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mtext>ou</mtext></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mn>1</mn><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>∞</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}} ight)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}} ight)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}} ight)&-\infty &<x<\infty ,\ x eq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}} ight)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ { ext{ou}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour les arguments complexes , les fonctions circulaires et hyperboliques inverses, la racine carrée et le logarithme naturel sont toutes des fonctions multivaluées .

`Formules d'addition`

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>vous</mi><mo>±</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>v</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>±</mo><mi>v</mi><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>vous</mi><mo>±</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi><mi>v</mi><mo>±</mo><mrow><msqrt><mo>(</mo><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><msup><mi>v</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>vous</mi><mo>±</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>vous</mi><mo>±</mo><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>vous</mi><mi>v</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>arcoth</mi><mo>⁡</mo><mi>vous</mi><mo>±</mo><mi>arcoth</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>arcoth</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>vous</mi><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>vous</mi><mo>±</mo><mi>v</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}} ight)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}} ight)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>vous</mi><mo>+</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi><mi>v</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>(</mo><msup><mi>v</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>v</mi><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>+</mo><mi>vous</mi><mrow><msqrt><msup><mi>v</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}} ight)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}} ight)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

`Autres identités`

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mspace></mspace><mrow><mstyle><mtext> pour </mtext></mstyle></mrow><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>8</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mspace></mspace><mrow><mstyle><mtext> pour </mtext></mstyle></mrow><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mspace></mspace><mrow><mstyle><mtext> pour </mtext></mstyle></mrow><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}} ight)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}} ight)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}} ight)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}} ight)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

`Composition de fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses`

$1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad { ext{for}}\quad -1 1\end{aligned \begin{matrix} \sinh (arcosh x) = \sqrt{x^{2} - 1} pour | x | > 1 \\ \sinh (artanh x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} pour - 1 < x < 1 \\ matraque (arsinh x) = \sqrt{1 + x^{2}} \\ matraque (artanh x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} pour - 1 < x < 1 \\ \tanh (arsinh x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \\ \tanh (arcosh x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} pour | x | > 1 \end{matrix}$ 1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad { ext{pour}}\quad -11\end{aligned

`Composition de fonctions hyperboliques inverses et circulaires`

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left( an \alpha ight)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha ight)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }} ight)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>±</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arsinh} \left( an \alpha ight)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha ight)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }} ight)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \ln \left(\left| an \alpha ight| ight)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \ln \left(\left| an \alpha ight| ight)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

`Conversions`

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}} ight)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}} ight)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sgn</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}} ight)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}} ight)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}} ight)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sgn</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}} ight)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}} ight)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sgn</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}} ight)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}} ight) ight|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}} ight) ight| <semantics><mrow><mstyle><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><msqrt><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}} ight) ight|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}} ight) ight|}</annotation></semantics></math><img src=$

`Dérivés`

$1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{ ext{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{ ext{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{ ext{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{ ext{ for all real }}x{ ext{, except }}0\\\end{aligned \begin{matrix} \frac{d}{d x} arsinh x & = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}, pour tous les vrais x \\ \frac{d}{d x} arcosh x & = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}, pour tous les vrais x > 1 \\ \frac{d}{d x} artanh x & = \frac{1}{1 - x^{2}}, pour tous les vrais | x | < 1 \\ \frac{d}{d x} arcoth x & = \frac{1}{1 - x^{2}}, pour tous les vrais | x | > 1 \\ \frac{d}{d x} cul x & = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}, pour tous les vrais x \in (0, 1) \\ \frac{d}{d x} arcsch x & = \frac{- 1}{| x | \sqrt{1 + x^{2}}}, pour tous les vrais x, sauf 0 \end{matrix}$ 1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{ ext{ pour tout réel }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{ ext{ pour tout réel }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{ ext{ pour tout réel }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{ ext{ pour tout réel }}x{ ext{, sauf }}0\\\end{aligned

Ces formules peuvent être dérivées à partir des dérivées de fonctions hyperboliques. Par exemple, si ${\displaystyle x=\sinh heta <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x=\sinh heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${ extstyle dx/d heta =\cosh heta ={\sqrt {1+x^{2}}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle dx/d heta =\cosh heta ={\sqrt {1+x^{2}}},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d heta }{dx}}={\frac {1}{dx/d heta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>d</mi><mi>θ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d heta }{dx}}={\frac {1}{dx/d heta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

`Extensions de séries`

On peut obtenir des développements en série pour les fonctions ci-dessus :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}} ight){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}} ight){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}} ight){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}} ight){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x ight|<1\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mn>3</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>⋅</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mn>5</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>⋅</mo><mn>3</mn><mo>⋅</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>4</mn><mo>⋅</mo><mn>6</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>7</mn></mrow></msup><mn>7</mn></mfrac></mrow><mo>±</mo><mo>⋯</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>!</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}} ight){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}} ight){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}} ight){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}} ight){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x ight|<1\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

$1\end{aligned \begin{matrix} arcosh x & = \ln (2 x) - ((\frac{1}{2}) \frac{x^{- 2}}{2} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{x^{- 4}}{4} + (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{x^{- 6}}{6} + \dots) \\ = \ln (2 x) - \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}}) \frac{x^{- 2 n}}{2 n}, | x | > 1 \end{matrix}$ 1\end{aligned

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x ight|<1\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mn>3</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mn>5</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>7</mn></mrow></msup><mn>7</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mo>⋯</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x ight|<1\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

$1\end{aligned \begin{matrix} arcsch x = arsinh \frac{1}{x} & = x^{- 1} - (\frac{1}{2}) \frac{x^{- 3}}{3} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{x^{- 5}}{5} - (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{x^{- 7}}{7} \pm \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{(- 1)^{n} (2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}}) \frac{x^{- (2 n + 1)}}{2 n + 1}, | x | > 1 \end{matrix}$ 1\end{aligned

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}} ight){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}} ight){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}} ight){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots ight)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}} ight){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>cul</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>⋅</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mn>4</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>⋅</mo><mn>3</mn><mo>⋅</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>4</mn><mo>⋅</mo><mn>6</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>6</mn></mrow></msup><mn>6</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mo>⋯</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>!</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mn>0</mn><mo><</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}} ight){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}} ight){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}} ight){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots ight)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}} ight){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

$1\end{aligned \begin{matrix} arcoth x = artanh \frac{1}{x} & = x^{- 1} + \frac{x^{- 3}}{3} + \frac{x^{- 5}}{5} + \frac{x^{- 7}}{7} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{- (2 n + 1)}}{2 n + 1}, | x | > 1 \end{matrix}$ 1\end{aligned Un développement asymptotique de arsinh est donné par

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1} ight)^{n-1}{\frac {\left({2n-1} ight)!!}{2n\left({2n} ight)!!}}}{\frac {1}{x^{2n <semantics><mrow><mstyle><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1} ight)^{n-1}{\frac {\left({2n-1} ight)!!}{2n\left({2n} ight)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

`Valeurs principales dans le plan complexe`

Les fonctions hyperboliques inverses , en tant que fonctions d'une variable complexe , sont des fonctions multivoques analytiques sauf en un nombre fini de points. Pour une telle fonction, on définit généralement une valeur principale , qui est une fonction analytique univoque coïncidant avec une branche spécifique de la fonction multivoque, sur un domaine constitué du plan complexe dont on a supprimé un nombre fini d' arcs (généralement des demi-droites ou des segments de droite ). Ces arcs sont appelés coupures de branche . La valeur principale de la multifonction est choisie en un point particulier et les valeurs ailleurs dans le domaine de définition sont définies de manière à correspondre à celles obtenues par prolongement analytique .

Par exemple, pour la racine carrée, la valeur principale est définie comme la racine carrée ayant une partie réelle positive . Ceci définit une fonction analytique univoque, définie partout sauf pour les valeurs réelles non positives des variables (où les deux racines carrées ont une partie réelle nulle). Cette valeur principale de la fonction racine carrée est notée . ${\displaystyle {\sqrt {x <semantics><mrow><mstyle><mrow><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\sqrt {x}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Log} <semantics><mrow><mstyle><mi>Enregistrer</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {Log} }</annotation></semantics></math><img src=$

Pour toutes les fonctions hyperboliques inverses, la valeur principale peut être définie à partir des valeurs principales de la racine carrée et de la fonction logarithme. Cependant, dans certains cas, les formules de la Définitions à partir des logarithmes » ne donnent pas une valeur principale correcte, car elles définissent un domaine trop petit et, dans un cas, non connexe .

`Valeur principale du sinus hyperbolique inverse`

La valeur principale du sinus hyperbolique inverse est donnée par ${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,. <semantics><mrow><mstyle><mi>arsinh</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><mspace></mspace><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}</annotation></semantics></math><img src=$

L'argument de la racine carrée est un nombre réel non positif si et seulement si appartient à l'un des intervalles et l'axe imaginaire. Si l'argument du logarithme est réel, alors il est positif. Ainsi, cette formule définit une valeur principale pour arsinh, avec des coupures de branche et Ceci est optimal, car les coupures de branche doivent relier les points singuliers et infini.

`Valeur principale de l'arc cosinus hyperbolique`

n'est pas pratique, car, à l'instar des valeurs principales du logarithme et de la racine carrée, la valeur principale de l'arc cosinus n'est pas définie pour imaginaire . Il faut donc factoriser la racine carrée, ce qui conduit à… ${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,. <semantics><mrow><mstyle><mi>arcosh</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><mrow><msqrt><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><mspace></mspace><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}</annotation></semantics></math><img src=$

Les valeurs principales des racines carrées sont toutes deux définies, sauf si appartient à l'intervalle réel est réel et de même signe. Ainsi, la formule ci-dessus définit une valeur principale d'arcosh en dehors de l'intervalle réel Définitions en termes de logarithmes suggèrent ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}} ight)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}} ight)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>z</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>arcoth</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}} ight)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}} ight)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Afin d'obtenir une meilleure évaluation numérique au voisinage des coupures de branche, certains auteurs utilisent les définitions suivantes des valeurs principales, bien que la seconde introduise une singularité éliminable en ${\displaystyle \operatorname {artanh} <semantics><mrow><mstyle><mi>artanh</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {artanh} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} <semantics><mrow><mstyle><mi>arcoth</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arcoth} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z} ight)-{ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z} ight)\\\operatorname {arcoth} z&={ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}} ight)-{ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}} ight)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>artanh</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>arcoth</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z} ight)-{ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z} ight)\\\operatorname {arcoth} z&={ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}} ight)-{ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}} ight)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

`Valeur principale de la cosécante hyperbolique inverse`

Pour la cosécante hyperbolique inverse, la valeur principale est définie comme ${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\, ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>arcsch</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><mspace></mspace></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\, ight).}</annotation></semantics></math><img src=$

Elle est définie sauf lorsque les arguments du logarithme et de la racine carrée sont des nombres réels non positifs. La valeur principale de la racine carrée est donc définie en dehors de l'intervalle la droite imaginaire. Si l'argument du logarithme est réel, alors est un nombre réel non nul, ce qui implique que l'argument du logarithme est positif.

Ainsi, la valeur principale est définie par la formule ci-dessus à l'extérieur de la coupure de branche , constituée de l'intervalle de la ligne imaginaire.

(À , il existe un point singulier qui est inclus dans la coupure de branche.)

`Valeur principale de la sécante hyperbolique inverse`

Ici, comme dans le cas du cosinus hyperbolique inverse, nous devons factoriser la racine carrée. Cela donne la valeur principale ${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}} ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>cul</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>Enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><mspace></mspace><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$

Si l'argument d'une racine carrée est réel, alors est réel, et il s'ensuit que les deux valeurs principales des racines carrées sont définies, sauf si est réel et appartient à l'un des intervalles ( ou est également réel et négatif . Il s'ensuit que la valeur principale de √ ( , il existe un point singulier qui est inclus dans l'une des coupures de branche.

`Représentation graphique`

Dans la représentation graphique suivante des valeurs principales des fonctions hyperboliques inverses, les coupures de branche apparaissent comme des discontinuités de couleur. Le fait que toutes les coupures de branche apparaissent comme des discontinuités indique que ces valeurs principales ne peuvent être prolongées en fonctions analytiques définies sur des domaines plus grands. Autrement dit, les coupures de branche définies ci-dessus sont minimales.