Fonction polygamma

En mathématiques , la fonction polygamma d'ordre m est une fonction méromorphe sur les nombres complexes définie comme la dérivée ( m + 1) ième du logarithme de la fonction gamma :

Ainsi

où ψ ( z ) est la fonction digamma et Γ( z ) est la fonction gamma . Elles sont holomorphes sur . Pour tous les entiers non positifs ces fonctions polygamma ont un pôle d'ordre m + 1 . La fonction ψ ⁽¹⁾ ( z ) est parfois appelée fonction trigamma .

Lorsque m > 0 et Re z > 0 , la fonction polygamma est égale à

où est la fonction zêta de Hurwitz .

Ceci exprime la fonction polygamma comme la transformée de Laplace de ⁠(−1) ^{m +1} t ^m/1 − e ^{− t}⁠ . Il résulte du théorème de Bernstein sur les fonctions monotones que, pour m > 0 et x réel et non négatif, (−1) ^{m +1} ψ ^{( m )} ( x ) est une fonction complètement monotone.

Le fait de définir m = 0 dans la formule ci-dessus ne donne pas une représentation intégrale de la fonction digamma. La fonction digamma a une représentation intégrale, due à Gauss, qui est similaire au cas m = 0 ci-dessus mais qui a un terme supplémentaire ⁠l ^{− t}/t⁠ .

Il satisfait la relation de récurrence

qui – considéré comme un argument entier positif – conduit à une présentation de la somme des réciproques des puissances des nombres naturels :

et

pour tout , où est la constante d'Euler–Mascheroni . Comme la fonction log-gamma, les fonctions polygamma peuvent être généralisées du domaine uniquement aux nombres réels positifs uniquement en raison de leur relation de récurrence et d'une valeur de fonction donnée, disons ψ ^{( m )} (1) , sauf dans le cas m = 0 où la condition supplémentaire de monotonie stricte sur est toujours nécessaire. C'est une conséquence triviale du théorème de Bohr–Mollerup pour la fonction gamma où une convexité strictement logarithmique sur est exigée en plus. Le cas m = 0 doit être traité différemment car ψ ⁽⁰⁾ n'est pas normalisable à l'infini (la somme des réciproques ne converge pas).

où P _m est alternativement un polynôme pair ou impair de degré | m − 1 | à coefficients entiers et coefficient dominant (−1) ^m ⌈2 ^{m − 1} ⌉ . Ils obéissent à l'équation de récursivité

Le théorème de multiplication donne

et

pour la fonction digamma .

La fonction polygamma a la représentation en série

qui est valable pour les valeurs entières de m > 0 et tout complexe z différent d'un entier négatif. Cette représentation peut être écrite de manière plus compacte en termes de fonction zêta de Hurwitz comme suit

Cette relation peut par exemple être utilisée pour calculer les valeurs spéciales

Alternativement, le zêta de Hurwitz peut être compris comme généralisant le polygamma à un ordre arbitraire et non entier.

Une série supplémentaire peut être autorisée pour les fonctions polygamma. Comme le montre Schlömilch ,

Il s'agit d'un résultat du théorème de factorisation de Weierstrass . Ainsi, la fonction gamma peut maintenant être définie comme :

Maintenant, le logarithme naturel de la fonction gamma est facilement représentable :

Finalement, nous arrivons à une représentation de sommation pour la fonction polygamma :

Où δ _{n 0} est le delta de Kronecker .

Aussi le Lerch transcendant

peut être noté en termes de fonction polygamma

La série de Taylor à z = -1 est

et

qui converge pour | z | < 1 . Ici, ζ est la fonction zêta de Riemann . Cette série est facilement dérivée de la série de Taylor correspondante pour la fonction zêta de Hurwitz. Cette série peut être utilisée pour dériver un certain nombre de séries zêta rationnelles .

Ces séries non convergentes peuvent être utilisées pour obtenir rapidement une valeur d'approximation avec une certaine précision numérique au moins pour des arguments volumineux :

et

où nous avons choisi B ₁ = ⁠1/2⁠ , c'est-à-dire les nombres de Bernoulli de deuxième espèce.

La cotangente hyperbolique satisfait l'inégalité

et cela implique que la fonction

est non négative pour tout m ≥ 1 et t ≥ 0 . Il s'ensuit que la transformée de Laplace de cette fonction est complètement monotone. Par la représentation intégrale ci-dessus, nous concluons que

est complètement monotone. L'inégalité de convexité e ^t ≥ 1 + t implique que

est non négatif pour tout m ≥ 1 et t ≥ 0 , donc un argument de transformation de Laplace similaire donne la monotonie complète de

Par conséquent, pour tout m ≥ 1 et x > 0 ,

Comme les deux bornes sont strictement positives pour , nous avons : $0x>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0">

• Pour , la fonction digamma, , est strictement monotone croissante et strictement concave .
• Pour impair, les fonctions polygamma, , sont strictement positives, strictement monotones décroissantes et strictement convexes.
• Car même les fonctions polygamma, , sont strictement négatives, strictement monotones croissantes et strictement concaves.

Cela peut être vu dans le premier graphique ci-dessus.

Pour le cas de la fonction trigamma ( ), la formule d'inégalité finale ci-dessus pour , peut être réécrite comme : $0x>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0">

de sorte que pour : .