Fonction concave

En mathématiques , une fonction concave est une fonction pour laquelle la valeur de la fonction à toute combinaison convexe d'éléments du domaine est supérieure ou égale à cette combinaison convexe de ces éléments du domaine. De manière équivalente, une fonction concave est toute fonction pour laquelle l' hypographe est convexe. La classe des fonctions concaves est en un sens l'opposé de la classe des fonctions convexes . Une fonction concave est également appelée de manière synonyme concave vers le bas , concave vers le bas , convexe vers le haut , capuchon convexe ou convexe supérieur .

Une fonction à valeur réelle sur un intervalle (ou, plus généralement, un ensemble convexe dans l'espace vectoriel ) est dite concave si, pour tout et dans l'intervalle et pour tout ,

Une fonction est dite strictement concave si

$(1-\backslash alpha\; )f(x)+\backslash alpha\; f(y)\backslash ,f\left(\right(1-\alpha )x+\alpha \mathrm{et})>(1-\alpha )f\left(x\right)+\alpha f\left(\mathrm{et}\right)$(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e752449bb5a2241ddcd11bf7b7f7cd7e0a5b087">

pour tout et .

Pour une fonction , cette deuxième définition indique simplement que pour tout strictement compris entre et , le point sur le graphique de est au-dessus de la droite joignant les points et .

Une fonction est quasiconcave si les ensembles de contours supérieurs de la fonction sont des ensembles convexes.

1. Une fonction différentiable f est (strictement) concave sur un intervalle si et seulement si sa fonction dérivée f ′ est (strictement) monotone décroissante sur cet intervalle, c'est-à-dire qu'une fonction concave a une pente non croissante (décroissante) .
2. Les points où la concavité change (entre concave et convexe ) sont des points d'inflexion .
3. Si f est deux fois différentiable , alors f est concave si et seulement si f " est non positive (ou, de manière informelle, si l'" accélération " est non positive). Si f " est négative alors f ^est strictement concave, mais l'inverse n'est pas vrai, comme le montre f ( x ) = − x4 .
4. Si f est concave et différentiable, alors elle est bornée au-dessus par son approximation de Taylor du premier ordre :
5. Une fonction mesurable de Lebesgue sur un intervalle C est concave si et seulement si elle est concave en son milieu, c'est-à-dire pour tout x et y dans C
6. Si une fonction f est concave, et f (0) ≥ 0 , alors f est sous-additive sur . Preuve :
   • Puisque f est concave et 1 ≥ t ≥ 0 , en posant y = 0 nous avons
   • Pour :

1. Une fonction f est concave sur un ensemble convexe si et seulement si la fonction −f est une fonction convexe sur l'ensemble.
2. La somme de deux fonctions concaves est elle-même concave et donc le minimum ponctuel de deux fonctions concaves, c'est-à-dire que l'ensemble des fonctions concaves sur un domaine donné forme un demi-corps .
3. Près d'un maximum local strict à l'intérieur du domaine d'une fonction, la fonction doit être concave ; par réciproque partielle, si la dérivée d'une fonction strictement concave est nulle en un point, alors ce point est un maximum local.
4. Tout maximum local d'une fonction concave est aussi un maximum global . Une fonction strictement concave aura au plus un maximum global.

• Les fonctions et sont concaves sur leurs domaines, car leurs dérivées secondes et sont toujours négatives.
• La fonction logarithme est concave sur son domaine , car sa dérivée est une fonction strictement décroissante.
• Toute fonction affine est à la fois concave et convexe, mais ni strictement concave ni strictement convexe.
• La fonction sinus est concave sur l'intervalle .
• La fonction , où est le déterminant d'une matrice non définie négativement B , est concave.

• La courbure des rayons dans le calcul de l'atténuation des ondes radio dans l'atmosphère implique des fonctions concaves.
• Dans la théorie de l’utilité espérée pour le choix dans des conditions d’incertitude , les fonctions d’utilité cardinales des décideurs averses au risque sont concaves.
• Dans la théorie microéconomique , les fonctions de production sont généralement supposées concaves sur certains ou tous leurs domaines, ce qui entraîne des rendements décroissants des facteurs de production.
• En thermodynamique et en théorie de l'information , l'entropie est une fonction concave. Dans le cas de l'entropie thermodynamique, sans transition de phase, l'entropie en fonction des variables extensives est strictement concave. Si le système peut subir une transition de phase, et s'il est autorisé à se diviser en deux sous-systèmes de phase différente ( séparation de phase , par exemple ébullition), les paramètres d'entropie maximaux des sous-systèmes donneront lieu à une entropie combinée précisément sur la ligne droite entre les deux phases. Cela signifie que l'« entropie effective » d'un système avec transition de phase est l' enveloppe convexe de l'entropie sans séparation de phase ; par conséquent, l'entropie d'un système incluant une séparation de phase sera non strictement concave.