Illustration schématique d'une fonction bornée (en rouge) et d'une fonction non bornée (en bleu). Intuitivement, le graphe d'une fonction bornée reste à l'intérieur d'une bande ...
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Illustration schématique d'une fonction bornée (en rouge) et d'une fonction non bornée (en bleu). Intuitivement, le graphe d'une fonction bornée reste à l'intérieur d'une bande horizontale, contrairement à celui d'une fonction non bornée.
pour tout dans . Une fonction qui n'est pas bornée est dite non bornée .nombres naturels . Ainsi, une suite est dite bornée s'il existe un nombre réel tel que
pour tout nombre naturel . L'ensemble de toutes les suites bornées forme l' espace des suites .ensemble borné dans .La limitation locale est plus faible que la limitation générale . Une famille de fonctions limités peut être uniformément limité .
Un opérateur borné n'est pas une fonction bornée au sens de la définition donnée ici (sauf exception ), mais possède la propriété plus faible de préserver la bornitude ; les ensembles bornés sont transformés en ensembles bornés . Cette définition peut être étendue à toute fonction si elle admet la notion d'ensemble borné. La bornitude peut également être déterminée par l'observation d'un graphe.sinus est bornée puisque pour tout .
La fonction , définie pour tous les réels sauf −1 et 1, n'est pas bornée. Lorsque tend vers −1 ou 1, les valeurs de cette fonction augmentent en valeur absolue. On peut rendre cette fonction bornée en restreignant son domaine à, par exemple, , ou .fonction trigonométrique inverse arctangente définie comme : ou est croissante pour tous les nombres réels et bornée avec radians
D'après le théorème de la bornitude , toute fonction continue sur un intervalle fermé, tel que , est bornée. Plus généralement, toute fonction continue d'un espace compact dans un espace métrique est bornée., en vertu du théorème de Liouville . En particulier, le complexe doit être non borné puisqu'il est entier.un nombre rationnel et 1 pour un nombre irrationnel (cf. fonction de Dirichlet ) est bornée. Ainsi, une fonction n'a pas besoin d'être « régulière » pour être bornée. L'ensemble des fonctions bornées définies sur un intervalle est beaucoup plus grand que l'ensemble des fonctions continues sur cet intervalle. De plus, les fonctions continues ne sont pas nécessairement bornées ; par exemple, les fonctions f et g définies par f(x) = f(x) et g (x) = f(x) sont toutes deux continues, mais aucune n'est bornée. (Cependant, une fonction continue est nécessairement bornée si son domaine est à la fois fermé et borné. )
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