La transposée A <sub>T</sub> d'une matrice A s'obtient en effectuant une réflexion de ses éléments par rapport à sa diagonale principale. La répétition de cette opération sur la...
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La transposée A <sub>T</sub> d'une matrice A s'obtient en effectuant une réflexion de ses éléments par rapport à sa diagonale principale. La répétition de cette opération sur la matrice transposée permet de remettre les éléments à leur position initiale.
En algèbre linéaire , la transposition est une opération qui inverse une matrice par rapport à sa diagonale ; c'est-à-dire que la transposition inverse les indices de ligne et de colonne de la matrice Arthur Cayley .
Effectuez une symétrie axiale diagonale principale (qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit) pour obtenir
Si matrice symétrique ; c'est-à-dire que
Une matrice carrée dont la transposée est égale à son opposé est appelée matrice antisymétrique ; c'est-à -dire que
Une matrice complexe carrée dont la transposée est égale à la matrice dont chaque élément est remplacé par son conjugué complexe (noté ici avec une barre supérieure) est appelée matrice hermitienne (ce qui équivaut à dire que la matrice est égale à sa transposée conjuguée ) ; autrement dit,
Une matrice complexe carrée dont la transposée est égale à l'opposé de son conjugué complexe est appelée matrice antihermitienne ; c'est-à -dire que
Une matrice carrée dont la transposée est égale à son inverse est appelée matrice orthogonale ; c'est-à-dire que
Une matrice complexe carrée dont la transposée est égale à son inverse conjuguée est appelée matrice unitaire ; c'est-à-dire que
La transposée d'un scalaire est ce même scalaire. Combinée à la propriété précédente, cette propriété implique que la transposée est une application linéaire de l' espace des matrices
L'ordre des facteurs s'inverse. Par récurrence, ce résultat s'étend au cas général des matrices multiples.
Le déterminant d'une matrice carrée est identique au déterminant de sa transposée.
La transposée d'une matrice inversible est également inversible, et son inverse est la transposée de l'inverse de la matrice originale. La notation valeurs propres sont égales aux valeurs propres de sa transposée, puisqu'elles ont le même polynôme caractéristique . Cela se vérifie directement (voir Valeurs propres de la transposée) .
Sur n'importe quel terrain, une matrice carréeest similaire à.
Cela implique queetont les mêmes facteurs invariants , ce qui implique qu'ils partagent le même polynôme minimal, le même polynôme caractéristique et les mêmes valeurs propres, entre autres propriétés.
Une démonstration de cette propriété repose sur les deux observations suivantes.
Laisseretêtrematrices sur un corps de baseet laissezêtre une extension de champ de. Sietsont similaires à des matrices sur, alors ils sont similaires surCela s'applique notamment lorsqueest la clôture algébrique de.
Siest une matrice sur un corps algébriquement clos sous forme normale de Jordan par rapport à une certaine base, alorsest similaire àCela revient donc à prouver le même fait lorsqueIl s'agit d'un bloc Jordan simple, un exercice simple.
Produits
Si matriciel de ces deux matrices donne deux matrices carrées : des matrices symétriques . En effet, le produit matriciel produit scalaire d'une ligne de
Implémentation de la transposition matricielle sur ordinateur
Sur ordinateur , on peut souvent éviter de transposer explicitement une matrice en mémoire en accédant simplement aux mêmes données dans un ordre différent. Par exemple, les bibliothèques logicielles d' algèbre linéaire , telles que BLAS , offrent généralement des options permettant de spécifier que certaines matrices doivent être interprétées dans l'ordre transposé afin d'éviter les déplacements de données.
Cependant, il existe des cas où il est nécessaire ou souhaitable de réorganiser physiquement une matrice en mémoire pour obtenir son ordre transposé. Par exemple, pour une matrice stockée par lignes , les lignes sont contiguës en mémoire tandis que les colonnes ne le sont pas. Si des opérations répétées doivent être effectuées sur les colonnes, comme dans un algorithme de transformée de Fourier rapide , transposer la matrice en mémoire (pour rendre les colonnes contiguës) peut améliorer les performances en augmentant la localité mémoire .
Idéalement, on souhaiterait transposer une matrice avec un minimum d'espace mémoire supplémentaire. Ceci nous amène au problème de la transposition sur place d'une matrice de O(1) ou, au plus, bien inférieur à permutation complexe des éléments de données, difficile à implémenter sur place. Par conséquent, la transposition efficace de matrices sur place a fait l'objet de nombreuses publications de recherche en informatique depuis la fin des années 1950, et plusieurs algorithmes ont été développés.
Transposées d'applications linéaires et formes bilinéaires
Comme l'utilisation principale des matrices est de représenter des applications linéaires entre des espaces vectoriels de dimension finie , la transposée est une opération sur les matrices qui peut être vue comme la représentation d'une opération sur des applications linéaires.
Ceci conduit à une définition beaucoup plus générale de la transposée, valable pour toute application linéaire, même lorsque celles-ci ne peuvent être représentées par des matrices (comme dans le cas des espaces vectoriels de dimension infinie). En dimension finie, la matrice représentant la transposée d'une application linéaire est la transposée de la matrice représentant cette application, indépendamment du choix de la base .
Transposée d'une application linéaire
espace dual algébrique d'un module application linéaire , alors son adjoint algébrique , ou dual , est l'application pullback de relation suivante caractérise l'adjoint algébrique de appariement naturel (c'est-à-dire défini par -dessous ).
des formes bilinéaires non dégénérées application linéaire entre espaces vectoriels pour tout isomorphisme entre bases sont orthonormées par rapport à leurs formes bilinéaires. Dans ce contexte, de nombreux auteurs utilisent cependant le terme « transposée » pour désigner l'adjointe telle que définie ici.
L'adjoint nous permet de déterminer si groupe orthogonal sur un espace vectoriel des formes sesquilinéaires (conjuguées-linéaires par rapport à un argument) plutôt que des formes bilinéaires. L' adjoint hermitien d'une application entre de tels espaces est défini de manière analogue, et sa matrice est donnée par la transposée conjuguée si les bases sont orthonormées.
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