Worldlex Wiki mathématiques , tout espace vectoriel possède un espace vectoriel dual correspondant (ou simplement espace dual ) constitué de toutes les formes linéaires sur cet espace, ainsi que de la structure d'espace vectoriel d' addition ponctuelle et de multiplication scalaire par des constantes.
L'espace dual, tel que défini ci-dessus, est défini pour tout espace vectoriel et, pour éviter toute ambiguïté, peut également être appelé espace vectoriel topologique , il existe un sous-espace de l'espace dual, correspondant aux formes linéaires continues , appelé espace dual continu .
Les espaces vectoriels duaux trouvent des applications dans de nombreuses branches des mathématiques qui utilisent des espaces vectoriels, comme en analyse tensorielle avec des espaces vectoriels de dimension finie . Appliqués aux espaces vectoriels de fonctions (généralement de dimension infinie), les espaces duaux servent à décrire les mesures , les distributions et les espaces de Hilbert . Par conséquent, l'espace dual est un concept important en analyse fonctionnelle .
Parmi les premiers termes désignant un espace dual , on trouve polarer Raum [Hahn 1927], espace conjugué , espace adjoint [Alaoglu 1940] et transponierter Raum [Schauder 1930] et [Banach 1932]. Le terme dual est dû à Bourbaki en 1938.
Étant donné un espace vectoriel quelconque sur un corps , l' espace dual (algébrique) (également noté ou ) est défini comme l'ensemble de toutes les applications linéaires ( formes linéaires ). Puisque les applications linéaires sont des homomorphismes d'espaces vectoriels , l'espace dual peut être noté . L'espace dual lui-même devient un espace vectoriel sur lorsqu'il est muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire telles que : pour tous , , et . Par exemple, si l'on exprime l'espace vectoriel comme l'ensemble des vecteurs (où et sont des nombres réels), la fonctionPar exemple, si est , soit sa base choisie comme . Les vecteurs de cette base ne sont pas orthogonaux entre eux. Alors, et sont des 1-formes (fonctions qui associent à un vecteur un scalaire) telles que , , , et . (Remarque : l’exposant est ici un indice, et non un exposant.) Ce système d’équations peut être exprimé sous forme matricielle comme suit : La résolution de la première matrice pour les valeurs inconnues montre que la base duale est . Puisque et sont des fonctionnelles, elles peuvent être réécrites comme et .
En général, lorsque est , si est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs de base et est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs de base duale, alors où est la matrice identité d'ordre . La propriété de biorthogonalité de ces deux ensembles de bases permet de représenter tout point comme
même lorsque les vecteurs de base ne sont pas orthogonaux entre eux. À proprement parler, l'affirmation ci-dessus n'a de sens qu'une fois introduits le produit scalaire et le couplage de dualité correspondant, comme décrit ci-dessous dans
Si est l'espace des vecteurs géométriques du plan, alors les courbes de niveau d'un élément de forment une famille de droites parallèles dans , car l'image de est unidimensionnelle, de sorte que chaque point de l'image est un multiple d'un élément non nul quelconque. Ainsi, un élément de peut être intuitivement vu comme une famille particulière de droites parallèles recouvrant le plan. Pour calculer la valeur d'une fonctionnelle sur un vecteur donné, il suffit de déterminer sur quelles droites se trouve ce vecteur. De manière informelle, cela revient à « compter » le nombre de droites que le vecteur traverse. Plus généralement, si est un espace vectoriel de dimension quelconque, alors les ensembles de niveau d'une fonctionnelle linéaire dans sont des hyperplans parallèles dans , et l'action d'une fonctionnelle linéaire sur un vecteur peut être visualisée à l'aide de ces hyperplans.
Cas de dimension infinie
Si n'est pas de dimension finie mais a une base indexée par un ensemble infini , alors la même construction que dans le cas de dimension finie donne des éléments linéairement indépendants ( ) de l'espace dual, mais ils ne formeront pas une base.
Par exemple, considérons l'espace , dont les éléments sont les suites de nombres réels ne contenant qu'un nombre fini d'éléments non nuls, et dont la base est indexée par les nombres naturels . Pour , est la suite composée de tous les zéros sauf celui en position , qui vaut 1. L'espace dual de est (isomorphe à) , l'espace de toutes les suites de nombres réels : chaque suite réelle définit une fonction où l'élément de est associé au nombre
qui est une somme finie car il n'existe qu'un nombre fini de valeurs non nulles . La dimension de est dénombrable , tandis que n'admet pas de base dénombrable.
Cette observation se généralise à tout vectoriel de dimension infinie tout corps un choix de base s'identifie à l'espace des fonctions telles que soit non nulle pour seulement un nombre fini de , où une telle fonction est identifiée au vecteur
dans (la somme est finie par l'hypothèse sur , et tout peut être écrit de manière unique de cette façon par définition de la base).
L'espace dual de peut alors être identifié à l'espace de toutes les fonctions de vers : une forme linéaire sur est déterminée de manière unique par les valeurs qu'elle prend dans la base de , et toute fonction (avec ) définit une forme linéaire sur par
Là encore, la somme est finie car elle est non nulle pour seulement un nombre fini de valeurs .
L'ensemble peut être identifié (essentiellement par définition) à la somme directe d'une infinité de copies de (vu comme un espace vectoriel unidimensionnel sur lui-même) indexées par , c'est-à-dire qu'il existe des isomorphismes linéaires
D'autre part, est (encore une fois par définition), le produit direct d'une infinité de copies de indexées par , et donc l'identification est un cas particulier d'un résultat général reliant les sommes directes (de modules ) aux produits directs.
Si un espace vectoriel n'est pas de dimension finie, son espace dual (algébrique) est toujours de dimension supérieure (en tant que cardinal ) à celle de l'espace vectoriel initial. Ceci contraste avec le cas de l'espace dual continu, abordé ci-dessous, qui peut être isomorphe à l'espace vectoriel initial même si ce dernier est de dimension infinie.
La démonstration de cette inégalité entre les dimensions découle de ce qui suit.
Si est un espace vectoriel de dimension infinie , les propriétés arithmétiques des nombres cardinaux impliquent que , où les cardinalités sont notées en valeurs absolues . Pour démontrer que , il suffit de démontrer que , ce qui peut être fait avec un argument similaire à l'argument diagonal de Cantor . La dimension exacte du dual est donnée par le théorème d'Erdős-Kaplansky .
Produits bilinéaires et espaces duaux
Si est de dimension finie, alors est isomorphe à . Mais il n'existe en général aucun isomorphisme naturel entre ces deux espaces. Toute forme bilinéaire sur induit une application de dans son espace dual via
où le membre de droite est défini comme la fonctionnelle appliquée à chaque élément . Autrement dit, la forme bilinéaire détermine une application linéaire.
défini par
Si la forme bilinéaire est non dégénérée , alors il s'agit d'un isomorphisme sur un sous-espace de . Si est de dimension finie, alors il s'agit d'un isomorphisme sur tout . Réciproquement, tout isomorphisme de vers un sous-espace de (resp. vers tout si est de dimension finie) définit une unique forme bilinéaire non dégénérée sur par
Il existe donc une correspondance biunivoque entre les isomorphismes de à un sous-espace de (resp., tout de) et les formes bilinéaires non dégénérées sur .
Si l'espace vectoriel est défini sur le corps complexe , il est parfois plus naturel de considérer des formes sesquilinéaires plutôt que des formes bilinéaires. Dans ce cas, une forme sesquilinéaire donnée détermine un isomorphisme de avec le conjugué complexe de l'espace dual.
Injection dans le double-double
Il existe un homomorphisme naturel de dans son dual double , défini par pour tout . Autrement dit, si est l'application d'évaluation définie par , alors est définie comme l'application . Cette application est toujours injective ; et c'est toujours un isomorphisme si est de dimension finie. En effet, l'isomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie avec son dual double est un exemple archétypal d' isomorphisme naturel . Les espaces de Hilbert de dimension infinie ne sont pas isomorphes à leurs duaux doubles algébriques, mais à leurs duaux doubles continus.
Transposée d'une application linéaire
Espaces quotients et annihilateurs
Soit un sous-ensemble de . L' annulateur de dans , noté ici , est l'ensemble des formes linéaires telles que pour tout . Autrement dit, est constitué de toutes les formes linéaires telles que la restriction à s'annule : . Dans les espaces vectoriels de dimension finie, l'annulateur est dual (isomorphe à) le complément orthogonal .
L'annulateur d'un sous-ensemble est lui-même un espace vectoriel. L'annulateur du vecteur nul est l'espace dual tout entier : , et l'annulateur de l'espace entier est simplement le covecteur nul : . De plus, l'attribution d'un annulateur à un sous-ensemble de inverse les inclusions, de sorte que si , alors
Si et sont deux sous-ensembles de , alors . Si est une famille quelconque de sous-ensembles de indexés par appartenant à un certain ensemble d'indices , alors . En particulier, si et sont des sous-espaces de , alors et
Si est de dimension finie et est un sous-espace vectoriel , alors après identification avec son image dans le second espace dual par l'isomorphisme de double dualité . En particulier, l'annulateur est une connexion de Galois sur le treillis des sous-ensembles d'un espace vectoriel de dimension finie.
Si est un sous-espace de , alors l' espace quotient est un espace vectoriel à part entière, et possède donc un dual. D'après le premier théorème d'isomorphisme , une fonctionnelle se factorise par si et seulement si appartient au noyau de . Il existe donc un isomorphisme.
En conséquence particulière, si est une somme directe de deux sous-espaces et , alors est une somme directe de et .
Analyse dimensionnelle
L'espace dual est analogue à un espace de dimension « négative ». Plus simplement, puisqu'un vecteur peut être associé à un covecteur par l'association naturelle pour obtenir un scalaire, un covecteur peut « annuler » la dimension d'un vecteur, de manière similaire à la réduction d'une fraction . Ainsi, bien que la somme directe soit un espace de dimension (si est de dimension ), se comporte comme un espace de dimension , en ce sens que ses dimensions peuvent être annulées par celles de . Ceci est formalisé par la contraction tensorielle .
Ce phénomène apparaît en physique via l'analyse dimensionnelle , où l'espace dual possède des unités inverses. Sous l'effet du couplage naturel, ces unités s'annulent et la valeur scalaire résultante est sans dimension , comme prévu. Par exemple, en analyse de Fourier (continue) , ou plus généralement en analyse temps-fréquence : étant donné un espace vectoriel unidimensionnel muni d'une unité de temps , l'espace dual possède des unités de fréquence : occurrences par unité de temps (unités de ). Par exemple, si le temps est mesuré en secondes , l'unité duale correspondante est l' inverse de la seconde : sur une durée de 3 secondes, un événement qui se produit 2 fois par seconde se produit 6 fois au total, ce qui correspond à . De même, si l'espace primal mesure la longueur, l'espace dual mesure l'inverse de la longueur .
espace dual continu
Lorsqu'on considère des espaces vectoriels topologiques , les formes linéaires continues de l'espace dans le corps de base (ou ) sont particulièrement importantes. Ceci donne naissance à la notion d'« espace dual continu » ou « dual topologique », qui est un sous-espace vectoriel de l'espace dual algébrique , noté . Pour tout espace vectoriel normé ou espace vectoriel topologique de dimension finie , tel que l'espace euclidien à n dimensions , le dual continu et le dual algébrique coïncident. Ceci n'est cependant pas le cas pour tout espace normé de dimension infinie, comme le montre l'exemple des applications linéaires discontinues . Néanmoins, dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, les termes « espace dual continu » et « espace dual topologique » sont souvent remplacés par « espace dual ».
Pour un espace vectoriel topologique, son espace dual continu , ou espace dual topologique , ou simplement espace dual (au sens de la théorie des espaces vectoriels topologiques) est défini comme l'espace de toutes les fonctionnelles linéaires continues .
Des exemples importants d'espaces duaux continus sont l'espace des fonctions de test à support compact et son dual, l'espace des distributions arbitraires (fonctions généralisées) ; l'espace des fonctions de test arbitraires et son dual, l'espace des distributions à support compact ; et l'espace des fonctions de test à décroissance rapide, l' espace de Schwartz , et son dual, l'espace des distributions tempérées (distributions à croissance lente) dans la théorie des fonctions généralisées .
Propriétés
Si est un espace vectoriel topologique de Hausdorff (TVS), alors l'espace dual continu de est identique à l'espace dual continu du complété de .
Topologies sur le dual
Exemples
Soit 1 < < ∞ un nombre réel et considérons l'espace de Banach ℓ p de toutes les suites pour lesquelles
Définissons le nombre par . Alors, le dual continu de est naturellement identifié à : étant donné un élément , l'élément correspondant de est la suite où désigne la suite dont le -ième terme vaut 1 et tous les autres sont nuls. Réciproquement, étant donné un élément , la forme linéaire continue correspondante sur est définie par
pour tous (voir l'inégalité de Hölder ).
De même, le dual continu de est naturellement identifié à (l'espace des suites bornées). De plus, les duaux continus des espaces de Banach (constitués de toutes les suites convergentes , munis de la norme du supremum ) et (les suites convergeant vers zéro) sont tous deux naturellement identifiés à .
D'après le théorème de représentation de Riesz , le dual continu d'un espace de Hilbert est lui-même un espace de Hilbert anti-isomorphe à l'espace initial. Ceci donne naissance à la notation bra-ket utilisée par les physiciens dans la formulation mathématique de la mécanique quantique .
D'après le théorème de représentation de Riesz–Markov–Kakutani , le dual continu de certains espaces de fonctions continues peut être décrit à l'aide de mesures.
Transposée d'une application linéaire continue
Annihilateurs
Supposons que soit un sous-espace vectoriel fermé d'un espace normé , et considérons l'annulateur de dans ,
Alors, le dual du quotient peut être identifié à , et le dual de peut être identifié au quotient . En effet, soit la surjection canonique de sur le quotient . Alors la transposée est un isomorphisme isométrique de dans , d'image égale à . Si désigne l'application d'injection de dans , alors le noyau de la transposée est l'annulateur de : et il découle du théorème de Hahn-Banach que induit un isomorphisme isométrique .
Autres propriétés
Si le dual d'un espace normé est séparable , alors l'espace lui-même l'est aussi. La réciproque est fausse : par exemple, l'espace est séparable, mais son dual ne l'est pas.
Double double
Par analogie avec le cas du dual algébrique, il existe toujours un opérateur linéaire continu naturellement défini d'un espace normé dans son dual continu , défini par
En vertu du théorème de Hahn-Banach , cette application est en fait une isométrie , ce qui signifie que pour tout . Les espaces normés pour lesquels l'application est une bijection sont dits réflexifs .
Lorsque est un espace vectoriel topologique, alors ( ) peut toujours être défini par la même formule, pour tout , mais plusieurs difficultés surgissent. Premièrement, lorsque n'est pas localement convexe , le dual continu peut être égal à { 0 } et l'application triviale. Cependant, si est Hausdorff et localement convexe, l'application est injective de sur le dual algébrique du dual continu, là encore en vertu du théorème de Hahn-Banach.
Deuxièmement, même dans le cadre localement convexe, plusieurs topologies d'espaces vectoriels naturels peuvent être définies sur le dual continu , de sorte que le dual double continu n'est pas défini de manière unique comme un ensemble. Dire que les applications de vers , ou en d'autres termes, que est continue sur pour tout , est une exigence minimale raisonnable sur la topologie de , à savoir que les applications d'évaluation
La continuité de est assurée pour la topologie choisie sur . De plus, le choix de la topologie sur reste nécessaire , et la continuité de dépend de ce choix. Par conséquent, définir la réflexivité dans ce cadre est plus complexe que dans le cas normé.