Somme directe des modules

Pour les groupes abéliens G et H , notés de manière additive, le produit direct de G et H est également appelé somme directe Mac Lane & Birkhoff 1999 , §V.6) . Ainsi, le produit cartésien G × H est muni de la structure d'un groupe abélien en définissant les opérations composante par composante :

( g ₁ , h ₁ ) + ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ + g ₂ , h ₁ + h ₂ )

pour g ₁ , g ₂ dans G , et h ₁ , h ₂ dans H .

Les multiples entiers sont définis de manière similaire composante par

n ( g , h ) = ( ng , nh )

pour g ∈ G , h ∈ H et n un entier . Ceci est analogue à l'extension du produit scalaire d'espaces vectoriels à la somme directe ci-dessus.

Le groupe abélien résultant est appelé la somme directe de G et H et est généralement noté par un symbole plus à l'intérieur d'un cercle :

Il est d'usage d'écrire les éléments d'une somme ordonnée non pas comme des paires ordonnées ( g , h ), mais comme une somme g + h .

Le sous-groupe G × {0} de G ⊕ H est isomorphe à G et est souvent identifié à G ; de même pour {0} × H et H. (Voir la somme directe interne ci-dessous.) Grâce à cette identification, tout élément de G ⊕ H peut s'écrire d'une seule et unique façon comme la somme d'un élément de G et d'un élément de H. Le rang de G ⊕ H est égal à la somme des rangs de G et H.

Cette construction se généralise aisément à un nombre fini quelconque de groupes abéliens.

On peut remarquer une nette similitude entre les définitions de la somme directe de deux espaces vectoriels et de deux groupes abéliens. En effet, chacune est un cas particulier de la construction de la somme directe de deux modules . De plus, en modifiant la définition, on peut inclure la somme directe d'une famille infinie de modules. La définition précise est la suivante Bourbaki 1989 , §II.1.6) .

Soit R un anneau, et { M _i : i ∈ I } une famille de R -modules à gauche indexée par l' ensemble I . La somme directe de { M _i } est alors définie comme l'ensemble de toutes les suitesoùetpour un nombre cofini d'indices i . (Le produit direct est analogue, mais les indices n'ont pas besoin de s'annuler de manière cofinie.)

On peut également la définir comme l'ensemble des fonctions α de I vers l' union disjointe des modules M _{_i} telles que α( i ) ∈ M _{_i} pour tout i ∈ I et α( i ) = 0 pour un nombre cofini d' indices i . Ces fonctions peuvent être considérées de manière équivalente comme des sections à support fini du fibré sur l'ensemble des indices I , la fibre étant définie surêtre.

Cet ensemble hérite de la structure modulaire par addition composante par composante et multiplication par un scalaire. Plus précisément, deux séquences (ou fonctions) α et β peuvent être additionnées en écrivantpour tout i (notez que ceci est à nouveau nul pour tous les indices sauf un nombre fini), et une telle fonction peut être multipliée par un élément r de R en définissantpour tout i . De cette manière, la somme directe devient un R -module à gauche, et elle est notée

Il est d'usage d'écrire la séquenceen sommeParfois une sommation amorcéeest utilisé pour indiquer qu'un nombre cofini de termes sont nuls.

• La somme directe est un sous-module du produit direct des modules M _{_i}Bourbaki 1989 , §II.1.7) . Le produit direct est l'ensemble de toutes les fonctions α de I vers l'union disjointe des modules M _{_i} telles que α ( i ) ∈ M _{_i} , mais non nécessairement nulles pour tout i sauf un nombre fini . Si l'ensemble des indices I est fini, alors la somme directe et le produit direct sont égaux.
• Chacun des modules M _i peut être identifié au sous-module de la somme directe constitué des fonctions qui s'annulent pour tout indice différent de i . Grâce à ces identifications, tout élément x de la somme directe peut s'écrire d'une seule et unique façon comme somme d'un nombre fini d'éléments des modules M _i .
• Si les M _i sont effectivement des espaces vectoriels, alors la dimension de la somme directe est égale à la somme des dimensions des M _i . Il en va de même pour le rang des groupes abéliens et la longueur des modules .
• Tout espace vectoriel sur le corps K est isomorphe à une somme directe d'un nombre suffisant de copies de K ; par conséquent, en un sens, seules ces sommes directes sont à considérer. Ceci n'est pas vrai pour les modules sur des anneaux quelconques.
• Le produit tensoriel se distribue sur les sommes directes au sens suivant : si N est un R -module à droite, alors la somme directe des produits tensoriels de N avec M _i (qui sont des groupes abéliens) est naturellement isomorphe au produit tensoriel de N avec la somme directe des M _i .
• Les sommes directes sont commutatives et associatives (à isomorphisme près), ce qui signifie que l'ordre dans lequel on forme la somme directe n'a pas d'importance.
• Le groupe abélien des homomorphismes R - linéaires de la somme directe vers un certain R- module à gauche L est naturellement isomorphe au produit direct des groupes abéliens des homomorphismes R -linéaires de M _i vers L :En effet, il existe clairement un homomorphisme τ du membre de gauche vers le membre de droite, où τ ( θ )( i ) est l' homomorphisme R -linéaire qui envoie x ∈ M _{_i} sur θ ( x ) (en utilisant l'inclusion naturelle de M _{_i} dans la somme directe). L'inverse de l'homomorphisme τ est défini parpour tout α dans la somme directe des modules M _i . Le point clé est que la définition de τ ⁻¹ a du sens parce que α ( i ) est nul pour tous sauf un nombre fini de i , et donc la somme est finie.
  espace vectoriel dual d'une somme directe d'espaces vectoriels est isomorphe au produit direct des duaux de ces espaces.
• La somme directe finie des modules est un biproduit : Sisont les applications de projection canoniques etsont les correspondances d'inclusion, alorsest égal au morphisme identité de A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n , etest le morphisme identité de A _k dans le cas l = k , et est l'application nulle sinon.

Dans le langage de la théorie des catégories , la somme directe est un coproduit et donc une colimite dans la catégorie des R -modules à gauche, ce qui signifie qu'elle est caractérisée par la propriété universelle suivante . Pour tout i dans I , considérons l' injection naturelle

qui envoie les éléments de M _i sur les fonctions qui sont nulles pour tous les arguments sauf i . Soit maintenant M un R- module quelconque et f _i : M _i → M des applications R -linéaires quelconques pour tout i , alors il existe exactement une application R -linéaire

tel que f o j _i = f _i pour tout i .

La somme directe confère à une collection d'objets la structure d'un monoïde commutatif , en ce sens que l'addition des objets est définie, mais pas la soustraction. En réalité, la soustraction peut être définie, et tout monoïde commutatif peut être étendu à un groupe abélien . Cette extension est connue sous le nom de groupe de Grothendieck . L'extension est réalisée en définissant des classes d'équivalence de paires d'objets, ce qui permet de traiter certaines paires comme inverses. La construction, détaillée dans l'article sur le groupe de Grothendieck, est « universelle », car elle possède la propriété universelle d'être unique et homomorphe à tout autre plongement d'un monoïde commutatif dans un groupe abélien.

Si les modules considérés possèdent une structure supplémentaire (par exemple, une norme ou un produit scalaire ), alors la somme directe de ces modules peut souvent être munie de cette structure. Dans ce cas, on obtient le coproduit , dans la catégorie appropriée, de tous les objets munis de cette structure. Les espaces de Banach et les espaces de Hilbert en sont deux exemples notables .

Ce qui dans certains textes classiques est appelé une « somme directe » d' algèbres sur un corps est maintenant appelé un produit direct d'algèbres ; voir l'article sur le produit direct pour plus d'informations à ce sujet.