Points à tranches constantes de x 2 = f ( x 1 ) . Lignes à tranches constantes de x 3 = f ( x 1 , x 2 ) . Plans à tranches constantes de x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) . ( n − 1) -...
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Points à tranches constantes de x 2 = f ( x 1 ) .
Lignes à tranches constantes de x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Plans à tranches constantes de x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n − 1) -ensembles de niveau pour les fonctions de la forme f ( x 1 , x 2 , …, x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n où a 1 , a 2 , …, a n sont des constantes, dans l'espace euclidien ( n + 1) -dimensionnel, pour n = 1, 2, 3 .
Points à tranches constantes de x 2 = f ( x 1 ) .
Courbes de contour à des tranches constantes de x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Surfaces courbes à des tranches constantes de x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n − 1) -ensembles de niveau de fonctions non linéaires f ( x 1 , x 2 , …, x n ) dans l'espace euclidien ( n + 1) -dimensionnel, pour n = 1, 2, 3 .
Lorsque le nombre de variables indépendantes est égal à deux, un ensemble de niveau est appelé de courbe de niveau ou isoligne ; une courbe de niveau est donc l’ensemble de toutes les solutions réelles d’une équation à deux variables isosurface ) ; une surface de niveau est donc l’ensemble de toutes hypersurface de dimension supérieure ).
Un ensemble de niveau est un cas particulier de fibre .
Intersections des surfaces de niveau d'une fonction de coordonnées avec un nœud de trèfle . Les courbes rouges sont les plus proches de l'observateur, tandis que les courbes jaunes sont les plus éloignées.
Les courbes de niveau apparaissent dans de nombreuses applications, souvent sous différentes appellations. Par exemple, une courbe implicite est une courbe de niveau considérée indépendamment de ses courbes voisines, ce qui souligne qu'elle est définie par une équation implicite . De même, une surface de niveau est parfois appelée surface implicite ou isosurface .
On utilise également le terme isocontour, qui désigne une courbe de niveau égale. Dans divers domaines d'application, les isocontours ont reçu des appellations spécifiques, qui indiquent souvent la nature des valeurs de la fonction considérée, telles que isobare , isotherme , isogone , isochrone , isoquante et courbe d'indifférence .
Exemples
Considérons la distance euclidienne bidimensionnelle : un ensemble de niveau de cette fonction est constitué des points situés à une distance de l'origine et formant un cercle . Par exemple, le point (x, y) appartient à un cercle de rayon 5 centré à l'origine . Géométriquement, cela signifie que le point (x, y) se trouve sur le cercle de rayon 5 centré à l'origine. Plus généralement, une sphère de rayon 5 centrée en (x, y) dans un espace métrique peut être définie comme l'ensemble de niveau .
Un deuxième exemple est le graphique de la fonction de Himmelblau illustré dans la figure de droite. Chaque courbe représentée est une courbe de niveau de la fonction, et elles sont espacées logarithmiquement : si une courbe représente , la courbe directement « à l’intérieur » représente , et la courbe directement « à l’extérieur » représente .
Considérons une fonction f dont le graphe ressemble à une colline. Les courbes bleues représentent les lignes de niveau ; les courbes rouges suivent la direction de la pente. Le randonneur prudent emprunte les chemins bleus ; le randonneur téméraire emprunte les chemins rouges. Remarquez que les chemins bleus et rouges se croisent toujours à angle droit.
est appelé un sous-ensemble de niveau de f (ou, alternativement, un sous-ensemble de niveau inférieur ou une tranchée de f ). Un sous-ensemble de niveau strict de f est
De la même manière
est appelé ensemble de surniveau de f (ou, alternativement, ensemble de niveau supérieur de f ). Et un ensemble de surniveau strict de f est
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