Microcontinuité

En analyse non standard , une discipline des mathématiques classiques, la microcontinuité (ou S -continuité) d'une fonction interne f en un point a est définie comme suit :

pour tout x infiniment proche de a , la valeur f ( x ) est infiniment proche de f ( a ).

Ici, x parcourt le domaine de f . Sous forme de formules, cela peut s'exprimer comme suit :

si alors .

Pour une fonction f définie sur , la définition peut s'exprimer en termes de halo comme suit : f est microcontinue en si et seulement si , où le prolongement naturel de f aux hyperréels est toujours noté f . Alternativement, la propriété de microcontinuité en c peut s'exprimer en affirmant que la composition est constante sur le halo de c , où « st » est la fonction partie standard .

La propriété de microcontinuité s'applique généralement au prolongement naturel f* d'une fonction réelle f . Ainsi, f définie sur un intervalle réel I est continue si et seulement si f* est microcontinue en tout point de I. Par ailleurs, f est uniformément continue sur I si et seulement si f* est microcontinue en tout point (standard et non standard) du prolongement naturel I* de son domaine I (voir Davis, 1977, p. 96).

La fonction réelle sur l'intervalle ouvert (0,1) n'est pas uniformément continue car le prolongement naturel f* de f n'est pas microcontinu en un point infinitésimal a. En effet, pour un tel a , les valeurs a et 2a sont infiniment proches, mais les valeurs de f* , à savoir et , ne le sont pas.0" $0\mathrm{un}>0$0

La fonction n'est pas uniformément continue car f* n'est pas microcontinue en un point infini . En effet, en posant et K = H + e , on constate aisément que H et K sont infiniment proches, mais que f *( H ) et f *( K ) ne le sont pas.

La convergence uniforme admet également une définition simplifiée dans un cadre hyperréel. Ainsi, une suite converge uniformément vers f si, pour tout x dans le domaine de f* et tout n infini , est infiniment proche de .