Worldlex Wiki Le concept d'ensembles internes est un outil pour formuler le principe de transfert , qui concerne la relation logique entre les propriétés des nombres réels ℝ et celles d'un corps plus vaste , noté * ℝ, appelé corps des nombres hyperréels . Le corps * ℝ inclut notamment les nombres infinitésimaux (« infiniment petits »), fournissant ainsi une justification mathématique rigoureuse à leur utilisation. En résumé, l'idée est d'exprimer l'analyse sur ℝ dans un langage approprié de la logique mathématique, puis de montrer que ce langage s'applique également à * ℝ . Ceci est possible car, au niveau ensembliste , les propositions d'un tel langage sont interprétées comme s'appliquant uniquement aux ensembles internes et non à tous les ensembles (il convient de noter que le terme « langage » est employé ici au sens large).
La théorie des ensembles internes d' Edward Nelson est une approche axiomatique de l'analyse non standard (voir aussi Palmgren à l'article sur l'analyse non standard constructive ). Les approches infinitaires classiques de l'analyse non standard utilisent également le concept d'ensembles internes.
ultrapuissance des nombres hyperréels en tant que classes d'équivalence de suites de réels, un sous-ensemble interne [ A n ] de * R est un sous-ensemble défini par une suite d'ensembles réels , où un hyperréel est dit appartenir à l'ensemble si et seulement si l'ensemble des indices n tels que , est un membre de l' ultrafiltre utilisé dans la construction de * R .Sous-ensembles internes des réels
Tout sous-ensemble interne de * R qui est un sous-ensemble de (la copie plongée de) R est nécessairement fini (voir le théorème 3.9.1 de Goldblatt, 1998). Autrement dit, tout sous-ensemble interne infini des hyperréels contient nécessairement des éléments non standard.