Espace connecté

Étant donné un point dans un espace topologique, l'union de toute famille de sous-ensembles connexes tels que chacun contienne ce point est encore un sous-ensemble connexe. La composante connexe d'un point de est l'union de tous les sous-ensembles connexes de qui le contiennent ; c'est le plus grand sous-ensemble connexe unique (pour un point donné ) de qui contient ce point. Les sous-ensembles connexes maximaux (ordonnés par inclusion ) d'un espace topologique non vide sont appelés les composantes connexes de l'espace. Les composantes d'un espace topologique forment une partition de : elles sont disjointes , non vides et leur union est l'espace entier. En fait, une composante connexe est identique à une classe d'équivalence : deux points sont équivalents s'ils appartiennent au même sous-ensemble connexe (voir sous-ensemble fermé de l'espace initial. Il s'ensuit que, si leur nombre est fini, chaque composante est également un sous-ensemble ouvert. Cependant, si leur nombre est infini, cela peut ne pas être le cas ; par exemple, les composantes connexes de l'ensemble des nombres rationnels sont des singletons , qui ne sont pas ouverts. Démonstration : Deux nombres rationnels distincts appartiennent à des composantes différentes. Prenons un nombre irrationnel et posons et . Alors est une séparation de et . Ainsi, chaque composante est un singleton. r\\}." $r\backslash \}.B=\{q\in Q:q>r\}.$r\}.

Soit la composante connexe de dans un espace topologique et soit l'intersection de tous les ensembles clopen contenant (appelée quasi-composante de ). Alors, où l'égalité est vérifiée si est compact et Hausdorff ou localement connexe.

Un espace dans lequel tous les éléments sont des ensembles à un seul point est appelédes ouvertscontenantetcontenanttels quesoit l'union deet. De toute évidence, tout espace totalement séparé est totalement non connexe, mais la réciproque est fausse. Par exemple, considérons deux copies des nombres rationnelset identifions-les en tout point sauf zéro. L'espace résultant, muni de latopologie quotient, est totalement non connexe. Cependant, en considérant les deux copies de zéro, on constate que l'espace n'est pas totalement séparé. En fait, il n'est même pasHausdorff, et la condition de séparation totale est strictement plus forte que la condition de Hausdorff.

• L'intervalle fermé dans la topologie standard des sous-espaces est connexe ; bien qu'il puisse, par exemple, s'écrire comme l'union de et le second ensemble n'est pas ouvert dans la topologie choisie de
• L'union de et est déconnectée ; ces deux intervalles sont ouverts dans l'espace topologique standard
• est déconnecté.
• L'espace muni de la topologie indiscrète est connexe, puisque ses seuls ensembles ouverts sont et .
• Le sous-espace n'est pas connexe. En effet, les ensembles et sont non vides, disjoints et ouverts pour la topologie du sous-espace sur , et forment ensemble une séparation de .
• Un sous-ensemble convexe de est connexe ; il est en fait simplement connexe .
• Le plan euclidien , sans l'origine, est connexe, mais pas simplement connexe. L'espace euclidien tridimensionnel, sans l'origine, est connexe, et même simplement connexe. En revanche, l'espace euclidien unidimensionnel, sans l'origine, n'est pas connexe.
• Un plan euclidien auquel on a retiré une ligne droite n'est pas continu puisqu'il est constitué de deux demi-plans.
• L'espace des nombres réels , muni de la topologie usuelle, est connexe.
• La ligne Sorgenfrey est déconnectée.
• Si l'on retire ne serait-ce qu'un seul point de , le reste est déconnecté. Cependant, si l'on retire une infinité dénombrable de points de , le reste est connexe. Si , alors demeure simplement connexe après le retrait d'une infinité dénombrable de points.
• Tout espace vectoriel topologique , par exemple tout espace de Hilbert ou espace de Banach , sur un corps connexe (tel que ou ), est simplement connexe.
• Tout espace topologique discret comportant au moins deux éléments est déconnecté ; en fait, un tel espace est totalement déconnecté . L'exemple le plus simple est l' espace discret à deux points .
• En revanche, un ensemble fini peut être connexe. Par exemple, le spectre d'un anneau de valuation discrète est constitué de deux points et est connexe. C'est un exemple d' espace de Sierpiński .
• L' ensemble de Cantor est totalement déconnecté ; puisqu'il contient une infinité non dénombrable de points, il possède une infinité non dénombrable de composantes.
• Si un espace est homotopiquement équivalent à un espace connexe, alors il est lui-même connexe.
• La courbe sinusoïdale du topologue est un exemple d'ensemble connexe mais qui n'est ni connexe par arcs ni localement connexe.
• Le groupe linéaire général (c'est-à-dire le groupe des matrices réelles inversibles de dimension × ) est constitué de deux composantes connexes : l'une avec les matrices de déterminant positif et l'autre avec celles de déterminant négatif. En particulier, il n'est pas connexe. En revanche, il est connexe. Plus généralement, l'ensemble des opérateurs inversibles bornés sur un espace de Hilbert complexe est connexe.
• Les spectres des anneaux locaux commutatifs et des domaines intègres sont liés. Plus généralement, les expressions suivantes sont équivalentes
  1. Le spectre d'un anneau commutatif est connexe
  2. Tout module projectif de type fini sur a un rang constant.
  3. n'a pas d'idempotent (c'est-à-dire qu'il n'est pas un produit de deux anneaux de manière non triviale).

Un exemple d'espace non connexe est un plan auquel on a retiré une droite infinie. Parmi les autres exemples d'espaces non connexes (c'est-à-dire non connectés), on peut citer le plan auquel on a retiré un anneau , ainsi que l'union de deux disques fermés disjoints . Tous les exemples de ce paragraphe possèdent la topologie de sous-espace induite par l'espace euclidien bidimensionnel.

UN chemin d'un pointà un autredans unespace topologiqueest une fonction continuede l'intervalle unitéversavecet.classe d'équivalencedesous larelation d'équivalencequi rendéquivalent àsi et seulement s'il existe un chemin deà. L'espaceest dit connexepar arcs(ouconnexe par arcsou-connexe) s'il existe exactement une composante de chemin.

De manière équivalente, une composante de chemin de est un sous-ensemble connexe par chemin maximal de (pour voir l'équivalence, notez qu'une composante de chemin au sens précédent est connexe par chemin).

Tout espace connexe par arcs est connexe. La réciproque n'est pas toujours vraie : des exemples d'espaces connexes qui ne sont pas connexes par arcs incluent la longue ligne étendue et la courbe sinusoïdale du topologue .

Les sous-ensembles de la droite réelle sont connexes si et seulement s'ils sont connexes par arcs ; ces sous-ensembles sont les intervalles et les rayons de . De même, les ouverts de ou sont connexes si et seulement s'ils sont connexes par arcs. Par ailleurs, la connexité et la connexité par arcs sont identiques pour les espaces topologiques finis .

Un espace est dit arc-connexe si deux points quelconques, topologiquement distincts, peuvent être reliés par un arc , ce qui constitue un plongement . Une composante arc de cet espace est un sous-ensemble arc-connexe maximal de l'espace ; ou, de manière équivalente, une classe d'équivalence de la relation d'équivalence selon laquelle deux points peuvent être reliés par un arc ou par un chemin dont les points sont topologiquement indiscernables.

Tout espace de Hausdorff connexe par arcs est également connexe par arcs ; plus généralement, cela est vrai pour un espace de Hausdorff α , c’est-à-dire un espace où l’image de chaque chemin est fermée. Un exemple d’espace connexe par arcs mais non connexe par arcs est donné par la droite à deux origines ; ses deux copies peuvent être reliées par un chemin mais pas par un arc.

L'intuition concernant les espaces connexes par arcs ne s'applique pas facilement aux espaces connexes par arcs. Soit la droite ayant deux origines . Les propriétés suivantes ont des analogues pour les espaces connexes par arcs, mais ne sont pas valables pour les espaces connexes par arcs :

• L'image continue d'un espace arc-connexe peut ne pas être arc-connexe : par exemple, une application quotient d'un espace arc-connexe vers son quotient avec un nombre dénombrable (au moins 2) de points topologiquement distincts ne peut pas être arc-connexe en raison d'une cardinalité trop petite.
• Les composantes d'un arc peuvent ne pas être disjointes. Par exemple, un arc peut avoir deux composantes qui se chevauchent.
• Un espace produit arc-connexe n'est pas nécessairement un produit d'espaces arc-connexes. Par exemple, est arc-connexe, mais ne l'est pas.
• Les composantes d'arc d'un espace produit ne sont pas nécessairement des produits des composantes d'arc des espaces marginaux. Par exemple, possède une seule composante d'arc, tandis que possède deux composantes d'arc.
• Si des sous-ensembles arc-connexes ont une intersection non vide, leur union n'est pas nécessairement arc-connexe. Par exemple, les composantes arc-connexes de l' ensemble A s'intersectent, mais leur union n'est pas arc-connexe.

L' intersection d'ensembles connexes n'est pas nécessairement connexe.

L' union d'ensembles connexes n'est pas nécessairement connexe, comme on peut le constater en considérant .

Chaque ellipse est un ensemble connexe, mais l'union n'est pas connexe, puisqu'elle peut être partitionnée en deux ensembles ouverts disjoints et .

Cela signifie que, si l'union est non connexe, alors la collection peut être partitionnée en deux sous-collections, de sorte que les unions de ces sous-collections soient disjointes et ouvertes (voir figure). Ceci implique que, dans plusieurs cas, une union d'ensembles connexes les unions sont disjointes . Par conséquent, l'union d'ensembles connexes dont l'intersection est non vide est connexe.

La différence d'ensembles connexes n'est pas nécessairement connexe. Cependant, si A et sa différence sont non connexes (et peuvent donc s'écrire comme une union de deux ouverts A et B), alors l'union de A avec chaque composante de ce type est connexe (c'est-à-dire que A est connexe pour tout A ∈ B ).