Fonction identité

Graphique de la fonction identité sur les nombres réels

En mathématiques , une fonction identité , également appelée relation identité , application identité ou transformation identité , est une fonction qui renvoie toujours la valeur qui lui a été passée en argument , sans modification. Autrement dit, lorsque f est la fonction identité, l' égalité est vraie pour toutes les valeurs de f auxquelles f peut être appliquée.

ensemble , la fonction identité sur est définie comme une fonction avec comme domaine et codomaine , satisfaisant

pour tous les éléments de .

Autrement dit, la valeur de la fonction dans le codomaine est toujours la même que l'élément d'entrée dans le domaine . La fonction identité sur est clairement une fonction injective et surjective (son codomaine est aussi son image ), elle est donc bijective .

La fonction identité sur est souvent notée .

En théorie des ensembles , où une fonction est définie comme un type particulier de relation binaire , la fonction identité est donnée par la relation identité , ou diagonale de .

propriétés algébriques

Si est une fonction quelconque, alors , où " " désigne la composition de fonctions . En particulier, est l' élément d'identité du monoïde de toutes les fonctions de à (sous composition de fonctions).

Puisque l'élément neutre d'un monoïde est unique , on peut définir la fonction identité de comme étant cet élément neutre. Une telle définition se généralise au concept de morphisme identité en théorie des catégories , où les endomorphismes de ne sont pas nécessairement des fonctions.

Propriétés

La fonction identité est un opérateur linéaire lorsqu'elle est appliquée aux espaces vectoriels .
Dans un espace vectoriel de dimension n, la fonction identité est représentée par la matrice identité , quelle que soit la base choisie pour l'espace.
La fonction identité sur les entiers positifs est une fonction complètement multiplicative (essentiellement une multiplication par 1), considérée en théorie des nombres .
Dans un espace métrique, la fonction identité est trivialement une isométrie . Un objet sans symétrie a pour groupe de symétrie le groupe trivial ne contenant que cette isométrie (type de symétrie ).
Dans un espace topologique , la fonction identité est toujours continue .
La fonction identité est idempotente .
Toute application d'un ensemble d'un seul élément vers lui-même est nécessairement l'application identité.