Fonction de signe

Bien que la fonction signe prenne la valeur

Ces observations sont confirmées par les différentes définitions formelles équivalentes de la continuité en analyse mathématique . Une fonction , telle que f, est continue en un point si sa valeur peut être approchée arbitrairement près par la suite de valeurs pour lesquelles les valeurs de f constituent une suite infinie quelconque qui se rapproche arbitrairement de f lorsque n tend vers l'infini. Dans la notation des limites mathématiques , la continuité de f en n exige que f(x) → f(y) lorsque n tend vers l'infini pour toute suite n telle que f(x) → f(y). Le symbole de la flèche signifie que f(x ) tend vers f (y) et s'applique à la suite dans son ensemble.

Ce critère n'est pas vérifié pour la fonction signe en . Par exemple, on peut choisir la suite qui tend vers zéro lorsque augmente vers l'infini. Dans ce cas, comme souhaité, mais et pour chaque , de sorte que . Ce contre-exemple confirme plus formellement la discontinuité de en zéro visible sur le graphique.

Bien que la fonction signe ait une forme très simple, la discontinuité en zéro pose des difficultés aux techniques de calcul différentiel classiques , dont les exigences sont assez strictes. La continuité est une contrainte fréquente. Une solution consiste à approcher la fonction signe par une fonction continue et lisse ; d’autres solutions peuvent faire appel à des approches moins contraignantes, s’appuyant sur les méthodes classiques pour englober des classes de fonctions plus larges.

La fonction signe peut être définie par plusieurs limites ponctuelles : ici, est la tangente hyperbolique et est l’ arc tangente . Cette dernière est la dérivée de . Ceci s’inspire du fait que l’expression ci-dessus est exactement égale pour tout non nul si , et présente l’avantage d’une généralisation simple aux analogues de la fonction signe en dimension supérieure (par exemple, les dérivées partielles de ).

Voir différentiable partout sauf lorsque . Sa dérivée est nulle lorsque est non nul :

Ceci découle de la différentiabilité de toute fonction constante , dont la dérivée est toujours nulle sur son domaine de définition. Le signe se comporte comme une fonction constante lorsqu'il est restreint à l' intervalle ouvert négatif où il vaut 0,

Puisque sa dérivée est nulle, la dérivée n-ième d'une fonction multipliée par la fonction signe se simplifie en :

Bien qu'elle ne soit pas différentiable au sens usuel, sous la notion généralisée de différentiation en théorie des distributions , la dérivée de la fonction signe est égale à deux fois la fonction delta de Dirac . Ceci peut être démontré à l'aide de l'identité où est la fonction échelon de Heaviside, en utilisant le formalisme standard . À partir de cette identité, il est facile de dériver la dérivée distributionnelle :

La fonction signe admet une intégrale définie entre deux valeurs finies quelconques

En fait, la fonction signe est la dérivée de la fonction valeur absolue, sauf lorsqu'il y a un changement brutal de pente à zéro :

Nous pouvons comprendre cela comme précédemment en considérant la définition de la valeur absolue sur les régions séparées et Par exemple, la fonction valeur absolue est identique à dans la région dont la dérivée est la valeur constante 0" $0x>0$0 0," $0,x>0,$0,

Puisque la valeur absolue est une fonction convexe , elle possède au moins une sous-dérivée en tout point, y compris à l'origine. Partout sauf en zéro, le sous-différentiel résultant prend une seule valeur, égale à celle de la fonction signe. En revanche, il existe de nombreuses sous-dérivées en zéro, dont une seule vaut 0. La valeur

En théorie de l'intégration, la fonction signe est une dérivée faible de la fonction valeur absolue. Les dérivées faibles sont équivalentes si elles sont égales presque partout , ce qui les rend insensibles aux anomalies ponctuelles. Cela inclut le changement de pente de la fonction valeur absolue en zéro, qui empêche l'existence d'une dérivée classique.

La primitive d'une fonction multipliée par la fonction signe est : où et sont des constantes d'intégration . En dehors de la théorie des distributions, peut prendre n'importe quelle valeur, le plus souvent 0. Dans le cas de la fonction delta de Dirac , doit être égal à . Ceci peut être démontré par intégration par parties : où est la fonction delta de Dirac. L'intégration donne l'expression suivante :

où représente la fonction de Heaviside . Puisque possède déjà sa propre constante d'intégration, indépendante de , celle-ci peut prendre n'importe quelle valeur pourvu qu'elle soit définie. Si l'on considère la fonction delta de Dirac, la constante d'intégration de doit correspondre à dans les deux termes ; sinon, la dérivée de la fonction signe est nulle, et elle peut donc être multipliée par n'importe quelle constante dans le second terme.

La transformée de Fourier de la fonction signe est où signifie prendre la valeur principale de Cauchy .

La fonction signe peut être généralisée aux nombres complexes comme suit : pour tout nombre complexe sauf 0 , le signe d'un nombre complexe donné est le point du cercle unité du plan complexe le plus proche de ce point . Ainsi, pour , où est la fonction argument complexe .

Pour des raisons de symétrie, et pour conserver une généralisation appropriée de la fonction signe sur les nombres réels, on définit généralement, également dans le domaine complexe, pour :

Une autre généralisation de la fonction signe pour les expressions réelles et complexes est , qui est définie comme : où est la partie réelle de et est la partie imaginaire de . 0, \\\\ -1 & \ ext{if } \\mathrm{Re}(z) < 0, \\\\ \\sgn \\mathrm{Im}(z) & \ ext{if } \\mathrm{Re}(z) = 0 \\end{cases} " 0,\\-1&{ ext{si }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{ ext{si }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases

Nous avons alors (pour ) :

Grâce au théorème de décomposition polaire , une matrice ( et ) peut être décomposée en un produit où est une matrice unitaire et est une matrice auto-adjointe (ou hermitienne) définie positive, toutes deux appartenant à . Si est inversible, alors une telle décomposition est unique et joue le rôle du signe de . Une construction duale est donnée par la décomposition où est unitaire, mais généralement différente de . Ceci implique que chaque matrice inversible possède un signe à gauche et un signe à droite uniques .

Dans le cas particulier où et la matrice (inversible) , qui s'identifie au nombre complexe (non nul) , alors les matrices signe satisfont et s'identifient au signe complexe de . En ce sens, la décomposition polaire généralise aux matrices la décomposition signe-module des nombres complexes.

Pour des valeurs réelles de , il est possible de définir une fonction généralisée – une version de la fonction signe – telle que, partout, y compris au point , contrairement à , pour laquelle . Cette fonction signe généralisée permet la construction de l' algèbre des fonctions généralisées , mais cette généralisation a pour prix la perte de la commutativité . En particulier, la fonction signe généralisée anticommute avec la fonction delta de Dirac et, de plus, ne peut être évaluée en ; le nom spécifique est nécessaire pour la distinguer de la fonction . ( n'est pas définie, mais .)