En mathématiques , un ensemble orienté (ou un ensemble préordonné orienté ou un ensemble filtré ) est un ensemble préordonné dans lequel tout sous-ensemble fini possède une born...
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En mathématiques , un ensemble orienté (ou un ensemble préordonné orienté ou un ensemble filtré ) est un ensemble préordonné dans lequel tout sous-ensemble fini possède une borne supérieure . Autrement dit, c'est un ensemble préordonné non vide.tel que pour toutetdansil existedansavecet. Le préordre d'un ensemble orienté est appelé une direction .
La notion définie ci-dessus est parfois appelée unEnsemble dirigé vers le haut . Aborne inférieure .Certains auteurs (et le présent article) supposent qu'un ensemble orienté est orienté vers le haut, sauf indication contraire. D'autres auteurs disent qu'un ensemble est orienté si et seulement s'il est orienté à la fois vers le haut et vers le bas
Les ensembles orientés sont une généralisation des ensembles totalement ordonnés non vides . Autrement dit, tous les ensembles totalement ordonnés sont des ensembles orientés (contrairement aux ensembles Les semi-treillis de jointure (qui sont des ensembles partiellement ordonnés) sont également des ensembles orientés, mais la réciproque n'est pas vraie. De même, les treillis sont des ensembles orientés vers le haut et vers le bas.
nombres naturelsavec l'ordre ordinaireest l'un des exemples les plus importants d'ensemble dirigé. Tout ensemble totalement ordonné est un ensemble dirigé, y compriset
Un exemple (trivial) d'ensemble partiellement ordonné non dans lequel les seules relations d'ordre sontetUn exemple moins trivial est celui des « réels dirigés vers »" mais dans lequel la règle d'ordonnancement ne s'applique qu'aux paires d'éléments situés du même côté de(c'est-à-dire si l'on prend un élémentà gauche deetà sa droite, puisetne sont pas comparables, et le sous-ensemblen'a pas de limite supérieure).
Laisseretêtre des ensembles orientés. Alors l' ensemble produit cartésienpeut être transformé en un ensemble orienté en définissantsi et seulement sietPar analogie avec l' ordre des produits, il s'agit du sens du produit dans le produit cartésien. Par exemple, l'ensembleOn peut transformer des paires de nombres naturels en un ensemble orienté en définissantsi et seulement siet
Dirigé vers un point
Siest un nombre réel alors l'ensemblepeut être transformé en un ensemble orienté en définissantsi(donc les éléments « supérieurs » sont plus proches deNous disons alors que les nombres réels ont été dirigés versVoici un exemple d'ensemble orienté qui partiellement ordonné ni totalement ordonné . Cela s'explique par le fait que l'antisymétrie est rompue pour toute paireetéquidistant deoùetsont de part et d'autre deConcrètement, cela se produit lorsquepour de vraisdans lequel casetmême siSi cette précommande avait été définie leau lieu deIl formerait alors toujours un ensemble orienté, mais il aurait désormais un plus grand élément (unique) , plus précisément; cependant, il ne serait toujours pas partiellement ordonné. Cet exemple peut être généralisé à un espace métriqueen définissant suroula précommandesi et seulement si
Tout ensemble préordonné ayant un plus grand élément est un ensemble orienté ayant le même préordre. Par exemple, dans un ensemble partiellement ordonné ( poset).toute fermeture inférieure d'un élément ; c'est-à-dire tout sous-ensemble de la formeoùest un élément fixe deest dirigé.
Un ensemble préordonné est dirigé si et seulement si l'ensemble (éventuellement vide) des éléments maximaux est égal à l'ensemble des plus grands éléments.
Inclusion de sous-ensemble
La relation d'inclusion de sous-ensemblesainsi que sa doubleOn définit des ordres partiels sur une famille d'ensembles donnée. Une famille d'ensembles non vide est un ensemble orienté par rapport à l'ordre partiel.(respectivement,) si et seulement si l'intersection (respectivement, l'union) de deux quelconques de ses membres contient comme sous-ensemble (respectivement, est contenue comme sous-ensemble de) un troisième membre. En symboles, une familledes ensembles est dirigé par rapport à(respectivement,) si et seulement si
pour tousil existe certainstel queet(respectivement,et)
ou de manière équivalente,
pour tousil existe certainstel que(respectivement,).
De nombreux exemples importants d'ensembles orientés peuvent être définis à l'aide de ces ordres partiels. Par exemple, par définition, un préfiltre ou famille non vide d'ensembles qui est un ensemble orienté par rapport à l' ordre partiel.et qui ne contient pas non plus l'ensemble vide (cette condition empêche la trivialité car sinon, l'ensemble vide serait alors un plus grand élément par rapport àTout famille non vide d'ensembles stable par l'intersection de deux quelconques de ses éléments, est un ensemble orienté par rapport àTout λ-système est un ensemble orienté par rapport àTout filtre , topologie et σ-algèbre est un ensemble orienté par rapport à la foiset
Queues de filets
Par définition, un filet est une fonction d'un ensemble orienté et une suite est une fonction des nombres naturels.Chaque séquence devient canoniquement un filet en étant dotéeavec
Siest un filet quelconque d'un ensemble dirigéalors pour tout indicel'ensembleest appelée la queue deà partir deLa famillede toutes les queues est un ensemble orienté par rapport à en fait, c'est même un préfiltre.
Quartiers
Siest un espace topologique etest un point dansl'ensemble de tous les quartiers depeut être transformé en un ensemble dirigé par l'écrituresi et seulement sicontientPour chaqueetdepuisse contient elle-même.
Exemple d'un ensemble orienté qui n'est pas un semi-treillis joint
L'ensemble orienté est un concept plus général que le semi-treillis (de jointure) : tout semi-treillis de jointure est un ensemble orienté, car la jointure ou la borne supérieure minimale de deux éléments est l'ensemble recherché. La réciproque n'est cependant pas vraie, comme en témoigne l'ensemble orienté {1000,0001,1101,1011,1111} ordonné bit à bit (par exempletient, maisNon, car le dernier bit 1 > 0), où {1000,0001} possède trois bornes supérieures mais aucune antisymétrique , et par conséquent, les ensembles dirigés ne sont pas toujours des ordres partiels . Cependant, le terme d'un ensemble partiellement ordonnéOn appelle un sous-ensemble orienté un ensemble orienté selon le même ordre partiel : autrement dit, ce n’est pas l’ ensemble vide , et toute paire d’éléments est majorée. Ici, la relation d’ordre sur les éléments deest hérité de; c’est pourquoi il n’est pas nécessaire d’exiger explicitement la réflexivité et la transitivité.
Un sous-ensemble orienté d'un ensemble partiellement ordonné n'est pas nécessairement fermé vers le bas ; un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné est orienté si et seulement si sa fermeture vers le bas est un idéal . Bien que la définition d'un ensemble orienté s'applique à un ensemble « orienté vers le haut » (chaque paire d'éléments possède une borne supérieure), il est également possible de définir un ensemble orienté vers le bas dans lequel chaque paire d'éléments possède une borne inférieure commune. Un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné est orienté vers le bas si et seulement si sa fermeture supérieure est un filtre .
Les sous-ensembles orientés sont utilisés en théorie des domaines , qui étudie les ordres partiels orientés-complets . Ce sont des ensembles partiellement ordonnés (posets) dans lesquels tout ensemble orienté vers le haut possède nécessairement une borne supérieure . Dans ce contexte, les sous-ensembles orientés généralisent la notion de suites convergentes.
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